1、第四章 函数应用 1 函数与方程 1.1 利用函数性质判定方程解的存在 制作人：问题导入 公元50年100年 一次方程、二次方程 和三次方程根 11世纪北宋贾宪 三次方程正根数值解法 13世纪南宋 秦九韶 任意次代数方程正根解法 7世纪隋唐王孝通 三次或三次以上方程 引入课题 方程解法时间图 中国 引入课题 方程解法时间图 西方 一次方程、二次方程 的一般解法 1541年意大利 塔尔塔利亚 三次方程一般解法 18021829 挪威阿贝尔 证明了五次以上一般方程没有 求根公式 记载了费拉里的四次方程一般解法 9世纪阿拉伯 花粒子米 1545年意大利 卡尔达诺 探究点1 方程的根与函数图象的关系
2、问题2.求出表中一元二次方程的实数根，画出相应的二次函数图像的简图，并写出函数的图像与x轴的交点坐标。方程 函数 函数图像 方程的实数根 函 数 的 图 像与x轴的交点 x y O-2-1 1 2 3 4-4-3-2-1 1 2 x y O-4-3-2-1 1 2 3 4-4-3-2-1 1 2 3 4 x y O-1 1 1 2 3 4 5 6 无实数根（-1，0）（3，0）（1，0）无交点 引申：若将上面特殊的一元二次方程推广到一般的一元二次方程及相应的二次函数的图像与x轴交点的关系，上述结论是否仍然成立？0 =0 0 函数图像与x轴的交点 没有实数根 没有交点 x y O x1 x2 x
3、 y O x1=x2 x y O 推广.将上述结论推广至一般方程f(x)=0与相应的函数y=f(x)又有什么结论？结论：1.方程根的个数就是函数图像与x轴交点的个数。2.方程的实数根就是函数图像 与x轴交点的横坐标。1.函数零点的定义 对于函数y=f(x),使f(x)=0的实数x叫做函数y=f(x)的零点，或函数y=f(x)的图像与x轴交点的横坐标称为零点。2.等价关系：方程f(x)=0有实数根 函数y=f(x)的图像与x轴有交点 函数y=f(x)有零点 零点的概念 探究点2例题讲解x y O-4-3-2-1 1 2 3 4-4-3-2-1 1 2 3 4(1)函数f(x)在区间-2,1内有零
4、点x=_,有f(-2)f(1)_0()(2)函数f(x)在区间2,4内有零点x=_,有f(2)f(4)_0()-1 3 探究点3 函数零点存在性定理 问题6.如图是某地从0点到12点的气温变化图，假设气温是连续变化的，请将图形补充成完整的函数图像。这段时间内，是否一定由某时刻的气温为0度？为什么?时间 气温 O 10 12-4 观察函数的图像（图像是连续的 还是间断的？）(1)f(a)f(b)_0()在区间(a,b)内_(有或无)零点(2)f(b)f(c)_0()在区间(b,c)内_(有或无)零点(3)f(c)f(d)_0()在区间(c,d)内_(有或无)零点时间 气温 O 10 12-4 a
5、 b c d 有 有 有 函数零点存在性定理：如果函数y=f(x)在区间a,b上的图像是连续不断的一条曲线，并且有f(a)f(b)0,那么函数y=f(x)在区间(a,b)内有零点，即存在c(a,b),使得f(x)=0,这个c也就是方程f(x)=0的根。抽象概括 注意:(1)图像是连续不断的曲线(2)f(a)f(b)0 x y O a b x y O a b x y O a b x y O a b 已知函数f(x)的图像是连续不断的，有如下x,f(x)的对应值表，问函数在哪个区间内有零点？牛刀小试 x 1 2 3 4 5 6 7 8 9 f(x)14 8-2 2 7 3-2-1 8 概念辨析 思
6、考1.如果函数y=f(x)在a,b上是连续不断的曲线，且有f(a)f(b)0,那么这个函数在(a,b)内的零点个数能确定么？结论：有零点，至少一个，但不能确定零点个数，即存在零点。x y O a b 概念辨析 思考2函数y=f(x)在区间a,b上的图像是一条连续不断的曲线，且f(a)f(b)0,还需要增加什么条件可确定函数y=f(x)在区间a,b上只有一个零点？结论:.若函数y=f(x)在区间a,b上的图像是一条连续不断的单调曲线，且f(a)f(b)0,函数y=f(x)在区间a,b上一定没有零点么？结论:.若函数y=f(x)在区间a,b上的图像是一条连续曲线，f(a)f(b)0,则函数y=f(
7、x)在区间a,b上可能有零点也可能没有零点。x y O a b 概念辨析 思考4.函数y=f(x)在区间a,b上的图像是一条连续不断的曲线，且在区间(a,b)内有零点，一定能得出f(a)f(b)0么？x y O a b 例题讲解 x 1 2 3 4 5 6 f(x)-4-1.3069 1.0986 3.3863 5.6094 7.7918 解：x y O-4-3-2-1 1 2 3 4-4-3-2-1 1 2 3 4 例题拓展 解法1.f(1)=-4,f(2)=ln2-20,f(4)=ln4+20,所以f(2)f(3)0 x y O-2-1 1 2 3 4 5 6-4-3-2-1 1 2 3 4 几何法 c(2)根据函数零点定义可知，函数f(x)的零点就是f(x)0的根，因此判断一个函数是否有零点，有几个零点，就是判断方程f(x)0是否有实根，有几个实根 1.正确理解函数的零点：(1)函数的零点是一个实数，当自变量取该值时，其函数值等于零即函数yf(x)的零点方程f(x)0的实根函数yf(x)的图象与x轴交点的横坐标课堂小结 2函数零点的求法：(2)几何法：与函数yf(x)的图象联系起来，图象与x轴的交点的横坐标即为函数的零点(1)代数法：求方程f(x)0的实数根课堂小结 课后作业