1、兰州市五十七中2022-2023学年度第一次模拟考试数学试卷（理科）注意事项：1答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。2回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用像皮擦干净后，再选涂其它答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。3考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1已知全集，集合，则阴影部分表示的集合是()ABCD2如果复数是纯虚数，那么实数等于()AB0C0或1D0或3设，则“或”是“”的()A充分不必要条件B
2、必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件4分形理论是当今世界十分风靡和活跃的新理论、新学科其中，把部分与整体以某种方式相似的形体称为分形分形是一种具有自相似特性的现象、图象或者物理过程标准的自相似分形是数学上的抽象，迭代生成无限精细的结构也就是说，在分形中，每一组成部分都在特征上和整体相似，只仅仅是变小了一些而已，谢尔宾斯基三角形就是一种典型的分形，是由波兰数学家谢尔宾斯基在1915年提出的，按照如下规律依次在一个黑色三角形内去掉小三角形，则当时，该黑色三角形内去掉小三角形个数为()A81B121C364D10935下列函数既是奇函数又是增函数的是()ABCD6如图，在直角梯形中，为边上
3、一点，为的中点，则()ABCD7已知不等式组所表示的平面区域为面积等于的三角形，则实数的值为()ABCD18算法统宗是中国古代数学名著，由明代数学家程大位编著，它对我国民间普及珠算和数学知识起到了很大的作用，是东方古代数学的名著在这部著作中，许多数学问题都是以歌诀形式呈现的，“九儿问甲歌”就是其中一首：一个公公九个儿，若问生年总不知，自长排来差三岁，共年二百又零七，借问长儿多少岁，各儿岁数要详推在这个问题中，记这位公公的第个儿子的年龄为，则()A23B32C35D389已知，函数在上单调递减，则的取值范围是()ABCD10某单位拟安排6位员工在今年6月9日至11日值班，每天安排2人，每人值班1
4、天若6位员工中的甲不值9日，乙不值11日，则不同的安排方法共有()A30种B36种C42种D48种11已知双曲线，圆，若双曲线的一条渐近线与圆有两个不同的交点，则双曲线的离心率的取值范围是()ABCD12若函数有两个零点，则实数的取值范围是()ABCD二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13若，则的值为_14如图的程序框图的算法思路源于我国古代数学名著九章算术中的“更相减损术”执行该程序框图，若输入的，分别为176,320，则输出的为_15若椭圆的中心在原点，一个焦点为，直线与椭圆相交所得弦的中点的纵坐标为1，则这个椭圆的方程为_16在钝角中，角，所对的边分别为，为钝角，若，则的最
5、大值为_三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第1721题为必考题，每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答。（一）必考题：共60分。17(12分)的内角，的对边分别为，若角，成等差数列，且(1)求的外接圆直径；(2)求的取值范围18(12分)如图所示，在四面体中，平面平面，且(1)证明：平面；(2)设为棱的中点，当四面体的体积取得最大值时，求二面角的余弦值19(12分)某地随着经济的发展，居民收入逐年增长，下表1是该地一建设银行连续五年的储蓄存款(年底余额)，年份20132014201520162017储蓄存款(千亿元)567810表1为了研究
6、计算的方便，工作人员将上表的数据进行了处理，得到下表2：时间代号1234501235表2(1)求关于的线性回归方程；(2)通过(1)中的方程，求出关于的回归方程；(3)用所求回归方程预测到2022年年底，该地储蓄存款额可达多少？(附：对于线性回归方程，其中，)20(12分)已知直线与焦点为的抛物线相切(1)求抛物线的方程；(2)过焦点的直线与抛物线分别相交于，两点，求两点到直线的距离之和的最小值21(12分)设函数，(1)当(为自然对数的底数)时，求的极小值；(2)讨论函数零点的个数（二）选考题：共10分。请考生在第22、23题中选定一题作答，并用2B铅笔在答题卡上将所选题目对应的题号方框涂黑
7、。按所涂题号进行评分，不涂、多涂均按所答第一题评分；多答按所答第一题评分。22（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程在直角坐标系中，曲线的参数方程为(为参数)以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线的极坐标方程为(1)求曲线的普通方程和直线的直角坐标方程；(2)已知点，直线与曲线交于，两点，求的值23（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲已知函数，(1)当时，解不等式；(2)若存在，使成立，求实数的取值范围答案及解析1D阴影部分表示由，可得又，所以2D，因为此复数为纯虚数，所以解得或0，故选D3B(等价转化法)问题转化为判断“”是“且”的什么条件由且，反之，且，因此“
8、”是“且”的必要不充分条件，从而“或”是“”的必要不充分条件，故选B4C由题图可知，每一个图形中小三角形的个数等于前一个图形小三角形个数的3倍加1，所以，时，；时，；时，；时，；时，；时，故选C5D对于A，函数是偶函数，不是奇函数，排除A对于B，函数的定义域为，函数为非奇非偶函数，排除B对于C，函数是奇函数，但在定义域上不是增函数，排除C对于D，函数为奇函数，又，则函数为增函数，故选D6B根据平面向量的运算法则得，因为，所以，故选B7B由题意知，且不等式组所表示的平面区域如图所示直线与轴的交点为，直线与直线的交点为，三角形的面积为，解得或，经检验，不符合题意，8C由题意可知年龄构成的数列为等差
9、数列，其公差为，则，解得，故选C9D(1)法一：(反子集法)，在上单调递减，解得又，此时，故选D法二：(子集法)由，得，因为在上单调递减，所以解得因为，所以，所以，即的取值范围为故选D10C若甲在11日值班，则在除乙外的4人中任选1人在11日值班，有种选法，9日、10日有种安排方法，共有(种)安排方法；若甲在10日值班，乙在9日值班，余下的4人有种安排方法，共有12种安排方法；若甲、乙都在10日值班，则共有(种)安排方法所以总共有(种)安排方法11A由双曲线方程可得其渐近线方程为，即，圆可化为，圆心的坐标为，半径，由双曲线的一条渐近线与圆有两个不同的交点，得，即，即，又知，所以，即，所以，又知
10、，所以双曲线的离心率的取值范围为12D函数的导函数，当时，恒成立，函数在R内单调递减，不可能有两个零点；当时，令，得，函数在内单调递减，在内单调递增，所以的最小值为令，则，当时，单调递增，当时，单调递减，所以，所以的最小值，当时，当时，函数有两个零点综上，实数的取值范围是138令，则；令，则，两式相加得1416由，且不满足，则，由，则，由，则，由，则，由，则，由，则，由，则，由，退出循环，输出故选A15法一：(直接法)椭圆的中心在原点，一个焦点为，设椭圆方程为，由，消去，得，设直线与椭圆相交所得弦的端点分别为，由题意知，解得所求椭圆方程为法二：(点差法)椭圆的中心在原点，一个焦点为，设椭圆的方
11、程为设直线与椭圆相交所得弦的端点分别为，则得，即，又弦的中点的纵坐标为1，故横坐标为-2，代入上式得，解得，故所求的椭圆方程为16，由正弦定理可得，又为钝角，的最大值为17解(1)因为角A，B，C成等差数列，所以，又因为，所以根据正弦定理得，的外接圆直径(2)由，知，可得由(1)知的外接圆直径为1，根据正弦定理得，所以因为，所以所以，从而，所以的取值范围是18解(1)证明：因为，平面平面，平面平面，平面，所以平面，因为平面，所以因为，所以，所以，因为，所以平面(2)设，则，四面体的体积.，当时，单调递增；当时，单调递减故当时，四面体的体积取得最大值以为坐标原点，建立空间直角坐标系，则，设平面的
12、法向量为，则，即令，得，同理可得平面的一个法向量为，则由图可知，二面角为锐角，故二面角的余弦值为19解(1)，所以(2)将，代入，得，即(3)因为，所以预测到2022年年底，该地储蓄存款额可达15.6千亿元20解(1)直线与抛物线相切，联立消去得，从而，解得或(舍)抛物线的方程为(2)由于直线的斜率不为0，可设直线的方程为，联立消去得，即，线段的中点的坐标为设点到直线的距离为，点到直线的距离为，点到直线的距离为，则，当时，两点到直线的距离之和最小，最小值为21解(1)由题意知，当时，则，当时，在上单调递减；当时，在上单调递增，当时，取得极小值，的极小值为2(2)由题意知，令，得设，则当时，在上
13、单调递增；当时，在上单调递减是的唯一极值点，且是极大值点，因此也是的最大值点，的最大值为，又结合的图象(如图)，可知，当时，函数无零点；当时，函数有且只有一个零点；当时，函数有两个零点；当时，函数有且只有一个零点综上所述，当时，函数无零点；当或时，函数有且只有一个零点；当时，函数有两个零点22解(1)因为，所以，所以所以曲线的普通方程为因为，所以所以直线的直角坐标方程为(2)法一：由，不妨取，因为点，所以，所以法二：因为点在直线上，所以直线的参数方程为(为参数)，设，对应的参数分别为，将代入，得，所以，因为，所以，所以23解(1)当时，由，得两边平方整理，得，解得或所以原不等式的解集为(2)由，得令，则由分段函数图象可知，从而所求实数的取值范围为
