1、兰州市五十七中2022-2023学年度第一次模拟考试数学试卷（理科）注意事项：1答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。2回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用像皮擦干净后，再选涂其它答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。3考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1 已知全集UR，集合Mx|3x0，b0)，圆C2：x2y22axa20，若双曲线C1的一条渐近线与圆C2有两个不同的交点，则双曲线C1的离心率的取值范
2、围是()A BC(1,2) D(2，)12.若函数f(x)aexx2a有两个零点，则实数a的取值范围是()A.B.C(，0) D(0，)二、 填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13若(x1)4a0a1xa2x2a3x3a4x4，则a0a2a4的值为 14如图的程序框图的算法思路源于我国古代数学名著九章算术中的“更相减损术”执行该程序框图，若输入的a，b分别为176,320，则输出的a为 15.若椭圆的中心在原点，一个焦点为(0,2)，直线y3x7与椭圆相交所得弦的中点的纵坐标为1，则这个椭圆的方程为 16在钝角ABC中 ，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，B为钝角，若acos A
3、bsin A，则sin Asin C的最大值为 三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第1721题为必考题，每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答。（一）必考题：共60分。17(12分)ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.若角A，B，C成等差数列，且b.(1)求ABC的外接圆直径；(2)求ac的取值范围18.(12分)如图所示，在四面体ABCD中，ADAB，平面ABD平面ABC，ABBCAC，且ADBC4.(1)证明：BC平面ABD；(2)设E为棱AC的中点，当四面体ABCD的体积取得最大值时，求二面角CBDE的余弦值19(12分)某
4、地随着经济的发展，居民收入逐年增长，下表1是该地一建设银行连续五年的储蓄存款(年底余额)，年份x20132014201520162017储蓄存款y(千亿元)567810表1为了研究计算的方便，工作人员将上表的数据进行了处理，tx2 012，zy5得到下表2：时间代号t12345z01235表2(1)求z关于t的线性回归方程；(2)通过(1)中的方程，求出y关于x的回归方程；(3)用所求回归方程预测到2022年年底，该地储蓄存款额可达多少？(附：对于线性回归方程x，其中，)20(12分)已知直线l：xy10与焦点为F的抛物线C：y22px(p0)相切(1)求抛物线C的方程；(2)过焦点F的直线m
5、与抛物线C分别相交于A，B两点，求A，B两点到直线l的距离之和的最小值21.(12分)设函数f (x)ln x，mR.(1)当me(e为自然对数的底数)时，求f (x)的极小值；(2)讨论函数g(x)f (x)零点的个数（二）选考题：共10分。请考生在第22、23题中选定一题作答，并用2B铅笔在答题卡上将所选题目对应的题号方框涂黑。按所涂题号进行评分，不涂、多涂均按所答第一题评分；多答按所答第一题评分。22.（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程 在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为(m为参数)以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为sin cos
6、 0.(1)求曲线C的普通方程和直线l的直角坐标方程；(2)已知点P(0,1)，直线l与曲线C交于A，B两点，求的值23.（本小题满分10分）选修4 -5：不等式选讲已知函数f (x)|2x1|，g(x)|x|a.(1)当a0时，解不等式f (x)g(x)；(2)若存在xR，使f (x)g(x)成立，求实数a的取值范围答案及解析1已知全集UR，集合Mx|3x1，Nx|x|1，则阴影部分表示的集合是()A1,1 B(3,1 C(，3)(1，) D(3，1)D阴影部分表示M(UN)由UR，Nx|x|1，可得UNx|x1又Mx|3x1，所以M(UN)x|3x0，且不等式组所表示的平面区域如图所示直线
7、ykx1与x轴的交点为，直线ykx1与直线yx2的交点为，三角形的面积为，解得k1或k，经检验，k不符合题意，k1.8算法统宗是中国古代数学名著，由明代数学家程大位编著，它对我国民间普及珠算和数学知识起到了很大的作用，是东方古代数学的名著在这部著作中，许多数学问题都是以歌诀形式呈现的，“九儿问甲歌”就是其中一首：一个公公九个儿，若问生年总不知，自长排来差三岁，共年二百又零七，借问长儿多少岁，各儿岁数要详推在这个问题中，记这位公公的第n个儿子的年龄为an，则a1()A23 B32 C35 D38C由题意可知年龄构成的数列为等差数列，其公差为3，则9a1(3)207，解得a135，故选C9已知0，
8、函数f (x)sin在上单调递减，则的取值范围是()A(0,2 BC DD (1)法一：(反子集法)x，x.f (x)在上单调递减，解得又0，kZ，k0，此时，故选D法二：(子集法)由2kx2k，得x，kZ，因为f (x)sin在上单调递减，所以解得因为kZ，0，所以k0，所以，即的取值范围为.故选D10某单位拟安排6位员工在今年6月9日至11日值班，每天安排2人，每人值班1天若6位员工中的甲不值9日，乙不值11日，则不同的安排方法共有()A30种 B36种 C42种 D48种C若甲在11日值班，则在除乙外的4人中任选1人在11日值班，有C种选法，9日、10日有CC种安排方法，共有CCC24(
9、种)安排方法；若甲在10日值班，乙在9日值班，余下的4人有CCC种安排方法，共有12种安排方法；若甲、乙都在10日值班，则共有CC6(种)安排方法所以总共有2412642(种)安排方法11已知双曲线C1：1(a0，b0)，圆C2：x2y22axa20，若双曲线C1的一条渐近线与圆C2有两个不同的交点，则双曲线C1的离心率的取值范围是()A BC(1,2) D(2，)A由双曲线方程可得其渐近线方程为yx，即bxay0，圆C2：x2y22axa20可化为(xa)2y2a2，圆心C2的坐标为(a,0)，半径ra，由双曲线C1的一条渐近线与圆C2有两个不同的交点，得2b，即c24b2，又知b2c2a2
10、，所以c24(c2a2)，即c2a2，所以e1，所以双曲线C1的离心率的取值范围为.12若函数f(x)aexx2a有两个零点，则实数a的取值范围是()A.B.C(，0) D(0，)D 函数f(x)aexx2a的导函数f(x)aex1，当a0时，f(x)0时，令f(x)0，得xln，函数在内单调递减，在内单调递增，所以f(x)的最小值为f1ln2a1lna2a.令g(a)1lna2a(a0)，则g(a)2，当a时，g(a)单调递增，当a时，g(a)单调递减，所以g(a)maxgln20，所以f(x)的最小值fb，则b320176144，由ab，则a17614432，由ab，则b14432112，
11、由ab，则b1123280，由ab，则b803248，由ab，则a321616，由ab，退出循环，输出a16.故选A15若椭圆的中心在原点，一个焦点为(0,2)，直线y3x7与椭圆相交所得弦的中点的纵坐标为1，则这个椭圆的方程为 1 法一：(直接法)椭圆的中心在原点，一个焦点为(0,2)，设椭圆方程为1(b0)，由 消去x，得(10b24)y214(b24)y9b413b21960，设直线y3x7与椭圆相交所得弦的端点分别为A(x1，y1)，B(x2，y2)，由题意知1，y1y22，解得b28.所求椭圆方程为1.法二：(点差法)椭圆的中心在原点，一个焦点为(0,2)，设椭圆的方程为1(b0)设
12、直线y3x7与椭圆相交所得弦的端点分别为A(x1，y1)，B(x2，y2)，则得0，即，又弦AB的中点的纵坐标为1，故横坐标为2，k3，代入上式得3，解得b28，故所求的椭圆方程为1.16在钝角ABC中 ，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，B为钝角，若acos Absin A，则sin Asin C的最大值为 acos Absin A，由正弦定理可得，sin Acos Asin Bsin A，sin A0，cos Asin B，又B为钝角，BA，sin Asin Csin Asin(AB)sin Acos 2Asin A12sin2A2，sin Asin C的最大值为.17ABC的内角A，
13、B，C的对边分别为a，b，c.若角A，B，C成等差数列，且b.(1)求ABC的外接圆直径；(2)求ac的取值范围解(1)因为角A，B，C成等差数列，所以2BAC，又因为ABC，所以B.根据正弦定理得，ABC的外接圆直径2R1.(2)由B，知AC，可得0A.由(1)知ABC的外接圆直径为1，根据正弦定理得，1，所以acsin Asin Csin Asinsin.因为0A，所以A.所以sin1，从而sin，所以ac的取值范围是.18如图所示，在四面体ABCD中，ADAB，平面ABD平面ABC，ABBCAC，且ADBC4.(1)证明：BC平面ABD；(2)设E为棱AC的中点，当四面体ABCD的体积取
14、得最大值时，求二面角CBDE的余弦值解(1)证明：因为ADAB，平面ABD平面ABC，平面ABD平面ABCAB，AD平面ABD，所以AD平面ABC，因为BC平面ABC，所以ADBC因为ABBCAC，所以AB2BC2AC2，所以ABBC，因为ADABA，所以BC平面ABD(2)设ADx(0x4)，则ABBC4x，四面体ABCD的体积Vf (x)x(4x)2(x38x216x)(0x4)f (x)(3x216x16)(x4)(3x4)，当0x时，f (x)0，Vf (x)单调递增；当x4时，f (x)0，Vf (x)单调递减故当ADx时，四面体ABCD的体积取得最大值以B为坐标原点，建立空间直角坐
15、标系Bxyz，则B(0,0,0)，A，C，D，E.设平面BCD的法向量为n(x，y，z)，则，即令z2，得n(0,1，2)，同理可得平面BDE的一个法向量为m(1，1,2)，则cosm，n.由图可知，二面角CBDE为锐角，故二面角CBDE的余弦值为.19某地随着经济的发展，居民收入逐年增长，下表1是该地一建设银行连续五年的储蓄存款(年底余额)，年份x20132014201520162017储蓄存款y(千亿元)567810表1为了研究计算的方便，工作人员将上表的数据进行了处理，tx2 012，zy5得到下表2：时间代号t12345z01235表2(1)求z关于t的线性回归方程；(2)通过(1)中
16、的方程，求出y关于x的回归方程；(3)用所求回归方程预测到2022年年底，该地储蓄存款额可达多少？(附：对于线性回归方程x，其中，)解(1)3，2.2，tizi45，t55，1.2，2.231.21.4，所以1.2t1.4.(2)将tx2 012，zy5，代入1.2t1.4，得y51.2(x2 012)1.4，即1.2x2 410.8.(3)因为1.22 0222 410.815.6，所以预测到2022年年底，该地储蓄存款额可达15.6千亿元20已知直线l：xy10与焦点为F的抛物线C：y22px(p0)相切(1)求抛物线C的方程；(2)过焦点F的直线m与抛物线C分别相交于A，B两点，求A，B
17、两点到直线l的距离之和的最小值解(1)直线l：xy10与抛物线C：y22px(p0)相切，联立消去x得y22py2p0，从而4p28p0，解得p2或p0(舍)抛物线C的方程为y24x.(2)由于直线m的斜率不为0，可设直线m的方程为tyx1，A(x1，y1)，B(x2，y2)联立消去x得y24ty40，0，y1y24t，即x1x24t22，线段AB的中点M的坐标为(2t21,2t)设点A到直线l的距离为dA，点B到直线l的距离为dB，点M到直线l的距离为d，则dAdB2d22|t2t1|2，当t时，A，B两点到直线l的距离之和最小，最小值为.21设函数f (x)ln x，mR.(1)当me(e
18、为自然对数的底数)时，求f (x)的极小值；(2)讨论函数g(x)f (x)零点的个数解(1)由题意知，当me时，f (x)ln x(x0)，则f (x)，当x(0，e)时，f (x)0，f (x)在(0，e)上单调递减；当x(e，)时，f (x)0，f (x)在(e，)上单调递增，当xe时，f (x)取得极小值f (e)ln e2，f (x)的极小值为2.(2)由题意知g(x)f (x)(x0)，令g(x)0，得mx3x(x0)设(x)x3x(x0)，则(x)x21(x1)(x1)当x(0,1)时，(x)0，(x)在(0,1)上单调递增；当x(1，)时，(x)0，(x)在(1，)上单调递减x
19、1是(x)的唯一极值点，且是极大值点，因此x1也是(x)的最大值点，(x)的最大值为(1)，又(0)0.结合y(x)的图象(如图)，可知，当m时，函数g(x)无零点；当m时，函数g(x)有且只有一个零点；当0m时，函数g(x)有两个零点；当m0时，函数g(x)有且只有一个零点综上所述，当m时，函数g(x)无零点；当m或m0时，函数g(x)有且只有一个零点；当0m时，函数g(x)有两个零点22在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为(m为参数)以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为sin cos 0.(1)求曲线C的普通方程和直线l的直角坐标方程；(2)已知点P
20、(0,1)，直线l与曲线C交于A，B两点，求的值解(1)因为，所以，所以x2y24.所以曲线C的普通方程为x2y24.因为cos x，sin y，所以yx0.所以直线l的直角坐标方程为xy0.(2)法一：由，不妨取A，B.因为点P(0,1)，所以|PA|1，|PB|1.所以.法二：因为点P(0,1)在直线l上，所以直线l的参数方程为(t为参数)，设A，B对应的参数分别为t1，t2，将代入x2y24，得t22t100，(2)241(10)440，所以t1t22，t1t2100.因为|PA|t1|，|PB|t2|，所以，所以.23已知函数f (x)|2x1|，g(x)|x|a.(1)当a0时，解不等式f (x)g(x)；(2)若存在xR，使f (x)g(x)成立，求实数a的取值范围解(1)当a0时，由f (x)g(x)，得|2x1|x|.两边平方整理，得3x24x10，解得x1或x.所以原不等式的解集为(，1.(2)由f (x)g(x)，得a|2x1|x|.令h(x)|2x1|x|，则h(x)由分段函数图象可知h(x)minh，从而所求实数a的取值范围为.