1、兰州二十七中20212022学年度高三第一次月考数学（理）试卷一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。1已知集合，则（ ）AB CD2已知复，则复数的共轭复数（ ）ABCD3. 已知命题命题，则下列命题中为真命题的是（ ）A. B. C. D. 4. 函数的最小正周期和最大值分别是（ ）A. 和B. 和2C. 和D. 和25.( ) A B CD6青少年视力是社会普遍关注的问题，视力情况可借助视力表测量通常用五分记录法和小数记录法记录视力数据，五分记录法的数据L和小数记录表的数据V的满足已知某同学视力的五分记录法的数据为4.9，则其视力的小数记录法的数据为（ ）（）A. 0.6 B.
2、 0.8 C. 1.2D. 1.57.在中，为边上的中线，为的中点，则( )A B C D8.6名同学到甲、乙、丙三个场馆做志愿者，每名同学只去1个场馆，甲场馆安排1名，乙场馆安排2名，丙场馆安排3名，则不同的安排方法共有( ) A120种 B90种 C60种 D30种9若直线与曲线有公共点，则的取值范围是（ ）A B CD10. 某一简单几何体的三视图如图，则该几何体的外接球的表面积为（ ）A B C D11.设抛物线的焦点为,点在上,若以为直径的圆过点,则的方程为（）A或 B或 C或 D或 12.已知函数有唯一零点，则=( )A B C1D二填空题:本题共4小题，每小题5分，共20分 13
3、.曲线在点处的切线方程为_14 焦点在轴上的双曲线的渐近线方程为，则该双曲线的离心率为_15 已知的展开式中的系数为5，则_16.设是同一个半径为4的球的球面上四点，为等边三角形且其面积为，则三棱锥体积的最大值为 三、解答题：17.（10分）已知等差数列的前项和为，等比数列的前项和为，. （1）若，求的通项公式；（2）若，求.18. 已知的内角，的对边分别为，（1）求角；（2）若，求的面积.19（12分）如图，已知三棱柱，平面平面ABC,，（1）证明：；（2）求直线EF与平面所成角的余弦值 20.（12分）某超市为预估2021年十一期间游客购买土特产的情况，对2020年十二期间的90位游客购买
4、情况进行统计，得到如下人数分布表.购买金额（元）人数101520152010（1）根据以上数据完成列联表，并判断是否有的把握认为购买金额是否少于60元与性别有关.不少于60元少于60元合计男40女18合计（2）为吸引游客，该超市推出一种优惠方案，购买金额不少于60元可抽奖3次，每次中奖概率为（每次抽奖互不影响，且的值等于人数分布表中购买金额不少于60元的频率），中奖1次减5元，中奖2次减10元，中奖3次减15元.若游客甲计划购买80元的土特产，请列出实际付款数（元）的分布列并求其数学期望.附：参考公式和数据：，.附表：2.0722.7063.8416.6357.8790.1500.1000.0
5、500.0100.00521（12分）已知椭圆的左，右焦点分别为，离心率为，且（1）求椭圆的方程；（2）设椭圆的下顶点为，过右焦点作与直线关于轴对称的直线，且直线与椭圆分别交于点，为坐标原点，求的面积22.（12分）)已知函数f(x)xln x，g(x)x2ax2(e为自然对数的底数，aR)(1)判断曲线yf(x)在点(1，f(1)处的切线与曲线yg(x)的公共点个数；(2)当时，若函数yf(x)g(x)有两个零点，求a的取值范围理科数学参考答案一、选择题：1 C 2B 3A 4、 C 5、A 6B 7.A 8.C 9D10.C 11. B 12.D二、填空题 13、 14. 15 1 16.
6、三、解答题：17.(10分) 18.(12分)解：（1）由应用正弦定理得，即，整理得，于是，又，所以，（2），由余弦定理，得即，则于是19(12分)解 方法一：（1）连接A1E，因为A1A=A1C，E是AC的中点，所以A1EAC又平面A1ACC1平面ABC，A1E平面A1ACC1，平面A1ACC1平面ABC=AC，所以，A1E平面ABC，则A1EBC又因为A1FAB，ABC=90，故BCA1F所以BC平面A1EF因此EFBC（2）取BC中点G，连接EG，GF，则EGFA1是平行四边形由于A1E平面ABC，故A1EEG，所以平行四边形EGFA1为矩形由（1）得BC平面EGFA1，则平面A1BC平
7、面EGFA1，所以EF在平面A1BC上的射影在直线A1G上连接A1G交EF于O，则EOG是直线EF与平面A1BC所成的角（或其补角）不妨设AC=4，则在RtA1EG中，A1E=2，EG=.由于O为A1G的中点，故，所以因此，直线EF与平面A1BC所成角的余弦值是方法二：（1）连接A1E，因为A1A=A1C，E是AC的中点，所以A1EAC.又平面A1ACC1平面ABC，A1E平面A1ACC1，平面A1ACC1平面ABC=AC，所以，A1E平面ABC如图，以点E为原点，分别以射线EC，EA1为y，z轴的正半轴，建立空间直角坐标系Exyz不妨设AC=4，则A1（0，0，2），B（，1，0），C(0，
8、2，0)因此，由得（2）设直线EF与平面A1BC所成角为由（1）可得设平面A1BC的法向量为n，由，得，取n，故，因此，直线EF与平面A1BC所成的角的余弦值为20.(12分)【解析】（1）列联表如下：不少于60元少于60元合计男124052女182038合计306090，因此有的把握认为购买金额是否少于60元与性别有关.（2）可能取值为65，70，75，80，且.，所以的分布列为65707580.21（12分）解（1）由题得，解得，所以，所以椭圆的方程为（2）由题可知，直线与直线关于轴对称，所以由（1）知，椭圆的方程为，所以，所以，从而，所以直线的方程为，即联立方程，解得或设，不妨取，所以当
9、，；当，所以，设原点到直线的距离为，则，所以22.（12分）解(1)f(x)ln x1，所以切线斜率kf(1)1.又f(1)0，曲线在点(1,0)处的切线方程为yx1.由x2(1a)x10.由(1a)24a22a3(a1)(a3)可知：当0时，即a1或a3时，有两个公共点；当0时，即a1或a3时，有一个公共点；当0时，即1a3时，没有公共点(2)yf(x)g(x)x2ax2xln x，由y0，得axln x.令h(x)xln x，则h(x).当x时，由h(x)0，得x1.所以，h(x)在上单调递减，在1，e上单调递增，因此，hmin(x)h(1)3.由h2e1，h(e)e1比较可知hh(e)，所以，结合函数图象可得，当3ae1时，函数yf(x)g(x)有两个零点