专题8.6 向量法求空间角（原卷版）.docx

1、8.6 向量法求空间角思维导图知识点总结1.异面直线所成的角若异面直线l1，l2所成的角为，其方向向量分别为e1，e2，则cos |cose1，e2|.2.直线与平面所成的角如图，直线AB与平面相交于点B，设直线AB与平面所成的角为，直线AB的方向向量为e，平面的法向量为n，则sin |cose，n|.3.二面角(1)如图，AB，CD分别是二面角l的两个面内与棱l垂直的直线，则二面角的大小，.如图，n1，n2分别是二面角l的两个半平面，的法向量，则二面角的大小满足|cos | |，二面角的平面角大小是向量n1与n2的夹角(或其补角).常用结论1.线面角的正弦值等于直线的方向向量u与平面的法向量

2、n所成角的余弦值的绝对值，即sin |cosu，n|，不要误记为cos |cosu，n|.2.二面角的范围是0，两个平面夹角的范围是.典型例题分析考向一 异面直线所成的角例1 (1)如图，在正方体ABCDA1B1C1D1中，E，F分别为棱AA1，A1D1的中点，则直线BE与DF所成角的余弦值为()A. B. C. D.(2)如图所示，在棱长为2的正方体ABCDA1B1C1D1中，E是棱CC1的中点，若异面直线D1E和A1F所成角的余弦值为，则的值为_.感悟提升用向量法求异面直线所成的角的一般步骤(1)建立空间直角坐标系；(2)用坐标表示两异面直线的方向向量；(3)利用向量的夹角公式求出向量夹角

3、的余弦值；(4)注意两异面直线所成角的范围是，即两异面直线所成角的余弦值等于两向量夹角的余弦值的绝对值.考向二 直线与平面所成的角例2(1) (2022全国甲卷)在四棱锥PABCD中，PD底面ABCD，CDAB，ADDCCB1，AB2，DP.(1)证明：BDPA；(2)求PD与平面PAB所成的角的正弦值.感悟提升向量法求直线与平面所成角的主要方法是：(1)分别求出斜线和它在平面内的射影直线的方向向量，将题目转化为求两个方向向量的夹角(或其补角)；(2)通过平面的法向量来求，即求出斜线的方向向量与平面的法向量所夹的锐角或钝角的补角，取其余角就是斜线和平面所成的角.(2)(2022北京卷)如图，在

4、三棱柱ABCA1B1C1中，侧面BCC1B1为正方形，平面BCC1B1平面ABB1A1，ABBC2，M，N分别为A1B1，AC的中点.(1)求证：MN平面BCC1B1；(2)再从条件、条件这两个条件中选择一个作为已知，求直线AB与平面BMN所成角的正弦值.条件：ABMN；条件：BMMN.注：如果选择条件和条件分别解答，按第一个解答计分.考向三 二面角3 (2022新高考卷改编)如图，PO是三棱锥PABC的高，PAPB，ABAC，E为PB的中点.(1)证明：OE平面PAC；(2)若ABOCBO30，PO3，PA5，求二面角C-AE-B的正弦值.思路分析(1)作出过直线OE的一个平面，证明这个平面

5、与平面PAC平行，从而证明OE平面PAC.(2)建系设点写坐标求平面的法向量利用公式求二面角的正弦值.规范解答(1)证明如图，取AB的中点D，连接DP，DO，DE.因为APPB，所以PDAB.因为PO为三棱锥PABC的高，所以PO平面ABC.因为AB平面ABC，所以POAB.又PO，PD平面POD，且POPDP，所以AB平面POD.(1分)因为OD平面POD，所以ABOD，又ABAC，AB，OD，AC平面ABC，所以ODAC.因为OD平面PAC，AC平面PAC，(2分)因为D，E分别为BA，BP的中点，所以DEPA.因为DE平面PAC，PA平面PAC，(3分)又OD，DE平面ODE，ODDED

6、，又OE平面ODE，(4分)(2)解连接OA，因为PO平面ABC，OA，OB平面ABC，所以POOA，POOB，所以OAOB4.易得在AOB中，OABABO30，所以ODOAsin 3042，AB2AD2OAcos 30244.又ABCABOCBO60，所以在RtABC中，ACABtan 60412.(6分)以A为坐标原点，AB，AC所在直线分别为x，y轴，以过A且垂直于平面ABC的直线为z轴如图所示，则A(0，0，0)，B(4，0，0)，C(0，12，0)，P(2，2，3)，E，所以，(4，0，0)，(0，12，0).设平面AEC的一个法向量为n(x，y，z)，则即令z2，则n(1，0，2)

7、.(8分)设平面AEB的一个法向量为m(x1，y1，z1)，则即令z12，(10分)所以|cosn，m|.设二面角C-AE-B的大小为，则sin .(12分)满分规则得步骤分：处通过证明线线线面面面线面，注意应用相关定理的条件应完整，否则易失步骤分.得关键分：处求出两个平面的法向量是解题的关键，此处运算错误会导致第(2)小题得零分.得计算分：处为根据题目条件计算几何体的棱长，以便写出各顶点的坐标.4. (2022新高考卷改编)如图，直三棱柱ABCA1B1C1的体积为4，A1BC的面积为2.(1)求A到平面A1BC的距离；(2)设D为A1C的中点，AA1AB，平面A1BC平面ABB1A1，求二面

8、角A-BD-C的正弦值.基础题型训练一、单选题1如图，在正方体中，点E是上底面的中心，则异面直线与所成角的余弦值为（）ABCD2若直线l的方向向量为，平面的法向量为，则能使l的是（）A，B，C，D，3如图，正方体中，是的中点，则下列说法正确的是（）A直线与直线垂直，直线平面B直线与直线平行，直线平面C直线与直线异面，直线平面D直线与直线相交，直线平面4如图，正方体的棱长为a，M，N分别为和AC上的点，则MN与平面的位置关系是（）A相交但不垂直B平行C相交且垂直D不能确定5若空间两直线与的方向向量分别为和，则两直线与垂直的充要条件为（）A，（）B存在实数k，使得CD6如图，三棱柱的各棱长均为2，

9、侧棱与底面所成的角为，为锐角，且侧面底面，给出下列四个结论：；直线与平面所成的角为；其中正确的结论是ABCD二、多选题7若(2，3，1)是平面的一个法向量，则下列向量中能作为平面的法向量的是（）A(，3，)B (200，100)C (，)D (，3，0)8已知点是平行四边形所在的平面外一点，如果，下列结论正确的有（）AB四边形为矩形C是平面的一个法向量D三、填空题9设分别是平面的法向量，若，则实数的值是_10已知直线的一个方向向量为，平面的一个法向量为，且直线与平面平行，则实数_11已知正三棱柱的侧棱长为2，底面边长为1，是的中点，若直线上有一点，使，则_.12，为空间中两条互相垂直的直线，等

10、腰直角三角形的直角边所在直线与，都垂直，斜边以直线为旋转轴旋转，有下列结论：（1）当直线与成角时，与成角；（2）当直线与成角时，与成角；（3）直线与所成角的最小值为；（4）直线与所成角的最小值为；其中正确的是_（填写所有正确结论的编号）.四、解答题13设分别是空间中两个不重合的平面的法向量，分别根据下列条件判断平面的位置关系.（1）；（2）.14如图，四边形为正方形，分别为，的中点，以为折痕把折起，使点到达点的位置，且点在平面上的投影点恰好在上(1)证明：(2)求二面角的大小15如图所示，四棱锥中，平面.（1）求证:平面;（2）若点是线段的中点，求平面与平面所成锐二面角的余弦值.16如图，四面

11、体中，、分别是、的中点，（1）求证：平面；（2）求点到平面的距离；（3）求二面角的余弦值提升题型训练一、单选题1在空间直角坐标系中，若直线l的方向向量为，平面的法向量为，则（）ABC或Dl与斜交2若平面，平面的法向量为，则平面的一个法向量可以是（）ABCD3已知，则平面ABC的一个法向量可以是（）ABCD4已知A（0，0，1），B（3，0，0），C（0，2，0），则原点到平面ABC的距离是（）ABC1D5在边长及对角线都为1的空间四边形中，分别是，的中点，则直线和夹角的余弦值为（）ABCD6如图，在棱长为2的正方体中，点分别是棱、的中点，则点到平面的距离等于（）ABCD二、多选题7我们知道，平

12、面几何中有些正确的结论在空间中不一定成立下面给出的平面几何中的四个真命题， 在空间中仍然成立的有（）A平行于同一条直线的两条直线必平行B垂直于同一条直线的两条直线必平行C一个角的两边分别平行于另一个角的两边，那么这两个角相等或互补D一个角的两边分别垂直于另一个角的两边，那么这两个角相等或互补8在长方体中，为棱的中点，点满足，其中，则下列结论正确的有（）A当时，异面直线与所成角的余弦值为B当时，C当时，有且仅有一个点，使得D当时，存在点，使得三、填空题9在直三棱柱中，给出向量：；可以作为平面ABC的法向量的是_（选填序号）10在正方体中，E为的中点，若O为底面的中心，则异面直线与所成角的余弦值为

13、_.11在棱长为1的正方体中，分别为，的中点，点在正方体的表面上运动，且满足，给出下面四个结论：点可以是棱的四等分点，且靠近点；线段的最大值为；点的轨迹是正方形；点轨迹的长度为则其中所有正确结论的序号是_（注：本题给出的结论中，有多个符合题目要求全部选对得5分，不选或有错选得0分，其他得3分）12已知正四面体中，分别是线段，的中点，点是线段上靠近的四等分点，则直线与所成角的余弦值为_四、解答题13已知长方体中，点S、P在棱、上，且，点R、Q分别为AB、的中点求证：直线直线14如图，正方形和矩形所在的平面互相垂直，是线段的中点.(1)求证：平面；(2)求证：平面平面；(3)求平面与平面夹角的余弦值；15已知直四棱柱的底面为菱形，且，点为的中点.(1)证明：平面；(2)求二面角的余弦值.16如图，四棱锥的底面为正方形，底面，点在棱上，且，点是棱上的动点（不含端点）.(1)若是棱的中点，求的余弦值；(2)求与平面所成角的正弦值的最大值.