1、专题8 一元一次方程的解法一、解含参的一元一次方程【学霸笔记】系数含字母的一元一次方程可以化为的形式，当字母的取值范围未给出时，则要分类讨论解的情况，当时，方程有唯一解；当时，方程有无数个解；当时，方程无解.系数含字母的方程可以根据已知条件讨论解的个数，如解分别是正数、负数时需要满足的条件是什么等.【典例】解关于x的方程：13m（xn）=14（x+2m）【解答】解：去分母得：4m（xn）3（x+2m），去括号得：4mx4mn3x+6m，移项合并得：（4m3）x4mn+6m，当4m30时，解得：x=4mn+6m4m-3，当4m30，4mn+6m0时，方程有无数个解，当4m30，4mn+6m0时，
2、方程无解【巩固】已知关于x的一元一次方程kx+a6-x-bk3=2，其中a，b，k为常数（1）当k3，a1，b1时，求该方程的解；（2）试说明当k2时，原方程有无数多个解，并求出此时a+4b的值；（3）若无论k为何值时，该方程的解总是x3，求ab的值【解答】解：（1）由题意得：3x-16-x-33=23x12x+612x7（2）当k2时，方程为：2x+a6-x-2b3=22x+a2x+4b120x12a4b方程有无数解，12a4b0a+4b12（3）该方程化为：kx+a2x+2bk12当x3时，（2b3）k12a6（2b3）k6a无论k为何值，等式恒成立，2b30，6a0a6，b=32ab63
3、2=9二、解含有绝对值的方程【学霸笔记】解绝对值方程的基本方法是去掉绝对值符号，转化为一般方程求解，常见的转化思路如下：（1）简单的绝对值方程：形如的形式，可以将此类方程转化为两个一元一次方程，即和；（2）含多重或多个绝对值符号的绝对值方程，可采用“零点分段法”，解此类方程的步骤如下：求出各个临界点；根据未知数的取值范围进行分类讨论；去绝对值符号，化为一般方程求解.【典例】解方程|x2|+|2x+1|7【解答】解：当x0.5时，2x12x7，解得x2；当0.5x2时，2x+2x+17，解得x4（不符合题意的解要舍去）；当x2时，x2+2x+17，解得x=83，综上所述：x2，x=83【巩固】关
4、于x的方程|x2|1|a有三个整数解，求a的值【解答】解：若|x2|1a，当x2时，x21a，解得：xa+3，a1；当x2时，2x1a，解得：x1a；a1；若|x2|1a，当x2时，x21a，解得：xa+3，a1；当x2时，2x1a，解得：xa+1，a1；又方程有三个整数解，可得：a1或1，根据绝对值的非负性可得：a0即a只能取1巩固练习1已知关于x的方程|x|axa有正根且没有负根，则a的取值范围是（）Aa1Ba1Ca2或a2Da1或a1【解答】解：方法一：当axa0，a（x1）0，解得：x1 且 a0，或者 x1且a0，正根条件：x0，xaxa，即x=aa-10，解得：a1 或a0， 由，
5、即得正根条件：a1 且x1，或者a0，0x1，负根条件：x0，得：xaxa，解得：x=aa+10，即1a0， 由，即得负根条件：1a0，x0，根据条件：只有正根，没有负根，因此只能取 a1（此时x1，没负根），或者a1（ 此时0x1，没负根）综合可得，a1或a1故选：D方法二：解：如图直线y|x|，yaxa的图象如图所示：观察图象可知：当直线yaxa与直线yx平行时，a1，当直线yaxa与直线yx平行时，a1，直线yaxa与直线y|x|的交点在第一象限时，方程|x|axa有正根且没有负根，a1或a1满足条件故选：D2方程x3+x15+x35+x20052007=1的解是x（）A20062007
6、B20072006C20071003D10032007【解答】解：x3+x15+x35+x20052007=1，提取公因式，得x （13+115+135+120052007）1，将方程变形，得x12（1-13）+12（13-15）+12（15-17）+12（12005-12007）1，提取公因式，得x2（1-13+13-15+15-17+12005-12007）1，移项，合并同类项，得x2（1-12007）1，系数化为1，得x=20071003故选：C3方程|x|+|x2002|x1001|+|x3003|的整数解共有（）A1002个B1001个C1000个D2002个【解答】解：|x|+|x
7、2002|是数轴上点x到0和2002的距离的之和，记为d显然，当0x2002时，d2002；当x0或x2002时，d2002同理，|x1001|+|x3003|是数轴上的点x到两点1001和3003的距离之和，记为d，显然当1001x3003时，d2002；当x1001或x3003时，d2002因此，如果，1001x2002，则dd2002；如果2002x3003，则d2002d；如果0x1001，则d2002d；如果x3003，则dx+（x2002）（x1001）+（x3003）d；如果x0，则dx+（2002x）（1001x）+（3003x）d所以题设方程是符合1001x2002的所有整数
8、，共有1002个故选：A4已知方程x36x100有一根x0满足kx0k+1，k为正整数，则k3【解答】解：x36x100，x（x26）10，方程有一根，x2-60x2-610，x0满足kx0k+1，k为正整数，x只能取正整数部分，2x4，方程有一根x0满足kx0k+1，k为正整数，k3；故答案为：3520个质量分别为1，2，3，19，20克的砝码放在天平两边，正好达到平衡（1）试将砝码，（，分别代表1克，2克，的砝码）分别放在天平两边，使之达到平衡，且可从每边各取下同样多的偶数个砝码，仍能使天平保持平衡 ；（2）试将砝码，（，分别代表1克，2克，的砝码）分别放在天平两边，使之达到平衡，且从每边
9、无论怎样取下同样多个砝码，都不能再使天平保持平衡 【解答】解：（1）天平一边是砝码，天平另一边是砝码，19克，两边每次取质量和为21克的偶数个砝码；（2）天平一边是砝码，14克，天平另一边是砝码15克，16克，17克，18克，19克，从每边无论怎样取下同样多个砝码，都不能再使天平保持平衡6解下列方程：（1）|x+3|x1|x+1（2）|x1|+|x5|4【解答】解：（1）当x1时，原方程可化为：x+3（x1）x+1，解得：x3；当x3时，原方程可化为：x3（1x）x+1，解得：x5；当3x1时，原方程可化为：x+3+x1x+1，解得：x1综上可得：方程的解为：x3或x5或x1；（2）方程可理解
10、为一个点到1和5两点的距离和，由此可得方程的解为：1x57解关于x的方程|12x2|3a【解答】解：|12x2|3a，|12x2|3+a，当a3时，则12x23+a或12x23a，解得：x10+2a或x22a当a3时，此方程无解8当a满足什么条件时，关于x的方程|x2|x5|a有一解？有无数多个解？无解？【解答】解：x5时，x2（x5）x2x+53，当a3时，有无数多解；当a3时，无论a取何值均无解；x2时，2x（5x）2x5+x3，当a3时，有无数解；当a3时，无解；2x5时，x2（5x）x25+x2x7，42x10，472x7107即：32x73所以当3a3时，有一解；当a3或a3时，无解
11、综上所述，当a3时，方程有无数个解，当a3或a3时，无解；当3a3时，有一解9已知p、q都是质数，并且以x为未知数的一元一次方程px+5q97的解是1，求代数式40p+101q+4的值【解答】解：把x1代入方程px+5q97可得：p+5q97，故p与5q中必有一个为偶数，若p2，则5q95，q19，40p+101q+42003若5q为偶数，则q为2，p87，而87不是质数，与题意矛盾综上可得：40p+101q+42003故答案为：200310已知关于x的方程2x-2(x-a4)=3x和x+a9-1-3x12=1有相同的解，求a与方程的解【解答】解：由第一个方程得：x=a5由第二个方程得：x=39-4a13所以a5=39-4a13，解得a=6511，所以x=1311
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