专题7.2基本不等式(原卷版).docx

1、7.2 基本不等式思维导图知识点总结1.基本不等式(1)如果a，b是正数，那么 (当且仅当ab时等号成立).我们把不等式(a，b0)称为基本不等式.(2)当a，bR时，ab (当且仅当ab时等号成立)，ab (当且仅当ab时等号成立).2.两个重要的不等式(1)a2b22ab(a，bR)，当且仅当ab时取等号.(2)ab(a，bR)，当且仅当ab时取等号.3.利用基本不等式求最值对于正数a，b，在运用基本不等式时应注意：(1)和ab为定值时，积ab有最大值；积ab为定值时，和ab有最小值.(2)取等号的条件.常用结论1.ab.要根据两数积、两数和、两数平方和选择合适的形式.2.在利用不等式求最

2、值时，一定要尽量避免多次使用基本不等式.若必须多次使用，则一定要保证它们等号成立的条件一致.典型例题分析考向一 利用基本不等式求最值角度1配凑法例1 (1)若x，则f(x)3x1有()A.最大值0 B.最小值9C.最大值3 D.最小值3(2)已知0x，则x的最大值为_.(3)(2023天津模拟)函数y(x1)的最小值为_.角度2常数代换法例2 (1)(2023石家庄模拟)已知x0，y0，且x2y2，则2x4y的最小值为_，的最小值为_.(2)(2022深圳二模)已知0x1，则的最小值是_.角度3消元法例3 (2023湖南省级示范校检测)设正实数x，y，z满足x23xy4y2z0，则当取得最大值

3、时，的最大值为_.角度4构建不等式法例4 已知x0，y0，x3yxy9，则x3y的最小值为_.感悟提升1.利用配凑法求最值，主要是配凑成“和为常数”或“积为常数”的形式.2.常数代换法，主要解决形如“已知xyt(t为常数)，求的最值”的问题，先将转化为，再用基本不等式求最值.3.当所求最值的代数式中的变量比较多时，通常考虑利用已知条件消去部分变量后，凑出“和为常数”或“积为常数”的形式，最后利用基本不等式求最值.4.构建目标式的不等式求最值，在既含有和式又含有积式的等式中，对和式或积式利用基本不等式，构造目标式的不等式求解.考向二 利用基本不等式求参数或范围例5 (1)(2022威海期末)关于

4、x的不等式ax2|x|2a0的解集是R，则实数a的取值范围为_.(2)已知不等式(xy)9对任意正实数x，y恒成立，则正实数a的最小值为_.感悟提升1.对于不等式恒成立问题可利用分离参数法，把问题转化为利用基本不等式求最值；2.利用基本不等式确定等号成立的条件，也可得到参数的值或范围.考向三 利用基本不等式解决实际问题例6 为了美化校园环境，园艺师在花园中规划出一个平行四边形，建成一个小花圃，如图，计划以相距6米的M，N两点为AMBN一组相对的顶点，当AMBN的周长恒为20米时，小花圃占地面积(单位：平方米)最大为()A.6 B.12 C.18 D.24感悟提升利用基本不等式解决实际应用问题的

5、思路(1)设变量时一般要把求最大值或最小值的变量定义为函数.(2)根据实际问题抽象出函数的解析式后，只需利用基本不等式求得函数的最值.(3)在求函数的最值时，一定要在定义域(使实际问题有意义的自变量的取值范围)内求解.训练3 某公司一年购买某种货物400吨，每次都购买x吨，运费为4万元/次，一年的总存储费用为4x万元，要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则x_吨.答案20解析该公司一年购买某种货物400吨，每次都购买x吨，则需要购买次，运费为4万元/次，一年的总存储费用为4x万元，一年的总运费与总存储费用之和为万元，44x160，当且仅当4x，即x20吨时，一年的总运费与总存储费用之和最小.

6、考向四 重要不等式链 若a0，b0，则.其中和分别叫做a，b的调和平均数和平方平均数.要根据题目需要选择合适的形式.一、利用不等式链求最值例1 (多选)设正实数a，b满足ab1，则()A.有最大值B.有最小值3C.a2b2有最小值D.有最大值二、利用基本不等式链证明不等式例2 已知a，b，c都是非负实数，求证：(abc).训练 当x时，函数y的最大值为_.基础题型训练一、单选题1已知正数，满足，则的最大值为（）ABC1D22已知，则的最小值是ABCD3设，则（）ABCD4若a1，则的最小值是（）A2BaC D35已知，且，若有解，则实数m的取值范围为（）A（-，-1）（9，+）B（-9，1）C

7、-9，1D（-1，9）6已知，全集为R，集合，则有（）A（）B（）CD二、多选题7在下列函数中，最小值是2的函数有（）ABCD8，则下列结论正确的是（）ABCD 三、填空题9已知正数a、b满足a+b= 1，则ab的最大值为_10已知x0，则的最大值等于_11已知a0，b0，且a+2b=2，则的最小值为_12设、是不等于的正数，则的取值范围是_.四、解答题13设，求函数的最大值.14（1）当且时，求函数的最小值.（2）当时，求函数的最大值.15（1）若，求的最小值；（2）若，比较、的大小.16定义:记为这个实数中的最小值，记为这个实数中的最大值，例如:.（1）求证:；（2）已知，求的最小值；（3

8、）若，求的最小值.提升题型训练一、单选题1若命题“对任意的，恒成立”为假命题，则m的取值范围为（）ABCD2若点在线段上运动，且，设，则A有最大值2B有最小值1C有最大值1D没有最大值和最小值3若，则的最小值为A8B6C4D24若，则“”是“”的（）.A必要不充分条件B充分不必要条件C充分必要条件D既不充分也不必要条件5已知，则的最小值是（）A1B2C3D46已知，则的最小值为（）ABCD二、多选题7下列说法中正确的是（）A不等式恒成立B当时，的最小值是2C设，且，则的最小值是D，使得不等式成立8已知，且，则下列说法正确的是（）ABC的最小值为D三、填空题9已知，比较两数的大小：_910某市对

9、新建住宅的屋顶和外墙都要求建造隔热层某建筑物准备建造可以使用30年的隔热层，据当年的物价，每厘米厚的隔热层的建造成本是9万元根据建筑公司的前期研究得到，该建筑物30年间每年的能源消耗费用N（单位：万元）与隔热层的厚度h（单位：厘米）满足关系：经测算知道，如果不建造隔热层，那么30年间每年的能源消耗费用为10万元设为隔热层的建造费用与30年间的能源消耗费用的总和，那么使达到最小值的隔热层的厚度h_厘米11已知,且,若 恒成立，则实数的取值范围是 当 取到最大值时 12若实数x，y满足，则的最小值为_.四、解答题13已知，求的最小值，并说明x为何值时y取得最小值14若，且，求与的最小值15已知满足，求的解析式.16选修4-5：不等式选讲（1）已知函数的定义域为，求实数的取值范围；（2）若正实数满足，求的取值范围.