1、专题6.7 正比例函数的图象和性质（知识梳理与考点分类讲解）【知识点1】函数的图象1.函数的图象：把一个函数自变量的每一个值与对应的函数值分别作为点的横坐标和纵坐标,在直角坐标系内描出相应的点,所有这些点组成的图形叫做该函数的图象,2.函数图象的画法步骤(1)列表：列表给出一些自变量和函数的对应值(2)描点：以表中各组对应值为坐标,在坐标平面内描出相应的点(3)连线：按照自变量由小到大的顺序,把所描各点用线依次连接起来,特别解读(1)函数的图象是由一些点组成的,在描点的时候应尽可能地多选几个点,使图象更准确；在画图象时,应考虑自变量的取值范围.【知识点2】正比例函数图象1.一般地,正比例函数y
2、=kx(k是常数,k0)的图象是一条经过原点(0,0)的直线,我们称它为直线y=kx(k0)特别解读:有些正比例函数的图象因其自变量取值范围的限制,并不一定是一条直线,可能是一条射线、一条线段或一些点.2.图象的画法：因为两点确定一条直线，所以可用两点法画正比例函数y=kx(k0)的图象，一般地，过原点和点(1,k)的直线，即为正比例函数y=kx(k0)的图象.特别解读:正比例函数y=kx(k0)中，k越大，直线与x轴相交所成的锐角越大，直线越陡；|k越小，直线与x轴相交所成的锐角越小，直线越缓。【知识点3】正比例函数的性质正比例函数（是常数，0）的图象是一条经过原点的直线，我们称它为直线.当
3、0时，直线经过第一、三象限，从左向右上升，即随着的增大也增大；当0时，直线经过第二、四象限，从左向右下降，即随着的增大反而减小.【知识点4】待定系数法求正比例函数的解析式由于正比例函数（为常数，0 ）中只有一个待定系数，故只要有一对，的值或一个非原点的点，就可以求得值.【考点一】正比例函数的图象【例1】（2023春湖北襄阳八年级校考阶段练习）已知正比例函数的图象过点，求：（1）求正比例函数关系式；（2）画出正比例函数的图象；（3）当自变量x满足时，直接写出对应函数值y的取值范围【答案】（1）；（2）画图见分析；（3）【分析】（1）把代入函数解析式即可；（2）先列表描点，再连线即可；（3）分别求
4、解当时，；当时，；从而可得答案（1）解：正比例函数的图象过点，正比例函数为；（2）列表：00描点连线：（3）当时，；当时，；当自变量x满足时，对应函数值y的取值范围为【点拨】本题考查的是利用待定系数法求解正比例函数的解析式，画正比例函数的图象，求解函数的函数值的取值范围，熟练掌握正比例函数的图象与性质是解本题的关键【举一反三】【变式1】（2023秋安徽合肥八年级合肥一六八中学校考阶段练习）若点，在同一个正比例函数图象上，则的值是（）AB3C3D【答案】A【分析】设正比例函数解析式为将A，B两点代入可计算的值，再将原式化简后代入即可求解解：设正比例函数解析式为，将点，代入上式，得，故选：A【点拨
5、】本题主要考查一次函数图象上点的特征，求解的值是解题的关键【变式2】（2021春福建龙岩八年级校考期中）如图，在图象上有一点A，若A点的坐标为，O为原点则的长为 【答案】2【分析】根据坐标系中两点间的距离公式求解即可解：；故答案为：2【点拨】本题考查了正比例函数图象和坐标系中两点间的距离，熟记公式是关键【考点二】正比例函数的性质【例2】（2022秋陕西榆林八年级校考期中）已知与成正比例，且时，（1）求与之间的关系式；（2）它的图象经过点，求的值【答案】（1）；（2）【分析】（1）由与成正比例，设，把，代入解析式求解即可得到答案；（2）把点的坐标代入函数解析式即可得到答案（1）解：与成正比例，设
6、，时，解得：， ，即：，与之间的函数关系式为；（2）解：它的图象经过点，解得：【点拨】本题考查的是成正比例的含义，利用待定系数法求解一次函数解析式，掌握以上知识是解题的关键【举一反三】【变式1】（2023秋安徽蚌埠八年级统考阶段练习）关于正比例函数，下列结论不正确的是（）A图象经过原点By随x的增大而减小C点在函数的图象上D图象经过二、四象限【答案】C【分析】根据正比例函数的图象和性质，逐项判断即可求解解：A、图象经过原点，故本选项正确，不符合题意；B、因为，所以y随x的增大而减小，故本选项正确，不符合题意；C、当时，则点不在函数的图象上，故本选项错误，符合题意；D、因为，所以图象经过二、四象
7、限，故本选项正确，不符合题意；故选：C【点拨】本题主要考查了正比例函数的图象和性质，熟练掌握正比例函数的图象和性质是解题的关键【变式2】（2023春山东枣庄八年级校考期中）规定：是一次函数（a，b为实数，且）的“特征数”若“特征数”为的一次函数是正比例函数，且y随x的增大而减小，则点所在的象限是第 象限【答案】二【分析】根据题意得出，求出，求出为，即可得出答案解：“特征数”为的一次函数是正比例函数，解得：，y随x的增大而减小，解得：，在第二象限，在第二象限故答案为：二【点拨】本题主要考查了正比例函数的性质，象限内点的特点，解题的关键是求出点的坐标，记住各象限内点的坐标的符号是解决的关键，四个象
8、限的符号特点分别是：第一象限；第二象限；第三象限；第四象限【例3】（2023春上海八年级专题练习）如图，长方形边（1）直线，交边于点，求的取值范围：（2）直线，将长方形的面积分成两部分，靠近轴的一部分记作，试写出关于的解析式；（3）直线，是否可能将长方形的面积分成两部分的面积比为？若能，求出的值；若不能，说明理由【答案】（1）；（2）；（3），或【分析】（1）待定系数法求得直线的解析式，即可求解；（2）分类讨论当直线，与相交，根据长方形面积减去即可求解，当直线与相交，直接根据三角形面积公式求解；（3）根据（2）的结论，结合题意，列出方程，解方程即可求解（1）解：长方形边，将代入，得，直线的解析
9、式为，直线，交边于点，；（2）解：直线，将长方形的面积分成两部分，靠近轴的一部分记作，令，即，由，令，则，即直线与的交点为，当时，综上所述，；（3）由（2）可得，直线，将长方形的面积分成两部分的面积比为，当与线段有交点时，即，解得，当与线段有交点时，即，解得，综上所述，或【点拨】本题考查了正比例函数的性质，坐标与图形，分类讨论是解题的关键【举一反三】【变式1】（2023河南新乡校联考三模）如图，在平面直角坐标系中，的顶点均在坐标轴上，已知点，连接，则所在直线的表达式是（）ABCD【答案】A【分析】如图所示，过点C作轴于D，证明得到，进而求出，由此利用待定系数法求出对应的函数解析式即可解：如图所
10、示，过点C作轴于D，又，设直线所在直线的表达式为，即，直线所在直线的表达式为，故选A【点拨】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，求正比例函数解析式，正确作出辅助线构造全等三角形是解题的关键【变式2】（2023春福建厦门八年级统考期末）如图，平面直角坐标系中有，两点，将沿x轴向右平移后得到，点B的对应点F在直线上，则点D的坐标为 【答案】【分析】先根据平移的性质求出点的纵坐标为3，代入可得点的坐标，从而可得平移距离，再根据点坐标的平移变换规律即可得解：将沿轴向右平移后得到，且，点的纵坐标为3，当时，解得，将沿轴向右平移个单位长度后得到，平移后，点与点是对应点，且，即，故答案为：【点拨】本题考查了正比例函数、点坐标的平移变换，熟练掌握点坐标的平移变换是解题关键
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