1、专题6.7 反比例函数与面积问题（知识讲解）【学习目标】1. 能根据反比例函数图象求出其面积，或据面积求出解析式；2. 掌握并运用K值的几何意义解决问题；3. 充分利用数形结合思想解决问题。【要点梳理】反比例函数()中的比例系数的几何意义过双曲线() 上任意一点作轴、轴的垂线，所得矩形的面积为.过双曲线() 上任意一点作一坐标轴的垂线，连接该点和原点，所得三角形的面积为.特别说明：只要函数式已经确定，不论图象上点的位置如何变化，这一点与两坐标轴的垂线和两坐标轴围成的面积始终是不变的.【典型例题】类型一、已知比例系数求特殊四边形面积1 如图，在平面直角坐标系中，四边形OABC为矩形，点B在函数y
2、1（x0）的图象上，边AB与函数y2（x0）的图象交于点D求四边形ODBC的面积【答案】3【分析】根据反比例函数k的几何意义可知：AOD的面积为1，矩形ABCO的面积为4，从而可以求出阴影部分ODBC的面积解：点D是函数y2（x0）图象上的一点，AOD的面积为，点B在函数y1（x0）的图象上，四边形ABCO为矩形，矩形ABCO的面积为4，阴影部分ODBC的面积矩形ABCO的面积-AOD的面积4-13，故选：B【点拨】本题考查反比例函数的几何意义，解题的关键是正确理解的几何意义举一反三：【变式1】如图，正比例函数ykx(k0)与反比例函数y的图象相交于A，C两点，过点A作x轴的垂线交x轴于点B，
3、连接BC，则的面积等于多少？【答案】4【分析】由于点A、C位于反比例函数图象上且关于原点对称，则SOBA=SOBC，再根据反比例函数系数k的几何意义作答即可解：因为过双曲线上任意一点与原点所连的线段、坐标轴、向坐标轴作垂线所围成的直角三角形面积S是个定值，即S=|k|所以ABC的面积等于2|k|=|k|=4【点拨】主要考查了反比例函数y中k的几何意义，即过双曲线上任意一点引x轴、y轴垂线，所得矩形面积为|k|，是经常考查的一个知识点；这里体现了数形结合的思想，做此类题一定要正确理解k的几何意义图象上的点与原点所连的线段、坐标轴、向坐标轴作垂线所围成的直角三角形面积S的关系即S=|k|【变式2】
4、已知，反比例函数和的部分图象如图所示，点P在上，PC垂直x轴于点C，交于点A（2，1），PD垂直y轴于点D，交于点B，连接OA，OB（1）求B点和P点的坐标；（2）求四边形AOBP的面积【答案】（1）B点的坐标为（，3），P点的坐标为（2，3）；（3）4【分析】（1）由题意可知，P点的横坐标与A（2，1）相同，纵坐标与B相同，分别代入反比例解析式，得到点P和点B的坐标；（2）由题意，利用矩形的面积减去两个三角形的面积，即可得到答案解：（1）由题意知，P点的横坐标与A（2，1）相同，纵坐标与B相同， P点在上，把代入得，P点的坐标为（2，3），B点的纵坐标为3 又B点在上，把代入得，B点的坐标为
5、（，3），P点的坐标为（2，3） （2）如图，由（1）知OC=2，OD=3，AC=1，BD=，用S表示图形的面积，由题意得：， ，=4【点拨】本题考查了反比例函数的图像和性质，矩形的性质，以及利用间接法求四边形的面积，解题的关键是熟练掌握反比例函数的性质进行解题类型二、已知面积求比例系数或解析式2 如图所示，已知双曲线，经过RtOAB斜边OB的中点D，与直角边AB交于点C，DEOA，求反比例函数的解析式【答案】【分析】过点D作DMAB于点M，利用三角形中位线定理可得 ， ，然后证明BDMDOE，从而得到，最后设D()，则B()，利用反比例函数的几何意义可得，从而得到，即可求解解：过点D作DMA
6、B于点M，ABOA， DMOA， BDMBOA， ，D是斜边OB的中点，DEOA，OD=DB， ，在BDM和EOD中BDMDOE(AAS)，设D()，则B()，即，解得：反比例函数的解析式为【点拨】本题主要考查了反比例函数的几何意义，三角形全等的判定和性质，三角形的中位线定理，熟练掌握反比例函数的几何意义，三角形的中位线定理是解题的关键举一反三：【变式1】如图，点A，B关于y轴对称，SAOB8，点A在双曲线y，求k的值【答案】k4【分析】记AB与y轴的交点为C，先据轴对称求得SAOC的面积，由反比例函数系数的几何意义，即可求出2k的绝对值，再根据反比例函数在第二象限有图象即可确定2k符号求得2
7、k的值，再除以2可得k值解：如下图，记AB与y轴的交点为C，点A，B关于y轴对称，AB垂直于y轴，且ACBC，SAOCSAOB，SAOC|2k|，|2k|4，在第二象限，2k8k4【点拨】本题考查了反比例函数系数的几何意义，求得SAOC=4和利用反比例函数系数的几何意义求出k值是解题的关键【变式2】如图，直线x=t(t0)与双曲线y=(k10)交于点A，与双曲线y=(k20)交于点B，连接OA，OB(1)当k1、k2分别为某一确定值时，随t值的增大，AOB的面积_(填增大、不变、或减小)(2)当k1+k2=0，SAOB=8时，求k1、k2的值.【答案】（1）不变；（2）k18，k28【分析】（
8、1）根据反比例函数系数k的几何意义即可得出答案；（2）由题意可知SAOBk1k2，然后与k1+k20构成方程组，解之即可解：（1）不变.SAOC|k1|，SBOC|k2|，SAOBSAOC+SBOC（|k1|+|k2|），k1，k2分别为某一确定值，AOB的面积不变.故答案为：不变；（2）由题意知：k10，k20，SAOBk1k28，k1+k20，k18，k28【点拨】本题考查的是反比例函数系数k的几何意义，属于常考题型，熟知反比例函数系数k的几何意义是解题的关键类型三、反比例函数和面积问题常考题3如图，点A（2，y1）、B（6，y2）在反比例函数y（k0）的图象上，ACx轴，BDy轴，垂足分
9、别为C、D，AC与BD相交于点E（1）根据图象直接写出y1、y2的大小关系，并通过计算加以验证；（2）结合以上信息，从四边形OCED的面积为2，BE2AE这两个条件中任选一个作为补充条件，求k的值你选择的条件是 （只填序号）【答案】（1），见解析；（2）见解析，（也可以选择）【分析】（1）观察函数的图象即可作出判断，再根据A、B两点在反比例函数图象上，把两点的坐标代入后作差比较即可；（2）若选择条件，由面积的值及OC的长度，可得OD的长度，从而可得点B的坐标，把此点坐标代入函数解析式中，即可求得k；若选择条件，由DB=6及OC=2，可得BE的长度，从而可得AE长度，此长度即为A、B两点纵坐标的
10、差，（1）所求得的差即可求得k解：（1）由于图象从左往右是上升的，即自变量增大，函数值也随之增大，故；当x=-6时，；当x=-2时，k0 即（2）选择条件ACx轴，BDy轴，OCOD四边形OCED是矩形ODOC=2OC=2OD=1即 点B的坐标为(-6,1)把点B的坐标代入y中，得k=-6若选择条件，即BE=2AEACx轴，BDy轴，OCOD四边形OCED是矩形DE=OC，CE=ODOC=2，DB=6BE=DB-DE=DB-OC=4 AE=AC-CE=AC-OD=即由（1）知：k=-6【点拨】本题考查了反比例函数的图象和性质、矩形的判定与性质、大小比较，熟练掌握反比例函数的图象与性质是解决本题
11、的关键举一反三：【变式1】如图，四边形ABCD是矩形，点A在第四象限y1的图象上，点B在第一象限y2的图象上，AB交x轴于点E，点C与点D在y轴上，AD，S矩形OCBES矩形ODAE（1）求点B的坐标（2）若点P在x轴上，SBPE3，求直线BP的解析式【答案】（1）B（，2）；（2）直线BP的解析式是yx+1或yx+3【分析】（1）根据反比例函数系数k的几何意义求得k3，得出，由题意可知B的横坐标为，代入即可求得B的坐标；（2）设P（a，0），根据三角形面积求得P的坐标，然后根据待定系数法即可求得直线BP的解析式解：（1）S矩形OCBES矩形ODAE，点B在第一象限y2的图象上，点A在第四象限
12、y1的图象上，S矩形ODEA2S矩形OCBE23，k3，y2，OEAD，B的横坐标为，代入y2得，y2，B（，2）；（2）设P（a，0），SBPEPEBE，解得a或，点P（，0）或（，0），设直线BP的解析式为ymx+n（m0），若直线过（，2），（，0），则 ，解得，直线BP的解析式为yx+1；若直线过（，2），（，0），则 ，解得，直线BP的解析式为yx+3；综上，直线BP的解析式是yx+1或yx+3【点拨】本题考查了反比例函数系数k的几何意义，反比例函数图象上点的坐标特征，待定系数法求一次函数的解析式，求得B点的坐标是解题的关键【变式2】反比例函数与一次函数交于点A（1，2k1）（1）求
13、反比例函数的解析式；（2）若一次函数与x轴交于点B，且AOB的面积为3，求一次函数的解析式【答案】（1）y=；（2）y=或y=.【分析】首先根据反函数经过点A列出一元一次方程求出k的值；根据点A的坐标和三角形的面积得出点B的坐标，然后利用待定系数法分别求出一次函数解析式.解：（1）由已知可得：=2k1，k=2k1 解得：k=1 反比例函数的解析式为：y=（2）点A（1,1），点A到x轴的距离为1，由已知可得：1=3=6 点B的坐标为（6,0）或（6,0）当一次函数过A（1,1）和B（6,0）时，得：解得：一次函数的解析式为y=当一次函数过A（1,1）和B（6,0）时，得：解得：一次函数的解析式为y=综上所述，符合条件的一次函数解析式为y=或y=.考点：一次函数与反比例函数.
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