1、第三节 圆的方程 基础梳理1.圆的标准方程与一般方程(1)圆的标准方程为(x-a)2+(y-b)2=r2，其中圆心为_，半径为r；(2)圆的一般方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0，圆心坐标_，半径为_方程表示圆的充要条件是_ 2.点(x0，y0)与圆(x-a)2+(y-b)2=r2的位置关系：(1)当(x0-a)2+(y0-b)2r2时，点在_；(2)当(x0-a)2+(y0-b)2=r2时，点在_；(3)当(x0-a)2+(y0-b)2r，点P在圆外 4213221 14 20222 14 变式1-1 圆心在直线2x-y-7=0上的圆C与y轴交于两点A(0，-4)，B(0，-2)，则圆C
2、的方程是 ()A.(x-2)2+(y+3)2=5 B.(x+2)2+(y-3)2=5 C.(x-3)2+(y+2)2=5 D.(x+3)2+(y-2)2=5 答案：A 解析：由题意知圆心一定在直线y=-3上，又圆心在直线2x-y-7=0上，故圆心坐标为(2，-3)，半径r=，故所求圆的方程为(x-2)2+(y+3)2=5.222034 5题型二 圆的对称问题【例2】已知圆C1：(x+1)2+(y-1)2=1，圆C2与圆C1关于直线x-y-1=0对称，则圆C2的方程为 ()A.(x+2)2+(y-2)2=1 B.(x-2)2+(y+2)2=1 C.(x+2)2+(y+2)2=1 D.(x-2)2
3、+(y-2)2=1 解：设圆C2的圆心为(a，b)，则依题意，有 解得 对称圆的半径不变，仍为1，故选B.11 1022111abba 22ab 变式2-1 已知圆C 的圆心与点P(-2,1)关于直线y=x+1对称.直线3x+4y-11=0与圆C 相交于A、B两点，且|AB|=6，则圆C 的方程为_ 答案：x2+(y+1)2=18 解析：设圆心C(x，y)，则 所以 故圆心的坐标为(0，-1)，圆心到直线3x+4y-11=0的距离d=3，所以r2=32+d2=18.故圆的方程为x2+(y+1)2=18.11221 1022yxxy 01xy|3 04111|5 题型三 与圆有关的最值问题【例3
4、】已知实数x、y满足方程x2+y2-4x+1=0.(1)求 的最大值和最小值；yx(2)求y-x的最大值和最小值；(3)求x2+y2的最大值和最小值 解：原方程可化为(x-2)2+y2=3，表示以(2,0)为圆心，为半径的圆(1)的几何意义是圆上一点与原点连线的斜率，所以设 =k，即y=kx.当直线y=kx与圆相切时，斜率k取最大值或最小值，此时 =，解得k=，如图1，所以的最大值为 ，最小值为-.333332|20|1kkyxyx(2)y-x可看作是直线y=x+b在y轴上的截距，当直线y=x+b与圆相切时，纵截距b取得最大值或最小值，此时 =，解得b=-2 .如图2，所以y-x的最大值为-2
5、+，最小值为-2-.|20|2b3666(3)x2+y2表示圆上的一点与原点距离的平方，由平面几何知识知，在原点与圆心的连线和圆的两个交点处取得最大值和最小值，如图3.又圆心到原点的距离为 =2.所以，x2+y2的最大值为(2+)2=7+4 ，x2+y2的最小值为(2-)2=7-4 .222000 3333变式3-1 已知圆C：(x-3)2+(y-4)2=1，点A(-1,0)，B(1,0)，点P为圆上的动点，求d=|PA|2+|PB|2的最大值、最小值 解：设P(x0，y0)，则 d=|PA|2+|PB|2=(x0+1)2+y02+(x0-1)2+y02=2(x02+y02)+2.欲求d的最值
6、，只需求w=x02+y02的最值，即求圆C上的点到原点距离平方的最值，故过原点O与圆心C的直线与圆的两个交点P1，P2即为所求 设过O，C两点的直线交圆C于P1，P2两点，则wmin=(|OC|-1)2=16=|OP1|2，此时dmin=2*16+2=34，wmax=(|OC|+1)2=36=|OP2|2，此时dmax=2*36+2=74.题型四 与圆有关的轨迹问题【例4】已知线段AB的端点B的坐标是(4,3)，端点A在圆(x+1)2+y2=4上运动，求线段AB的中点M的轨迹方程 解：设点M的坐标为(x，y)，点A(x0，y0)因为M是线段AB的中点，且B(4,3)，所以 所以 又点A在圆(x
7、+1)2+y2=4上运动，所以(x0+1)2+y02=4.把代入，得(2x-4+1)2+(2y-3)2=4，整理得 2+2=1.所以点M的轨迹是以 为圆心，半径为1的圆 004232xxyy002423.xxyy32x32y3 3,2 2变式4-1 由动点P向圆x2+y2=1引两条切线PA、PB,切点分别为A、B，AOB=120(O为坐标原点)，求动点P的轨迹方程 解：连接OP，因为PA、PB为切线，切点分别为A、B，所以OAAP，OBBP.因为AOB=120，所以APO=BPO=30.在RtAPO中，可得|OP|=2|OA|=2,所以点P的轨迹是以点O为圆心、半径为2的圆，其方程为x2+y2
8、=4.解：以AB中点为原点O，AB所在直线为 x轴，建立平面直角坐标系，如图.则C(4,2)、M(3,3).设圆弧所在圆的方程为x2+(y-b)2=r2，则 即所求圆的方程为x2+(y+1)2=25.令x=0代入方程解得y=4或-6(舍去)所以拱顶E距路面AB至少需4 m.题型五 圆的方程的实际应用【例5】某工程设计一条单行隧道，其横截面如图所示，下部ABCD为长8 m高2 m的矩形，上部是圆弧CED的一部分.欲使宽6 m高3 m的大型货车刚好能通过，求拱顶E距离路面AB至少需多少米？2222224233brbr 2125br 链接高考(2010广东)已知圆心在x轴上，半径为 的圆O位于y轴左侧，且与直线x+2y=0相切，则圆O的方程是_.知识准备：1.知道圆心横坐标为负，纵坐标为0；2.知道圆心到切线的距离等于半径 5答案：(x+5)2+y2=5 解析：设圆心为(a,0)(a0)，则r=，解得a=-5.所以圆O的方程为(x+5)2+y2=5.22|2 0|12a 5