1、参数方程 第二讲 2.2 圆锥曲线的参数方程2.1 曲线的参数方程2.1.1 参数方程的概念与圆的参数方程栏目导航 课前教材预案课堂深度拓展课后限时作业课末随堂演练课前教材预案要点一 椭圆的参数方程普通方程参数方程x2a2y2b21(ab0)x_y_(为参数)y2a2x2b21(ab0)xbcos yasin (为参数)acos bsin 要点二 双曲线的参数方程普通方程参数方程x2a2y2b21(a0，b0)x acos y_(为参数)y2a2x2b21(a0，b0)xbtan y acos(为参数)btan 注意：在双曲线x2a2y2b21(a0，b0)的参数方程中，通常规定参数 的范围为
2、 0,2)，且 2，32.(1)抛物线y22px(p0)的参数方程为_(t是参数)，t(，)；(2)抛物线y22px(p0)的参数方程为_(t是参数)，t(，)；(3)抛物线x22py(p0)的参数方程为_(t为参数)，t(，)；(4)抛物线x22py(p0)的参数方程为_(t为参数)，t(，)要点三 抛物线的参数方程x2pt2y2ptx2pt2y2ptx2pty2pt2x2pty2pt2课堂深度拓展考点一 椭圆参数方程的应用【例题 1】已知 A，B 分别是椭圆x236y291 右顶点和上顶点，动点 C 在该椭圆上运动，求ABC 的重心 G 的轨迹的普通方程思维导引：由已知求出 A，B 坐标，
3、再设出 C 点坐标(6cos ，3sin )，再用 A，B，C 的坐标表示出 G 点的参数方程，消参后得普通方程解析：由动点 C 在该椭圆上运动，故据此可设点 C 的坐标为(6cos ,3sin)，点G 的坐标为(x，y)，则由题意可知点 A(6,0)，B(0,3)由重心坐标公式可知x606cos 322cos ，y033sin 31sin .由此消去 得到x224(y1)21 即为所求【变式 1】(2016江西高三九校联考)曲线 C 的极坐标方程为 3sin 2cos 2，曲线 C1参数方程为：x13cos y2sin(为参数)(1)求曲线 C1的普通方程；(2)若点 M 在曲线 C1上运动
4、，试求出 M 到曲线 C 的距离的取值范围(2)设 M(13cos，2sin)，曲线 C 的直角坐标方程为 2x3y20，d|26cos 6sin 2|136 2613 cos4 0，6 2613.解析：(1)由 C1的参数方程x13cos，y2sin 得x13 cos，y2sin，平方消去 得曲线 C1的普通方程为x129y241.考点二 双曲线参数方程的应用 双曲线参数方程的应用技巧 先设出双曲线上的点P的参数形式，利用斜率公式或点到直线的距离公式等转化为三角函数问题，再用三角知识去处理 思维导引：利用双曲线的参数方程，将动点用参数形式表示，从而将x，y都表示为某角的函数，运用三角知识求解
5、【例题 2】直线 AB 过双曲线x2a2y2b21 的中心 O，与双曲线交于 A，B 两点，P是双曲线上的任意一点求证：直线 PA，PB 的斜率的乘积为定值证明：如图所示，设 Pacos，btan ，Aacos，btan .A，B 过原点 O，A，B 的坐标关于原点对称，于是有 B acos，btan ，从而 kPAkPBbtan tan a1cos 1cos btan tan a1cos 1cos b2tan2 tan2 a21cos2 1cos2 b2a2为定值【变式 2】在双曲线 x2y21 上求一点 P，使 P 到直线 yx 的距离为 2.解析：设 P 的坐标为1cos，tan ，由
6、P 到直线 xy0 的距离为 2得1cos tan 2 2即1cos sin cos 2，|1sin|2|cos|平方得 12sin sin 24(1sin 2)，即 5sin 22sin 30.解得 sin 1 或 sin 35.sin 1 时，cos 0(舍去)sin 35时，cos 45.P 的坐标为54，34 或54，34.考点三 抛物线参数方程的应用【例题3】连接原点O和抛物线2yx2上的动点M，延长OM到P点，使|OM|MP|，求P点的轨迹方程，并说明它是何曲线 思维导引：先求出抛物线的参数方程并表示出M，P的坐标，然后借助中点坐标公式求解解析：设 M(x0，y0)为抛物线上的动点
7、，P(x，y)为在 OM 的延长线上的点抛物线的参数方程为x2t，y2t2，从而 M(x0，y0)满足上述参数方程，即x02t，y02t2.又|OM|MP|，x2x04t，y2y04t2，消去参数 t 得 y14x2，即 P 点轨迹方程为 y14x2x24y，它表示抛物线【变式 3】点 P(1,0)到曲线xt2，y2t(其中 t 是参数，且 tR)上的点的最小距离为()A0B1C 2D2解 析：因 为 点 P(1,0)到 曲 线xt2，y2t(t R)上 的 点 之 间 的 距 离 为 d x12y02 t2122t2t211，故选 BB 考点四 利用参数法求轨迹方程 在求曲线的轨迹和研究曲线
8、及方程的相关问题时，需要引入一个中间变量即参数，然后消去参数得普通方程这种方法是参数法，而涉及曲线上的点的坐标时，可根据曲线的参数方程表示点的坐标 思维导引：设出曲线C的点A的参数形式，然后消去参数化为普通方程即可【例题 4】(2016河南八市高三质检)已知曲线 C 的参数方程为x6cos y4sin (为参数)，在同一平面直角坐标系中，将曲线 C 上的点按坐标变换x13x，y14y得到曲线C.(1)求曲线 C的普通方程；(2)若点 A 在曲线 C上，点 D(1,1)，当点 A 在曲线 C上运动时，求 AD 中点 P的轨迹方程解析：(1)将x6cos，y4sin 代入x13x，y14y，得到曲
9、线 C的参数方程为x2cos，ysin.曲线 C的普通方程为x24y21.(2)设点 P(x，y)，A(2cos，sin)则12cos 2x，sin 12ysin 2y1，cos 2x12，消去 得：(2x1)24(2y1)24.【变式4】设抛物线y22px的准线为l，焦点为F，顶点为O，P为抛物线上任一点，PQl于Q，求QF与OP的交点M的轨迹方程解析：设 P 点的坐标为(2pt2,2pt)(t 为参数)，当 t0 时，直线 OP 的方程为 y1tx，QF 的方程为 y2txp2，它们的交点 M(x，y)由方程组y1tx，y2txp2确定，两式相乘，消去 t 后，得 y22xxp2.M 的轨迹方程为 2x2pxy20(x0)当 t0 时，M(0,0)满足题意且适合方程 2x2pxy20，故所求的轨迹方程为 2x2pxy20.课末随堂演练课后限时作业制作者：状元桥适用对象：高二学生制作软件：Powerpoint2003、Photoshop cs3运行环境：WindowsXP以上操作系统