1、挑战2023年中考数学压轴题之学霸秘笈大揭秘 专题5二次函数与面积最值定值问题面积是平面几何中一个重要的概念，关联着平面图形中的重要元素边与角，由动点而生成的面积问题，是抛物线与直线形结合的觉形式，常见的面积问题有规则的图形的面积（如直角三角形、平行四边形、菱形、矩形的面积计算问题）以及不规则的图形的面积计算，解决不规则的图形的面积问题是中考压轴题常考的题型，此类问题计算量较大。有时也要根据题目的动点问题产生解的不确定性或多样性。解决这类问题常用到以下与面积相关的知识：图形的割补、等积变形、等比转化等数学方法. 面积的存在性问题常见的题型和解题策略有两类：一是先根据几何法确定存在性，再列方程求
2、解，后检验方程的根二是先假设关系存在，再列方程，后根据方程的解验证假设是否正确 解决动点产生的面积问题，常用到的知识和方法，如下：如图1，如果三角形的某一条边与坐标轴平行，计算这样“规则”的三角形的面积，直接用面积公式如图2，图3，三角形的三条边没有与坐标轴平行的，计算这样“不规则”的三角形的面积，用“割”或“补”的方法图1 图2 图3计算面积长用到的策略还有：如图4，同底等高三角形的面积相等平行线间的距离处处相等如图5，同底三角形的面积比等于高的比如图6，同高三角形的面积比等于底的比图4 图5 图6【例1】（2022青海）如图1，抛物线yx2+bx+c与x轴交于A（1，0），B（3，0）两点
3、，与y轴交于点C（1）求该抛物线的解析式；（2）若点E是抛物线的对称轴与直线BC的交点，点F是抛物线的顶点，求EF的长；（3）设点P是（1）中抛物线上的一个动点，是否存在满足SPAB6的点P？如果存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由（请在图2中探讨）【分析】（1）根据点A，B的坐标，利用待定系数法即可求出抛物线的解析式；（2）利用二次函数的性质，可求出抛物线顶点F的坐标及抛物线的对称轴，利用二次函数图象上点的坐标特征可求出点C的坐标，根据点B，C的坐标，利用待定系数法即可求出直线BC的解析式，再利用一次函数图象上点的坐标特征可求出点E的坐标，结合点F的坐标，即可求出线段EF的长；（3）
4、又点A，B的坐标可求出线段AB的长，设点P的坐标为（t，t22t3），利用三角形的面积计算公式，结合SPAB6，即可得出关于t的方程，解之即可得出t值，进而可得出点P的坐标【解析】（1）将A（1，0），B（3，0）代入yx2+bx+c，得：，解得：，该抛物线的解析式为yx22x3（2）抛物线的解析式为yx22x3，抛物线的顶点F的坐标为（1，4），抛物线的对称轴为直线x1当x0时，y022033，点C的坐标为（0，3）设直线BC的解析式为ymx+n（m0），将B（3，0），C（0，3）代入ymx+n，得：，解得：，直线BC的解析式为yx3当x1时，y132，点E的坐标为（1，2），EF|2（4
5、）|2（3）点A的坐标为（1，0），点B的坐标为（3，0），AB|3（1）|4设点P的坐标为（t，t22t3）SPAB6，4|t22t3|6，即t22t33或t22t33，解得：t11，t21+，t30，t42，存在满足SPAB6的点P，点P的坐标为（1，3）或（1+，3）或（0，3）或（2，3）【例2】（2022随州）如图1，平面直角坐标系xOy中，抛物线yax2+bx+c（a0）与x轴分别交于点A和点B（1，0），与y轴交于点C，对称轴为直线x1，且OAOC，P为抛物线上一动点（1）直接写出抛物线的解析式；（2）如图2，连接AC，当点P在直线AC上方时，求四边形PABC面积的最大值，并求出
6、此时P点的坐标；（3）设M为抛物线对称轴上一动点，当P，M运动时，在坐标轴上是否存在点N，使四边形PMCN为矩形？若存在，直接写出点P及其对应点N的坐标；若不存在，请说明理由【分析】（1）判断出A，B两点坐标，可以假设抛物线的解析式为ya（x+3）（x1），把（0，3）代入抛物线的解析式，得a1，可得结论；（2）如图（2）中，连接OP设P（m，m22m+3），构建二次函数，利用二次函数的性质求解即可；（3）分两种情形，点N在y轴上，点N在x轴上，分别求解即可【解析】（1）抛物线的对称轴是直线x1，抛物线交x轴于点A，B（1，0），A（3，0），OAOC3，C（0，3），可以假设抛物线的解析式为
7、ya（x+3）（x1），把（0，3）代入抛物线的解析式，得a1，抛物线的解析式为yx22x+3；（2）如图（2）中，连接OP设P（m，m22m+3），SSPAO+SPOC+SOBC，3（m22m+3）3（m）+13（m23m+4）（m+）2+，0，当m时，S的值最大，最大值为，此时P（，）；（3）存在，理由如下：如图31中，当点N在y轴上时，四边形PMCN是矩形，此时P（1，4），N（0，4）；如图32中，当四边形PMCN是矩形时，设M（1，n），P（t，t22t+3），则N（t+1，0），由题意，解得，消去n得，3t2+5t100，解得t，P（，），N（，0）或P（，），N（，0）综上所述，
8、满足条件的点P（1，4），N（0，4）或P（，），N（，0）或P（，），N（，0）【例3】（2022成都）如图，在平面直角坐标系xOy中，直线ykx3（k0）与抛物线yx2相交于A，B两点（点A在点B的左侧），点B关于y轴的对称点为B（1）当k2时，求A，B两点的坐标；（2）连接OA，OB，AB，BB，若BAB的面积与OAB的面积相等，求k的值；（3）试探究直线AB是否经过某一定点若是，请求出该定点的坐标；若不是，请说明理由【分析】（1）当k2时，直线为y2x3，联立解析式解方程组即得A（3，9），B（1，1）；（2）分两种情况：当k0时，根据BAB的面积与OAB的面积相等，知OBAB，可证明
9、BODBCD（ASA），得ODOC，D（0，），可求B（，），即可得k；当k0时，过B作BFAB交y轴于F，由BAB的面积与OAB的面积相等，可得OEEF3，证明BGFBGE（ASA），可得OGOE+GE，G（0，），从而B（，），即可得k；（3）设x2+kx30二根为a，b，可得a+bk，ab3，A（a，a2），B（b，b2），B（b，b2），设直线AB解析式为ymx+n，可得，即可得m（ab）ba，nab（3）3，从而直线AB解析式为yx+3，故直线AB经过定点（0，3）【解析】（1）当k2时，直线为y2x3，由得：或，A（3，9），B（1，1）；（2）当k0时，如图：BAB的面积与OAB
10、的面积相等，OBAB，OBBBBC，B、B关于y轴对称，OBOB，ODBODB90，OBBOBB，OBBBBC，ODB90CDB，BDBD，BODBCD（ASA），ODCD，在ykx3中，令x0得y3，C（0，3），OC3，ODOC，D（0，），在yx2中，令y得x2，解得x或x，B（，），把B（，）代入ykx3得：k3，解得k；当k0时，过B作BFAB交y轴于F，如图：在ykx3中，令x0得y3，E（0，3），OE3，BAB的面积与OAB的面积相等，OEEF3，B、B关于y轴对称，FBFB，FGBFGB90，FBBFBB，BFAB，EBBFBB，EBBFBB，BGE90BGF，BGBG，BG
11、FBGE（ASA），GEGFEF，OGOE+GE，G（0，），在yx2中，令y得x2，解得x或x，B（，），把B（，）代入ykx3得：k3，解得k，综上所述，k的值为或；（3）直线AB经过定点（0，3），理由如下：由得：x2+kx30，设x2+kx30二根为a，b，a+bk，ab3，A（a，a2），B（b，b2），B、B关于y轴对称，B（b，b2），设直线AB解析式为ymx+n，将A（a，a2），B（b，b2）代入得：，解得：，a+bk，ab3，m（ab）ba，nab（3）3，直线AB解析式为yx+3，令x0得y3，直线AB经过定点（0，3）【例4】（2022岳阳）如图1，在平面直角坐标系xO
12、y中，抛物线F1：yx2+bx+c经过点A（3，0）和点B（1，0）（1）求抛物线F1的解析式；（2）如图2，作抛物线F2，使它与抛物线F1关于原点O成中心对称，请直接写出抛物线F2的解析式；（3）如图3，将（2）中抛物线F2向上平移2个单位，得到抛物线F3，抛物线F1与抛物线F3相交于C，D两点（点C在点D的左侧）求点C和点D的坐标；若点M，N分别为抛物线F1和抛物线F3上C，D之间的动点（点M，N与点C，D不重合），试求四边形CMDN面积的最大值【分析】（1）将点A（3，0）和点B（1，0）代入yx2+bx+c，即可求解；（2）利用对称性求出函数F1顶点（1，4）关于原点的对称点为（1，4
13、），即可求函数F2的解析式；（3）通过联立方程组，求出C点和D点坐标即可；求出直线CD的解析式，过点M作MFy轴交CD于点F，过点N作NEy轴交于点E，设M（m，m2+2m3），N（n，n2+2n+5），则F（m，2m+2），N（n，2n+1），可求MFm2+4，NEn2+4，由S四边形CMDNSCDN+SCDM2（MF+NE），分别求出MF的最大值4，NE的最大值4，即可求解【解析】（1）将点A（3，0）和点B（1，0）代入yx2+bx+c，解得，yx2+2x3；（2）yx2+2x3（x+1）24，抛物线的顶点（1，4），顶点（1，4）关于原点的对称点为（1，4），抛物线F2的解析式为y（x
14、1）2+4，yx2+2x+3；（3）由题意可得，抛物线F3的解析式为y（x1）2+6x2+2x+5，联立方程组，解得x2或x2，C（2，3）或D（2，5）；设直线CD的解析式为ykx+b，解得，y2x+1，过点M作MFy轴交CD于点F，过点N作NEy轴交于点E，设M（m，m2+2m3），N（n，n2+2n+5），则F（m，2m+1），E（n，2n+1），MF2m+1（m2+2m3）m2+4，NEn2+2n+52n1n2+4，2m2，2n2，当m0时，MF有最大值4，当n0时，NE有最大值4，S四边形CMDNSCDN+SCDM4（MF+NE）2（MF+NE），当MF+NE最大时，四边形CMDN面
15、积的最大值为16声明：试题解析著作权属所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2022/9/5 13:56:14；用户：账号1；邮箱：yzsysx1；学号：256700251（2022金坛区二模）如图，在平面直角坐标系xOy中，二次函数yx2+bx2的图象与x轴交于点A（3，0），B（点B在点A左侧），与y轴交于点C，点D与点C关于x轴对称，作直线AD（1）填空：b；（2）将AOC平移到EFG（点E，F，G依次与A，O，C对应），若点E落在抛物线上且点G落在直线AD上，求点E的坐标；（3）设点P是第四象限抛物线上一点，过点P作x轴的垂线，垂足为H，交AC于点T若CPT+DAC180，求AHT与C
16、PT的面积之比【分析】（1）把A（3，0）代入yx2+bx2，求出b；（2）令x0，y2，求出C（0，2），根据点D与点C关于x轴对称，求出D（0，2），进而得到直线AD解析式：yx+2，根据平移的性质及点的坐标特点，得出E（m，m2m2），则Gm3，（m3）+2，Fm3，（m3）+4，再根据平行于x轴的直线点的纵坐标相等，得出m2m2（m3），解出即可；（3）如图所示：过C作CKAD，CQHP，根据勾股定理及等面积法，求出AD，CK，DK，AK，再根据锐角三角函数定义，得出tanCPQtanCAK，tanOAC，进而求出AHT与CPT的面积之比【解析】（1）把A（3，0）代入yx2+bx2，
17、得9+3b20，解得b；故答案为：；（2）如图所示：由（1）得yx2x2，令x0，y2，C（0，2），点D与点C关于x轴对称，D（0，2），设直线AD：ykx+2，把A（3，0）代入ykx+2，得3k+20，解得k，直线AD解析式：yx+2，将AOC平移到EFG，OAEF3，FGOC2，设E（m，m2m2），则G（m3，（m3）+2），F（m3，（m3）+4），EFx轴，m2m2（m3）2+4，解得m3或m4，E（3，8）或（4，）；（3）如图所示：过C作CKAD，CQHP，OD2，OA3AD，CKADCDAOADCK，CK，DK，AK，tanCAK，CQHP，CPQ+CPT180，CPT+D
18、AC180，CPQCAK，tanCPQtanCAK，设P（n，n2n2），PQn2n，CQn，解得n，P（，），CQ，AH3，tanOAC，THAH，TP，即AHT与CPT的面积之比为8：1472（2022罗城县模拟）如图，已知抛物线yax2+b经过点A（2，6），B（4，0），其中E、F（m，n）为抛物线上的两个动点（1）求抛物线的解析式并写出其顶点坐标；（2）若C（x，y）是抛物线上的一点，当4x2且SABC最大时，求点C的坐标；（3）若EFx轴，点A到EF的距离大于8个单位长度，求m的取值范围【分析】（1）运用待定系数法即可求得答案；（2）如图，过点C作CDy轴交AB于点D，运用待定系数
19、法求得直线AB的解析式为yx+4，可得SABCCD（xAxB）（x+1）2+，利用二次函数性质即可求得答案；（3）根据EFx轴，可得点A到EF的距离为|6n|，进而可得|6（m2+8）|8，求解即可【解析】（1）抛物线yax2+b经过点A（2，6），B（4，0），解得：，抛物线的解析式为yx2+8，顶点坐标为（0，8）；（2）如图，过点C作CDy轴交AB于点D，设直线AB的解析式为ykx+d，则，解得：，直线AB的解析式为yx+4，C（x，x2+8），D（x，x+4），CDx2+8（x+4）x2x+4，SABCCD（xAxB）（x2x+4）6（x+1）2+，0，当x1时，SABC最大，此时点C
20、的坐标为（1，）；（3）EFx轴，点A到EF的距离为|6n|，F（m，n）在抛物线yx2+8上，nm2+8，|6（m2+8）|8，m228或m228（无解），m2或m23（2022老河口市模拟）在平面直角坐标系中，抛物线yx2+2mx的顶点为A，直线l：yx1与x轴交于点B（1）如图，已知点A的坐标为（2，4），抛物线与直线l在第一象限交于点C求抛物线的解析式及点C的坐标；点M为线段BC上不与B，C重合的一动点，过点M作x轴的垂线交x轴于点D，交抛物线于点E，设点M的横坐标t当EMBD时，求t的取值范围；（2）过点A作APl于点P，作AQl交抛物线于点Q，连接PQ，设APQ的面积为S直接写出S
21、关于m的函数关系式；S的最小值及S取最小值时m的值【分析】（1）利用抛物线的顶点可得y（x2）2+4，联立方程组求解即可得到点C的坐标；先证得OBC是等腰直角三角形，进而得出BDM是等腰直角三角形，可得：EMt2+3t+1，BDMDt1，由EMBD，可得t2+3t+1t1，即t22t20，令yt22t2，根据二次函数的图象和性质即可求得答案；（2）如图2，过点A作AGy轴交直线l于点G，过点Q作QHAG于点H，则AGm2m+1，利用三角函数可得APAGsin45（m2m+1），根据AQ直线l，可得直线AG的解析式为yx+m2m，进而求得点Q的横坐标为m1，故QHm（m1）1，AQ，运用三角形面
22、积公式可求得Sm2m+；运用二次函数的性质即可求得答案【解析】（1）抛物线yx2+2mx的顶点为A（2，4），y（x2）2+4x2+4x，联立方程组，解得：，点C在第一象限，C（，）；设直线l：yx1与y轴交于点F，则F（0，1），OF1，B（1，0），OB1，OBOF，OBC是等腰直角三角形，OBFOFB45，MBDOBF45，BDM90，BDM是等腰直角三角形，BDMD，M（t，t1），D（t，0），E（t，t2+4t），EMt2+4t（t1）t2+3t+1，BDMDt1，EMBD，t2+3t+1t1，t22t20，令yt22t2，当y0时，t22t20，解得：t1，当y0，即t22t20
23、时，1t1+（i），点M为线段BC上不与B，C重合的一动点，1t（ii），由（i）（ii）得：1t1+，故t的取值范围为：1t1+；（2）如图2，过点A作AGy轴交直线l于点G，过点Q作QHAG于点H，yx2+2mx（xm）2+m2，A（m，m2），G（m，m1），AGm2（m1）m2m+1，由（1）知：OFB45，AGy轴，AGPOFB45，AP直线l，APG90，APAGsin45（m2m+1），AQ直线l，设直线AG的解析式为yx+n，把A（m，m2）代入得：m+nm2，nm2m，直线AG的解析式为yx+m2m，令x2+2mxx+m2m，解得：x1m，x2m1，点Q的横坐标为m1，QHm
24、（m1）1，AQl，QAHAGP45，PAQ90，AHQ90，AHQ是等腰直角三角形，AQQH，SAPAQ（m2m+1）m2m+，故S关于m的函数关系式为Sm2m+；Sm2m+（m）2+，当m时，S的最小值为4（2022新吴区二模）如图，已知抛物线y+bx过点A（4，0）、顶点为B，一次函数yx+2的图象交y轴于M，对称轴与x轴交于点H（1）求抛物线的表达式；（2）已知P是抛物线上一动点，点M关于AP的对称点为N若点N恰好落在抛物线的对称轴上，求点N的坐标；请直接写出MHN面积的最大值【分析】（1）运用待定系数法即可求抛物线的表达式（2）先求出抛物线的对称轴为直线x2，设N（2，n），则NH|
25、n|，由轴对称性质可得ANAM，即AN2AM2，建立方程求解即可得出答案连接MH，以点A为圆心，AM为半径作A，过点A作ANMH于点F，交A于点N，则ANAM，连接AM，AN，此时MHN面积最大运用勾股定理、三角函数、三角形面积公式即可求得答案【解析】（1）抛物线y+bx过点A（4，0），（4）24b0，解得：b2，该抛物线的表达式为yx2+2x；（2）yx2+2x，抛物线对称轴为直线x2，对称轴与x轴交于点H，H（2，0），AH1，直线yx+2交y轴于M，M（0，2），AM2OA2+OM242+2220，设N（2，n），则NH|n|，如图1、图2，M、N关于直线AP对称，ANAM，即AN2A
26、M2，12+n220，n，点N的坐标为（2，）或（2，）；如图，连接MH，以点A为圆心，AM为半径作A，过点A作ANMH于点F，交A于点N，则ANAM，在RtAMO中，OM2，OA4，AM2，AN2，OHOM2，HOM90，HOM是等腰直角三角形，MHO45，MH2，AHFMHO45，在RtAFH中，AHOAOH422，AFAHsin452，NFAN+AF2+，SMHNMHNF2（2+）2+2，故MHN面积的最大值为2+25（2022开福区校级二模）如图，抛物线y（x+1）（xa）（其中a1）与x轴交于A、B两点，交y轴于点C（1）直接写出OCA的度数和线段AB的长（用a表示）；（2）如图，若
27、a2，点D在抛物线的对称轴上，DBDC，求BCD与ACO的周长之比；（3）如图，若a3，动点P在线段OA上，过点P作x轴的垂线分别与AC交于点M，与抛物线交于点N试问：抛物线上是否存在点Q，使得PQN与BPM的面积相等，且线段NQ的长度最小？如果存在，求出点Q的坐标；如果不存在，说明理由【分析】（1）在y（x+1）（xa）中，令x0得ya，令y0得x1或xa，得A（a，0），B（1，0），C（0，a），即可得OCA的度数为45，线段AB的长是a+1；（2）当a2时，抛物线为y（x+1）（x2），设D（，m），根据DBDC，有（1）2+（0m）2（0）2+（m+2）2，解得D（，），可证BCD是
28、等腰直角三角形，BCDACO，即知BCD与ACO的周长之比；（3）过Q作QRPN，垂足为R，设点P坐标为（n，0），则PBn+1，PAPM3n，PNn2+2n+3由SPQNSBPM，可得QR1，分两种情况：点Q在直线PN的左侧时，Q点的坐标为（n1，n24n），R点的坐标为（n，n24n），N点的坐标为（n，n22n3），在RtQRN中，NQ21+（2n3）2，即得n时，NQ取最小值1此时Q点的坐标为（，）；点Q在直线PN的右侧时，Q点的坐标为（n+1，n24），同理可得n时，NQ取最小值1此时Q点的坐标为（，）【解析】（1）在y（x+1）（xa）中，令x0得ya，令y0得x1或xa，A（a，
29、0），B（1，0），C（0，a），OAa，OB1，OCa，ABa+1，OAOC，OCA45；答：OCA的度数为45，线段AB的长是a+1；（2）当a2时，抛物线为y（x+1）（x2），结合（1）知A（2，0），B（1，0），C（0，2），抛物线对称轴为直线x，设D（，m），DBDC，（1）2+（0m）2（0）2+（m+2）2，解得m，D（，），DB2DC2，而BC2（10）2+（0+2）25，DB2+DC2BC2，BCD是等腰直角三角形，由（1）知OCA45，ACO是等腰直角三角形，DBCDCB45OCAOAC，BCDACO，BCD与ACO的周长之比；（3）a3时，存在点Q，使得PQN与BPM
30、的面积相等，且线段NQ的长度最小，理由如下：过Q作QRPN，垂足为R，设点P坐标为（n，0），则PBn+1，PAPM3n，PNn2+2n+3SPQNSBPM，（n+1）（3n）（n2+2n+3）QR，QR1，点Q在直线PN的左侧时，Q点的坐标为（n1，n24n），R点的坐标为（n，n24n），N点的坐标为（n，n22n3）在RtQRN中，NQ21+（2n3）2，n时，NQ取最小值1此时Q点的坐标为（，）；点Q在直线PN的右侧时，Q点的坐标为（n+1，n24），同理，NQ21+（2n1）2，n时，NQ取最小值1此时Q点的坐标为（，）综上可知存在满足题意的点Q，坐标为（，）或为（，）6（2022官
31、渡区二模）抛物线交x轴于A、B两点，交y轴正半轴于点C，对称轴为直线（1）如图1，若点C坐标为（0，2），则b，c2；（2）若点P为第二象限抛物线上一动点，在（1）的条件下，求四边形ABCP面积最大时，点P坐标和四边形ABCP的最大面积；（3）如图2，点D为抛物线的顶点，过点O作MNCD别交抛物线于点M，N，当MN3CD时，求c的值【分析】（1）由点C坐标为（0，2）得c2，根据对称轴为直线x可得b的值；（2）设点P（x，），根据S四边形ABCPSAPC+SABC，列出四边形面积关于m的二次函数即可得出点P的坐标和四边形ABCP面积的最大值；（3）求出，C（0，c），求出直线CD的解析式为：，
32、进而求出直线MN的解析式为，联立yx2x+2，得 ，分别过C，N作x轴的平行线，过D，M作y轴的平行线交于点G，H，证明MHNDGC，根据相似三角形的性质即可求解【解析】（1）抛物线yx2+bx+c交y轴正半轴于点C，点C坐标为（0，2），对称轴为直线xc2，x，故答案为：，2；（2）c2，yx2x+2，令yx2x+20，整理得（x1）（x+4）0解得x1或x4，A（4，0），B（1，0）；C（0，2），AB5，OC2，SABCABOC5，A（4，0），C（0，2）；lAC：yx+2，过点P作x轴的垂线，交AC于点Q，设点P（x，）（x0），则点Q（x，x+2），PQ（x+2），SAPCSAP
33、Q+SPCQPQ（xCxA）x24x（x0），S四边形ABCPSAPC+SABCx24x+5（x+2）2+9，10，函数图象开口向下，又x0，当x2时，S四边形ABCP最大9，此时点P（2，3），当点P（2，3）时，四边形ABCP的最大面积，最大面积为9；（3），C（0，c）设直线CD的解析式为ykx+b1（k0），代入点D，C的坐标得，解得，直线CD的解析式为：，MNCD，直线MN的解析式为：，由题意，联立得：，解得：，由题意，分别过C，N作x轴的平行线，过D，M作y轴的平行线交于点G，H，GH，DCGMOAMNH，MHNDGC，MN3CD，C（0，c），又，7（2022徐州二模）如图，四边
34、形ABCD中，已知ABCD，动点P从A点出发，沿边AB运动到点B，动点Q同时由A点出发，沿折线ADDCCB运动点B停止，在移动过程中始终保持PQAB，已知点P的移动速度为每秒1个单位长度，设点P的移动时间为x秒，APQ的面积为y，已知y与x之间函数关系如图，其中MN为线段，曲线OM，NK为抛物线的一部分，根据图中信息，解答下列问题：（1）图AB10，BC5；（2）分别求线段MN，曲线NK所对应的函数表达式；（3）当x为何值，APQ的面积为6？【分析】（1）如图，过点D作DEAB于点E，过点C作CFAB于点F，观察图形可得：AB10，AE4，AF7，CDEF3，SADE8，利用三角形面积公式可求
35、得DE4，再运用勾股定理可求得BC5；（2）如图，连接AC，可得SACFAFCF7414，即N（7，14），运用待定系数法可得出答案；（3）分三种情况：当0x4时，根据三角形面积公式建立方程求解即可得出x2，当4x7时，由于SAPQ8，无解；当7x10时，令y6，则（x7）2+146，可求得x7+【解析】（1）如图，过点D作DEAB于点E，过点C作CFAB于点F，由图可知：AB10，AE4，AF7，CDEF3，SADE8，BFABAF1073，SADEAEDE4DE2DE，2DE8，DE4，ABCD，DEFCFE90，CDE180DEF90，DEFCFECDE90，四边形CDEF是矩形，CFD
36、E4，在RtBCF中，BC5，故答案为：10，5；（2）如图，连接AC，则SACFAFCF7414，N（7，14），设直线MN的解析式为ykx+b，把M（4，8），N（7，14）代入得：，解得：，线段MN所在直线的解析式为y2x；设曲线NK所对应的函数表达式为ya（x7）2+14，把B（10，0）代入得：a（107）2+140，解得：a，曲线NK所对应的函数表达式为y（x7）2+14；（3）如图，AEDE4，AED90，DAE45，当0x4时，PQAB，PQAPtanDAExtan45x，yx26，x0，x2，当4x7时，点Q在线段CD上，此时SAPQ8；当7x10时，令y6，则（x7）2+1
37、46，解得：x7（舍去）或x7+，综上所述，当x为2或7+时，APQ的面积为68（2022茌平区一模）如图，已知二次函数的图象交x轴于点B（8，0），C（2，0），交y轴点A（1）求二次函数的表达式；（2）连接AC，AB，若点P在线段BC上运动（不与点B，C重合），过点P作PDAC，交AB于点D，试猜想PAD的面积有最大值还是最小值，并求出此时点P的坐标（3）连接OD，在（2）的条件下，求出的值【分析】（1）运用待定系数法即可求得答案；（2）设P（m，0）（8m2），则PBm+8，PC2m，利用三角形面积公式可得SPAB2m+16，由PDAC，可得，进而得出，即SPAD（m+3）2+5，利用二
38、次函数的性质即可得出答案；（3）当P（3，0）时，P为BC边的中点，进而推出D为AB边的中点，得出，即可求得答案【解析】（1）点B（8，0），C（2，0）在二次函数的图象上，解得：，二次函数的表达式是yx2+x4（2）猜想：PAD的面积有最大值设P（m，0）（8m2），则PBm+8，PC2m，B（8，0），C（2，0），BC2（8）10，在yx2+x4中，令x0，得y4，A（0，4），OA4，SPABPBOA（m+8）42m+16，PDAC，SPADSPAB（2m+16）（m+3）2+5，当m3时，PAD的面积存在最大值，此时P（3，0）（3）当P（3，0）时，P为BC边的中点，D为AB边的中
39、点，在RtAOB中，9（2022碑林区校级模拟）抛物线W1：ya（x+）2与x轴交于A（5，0）和点B（1）求抛物线W1的函数表达式；（2）将抛物线W1关于点M（1，0）对称后得到抛物线W2，点A、B的对应点分别为A，B，抛物线W2与y轴交于点C，在抛物线W2上是否存在一点P，使得SPABSPAC，若存在，求出P点坐标，若不存在，请说明理由【分析】（1）运用待定系数法即可求得答案；（2）根据中心对称的性质求出抛物线W2的函数表达式为y（x）2+，进而得出A（3，0），B（2，0），AB5，运用待定系数法求出直线AC的解析式为yx+4，设P（t，t2+t+4），过点P作PQy轴交AC的延长线于点
40、Q，则Q（t，t+4），由SPABSPAC，建立方程求解即可得出答案【解析】（1）把A（5，0）代入ya（x+）2，得：0a（5+）2，解得：a，抛物线W1的函数表达式为y（x+）2；（2）存在抛物线W1关于点M（1，0）对称后得到抛物线W2，抛物线W2的开口大小不变，方向相反，抛物线W1的a1，抛物线W2的a2，设抛物线W2的顶点为（m，n），抛物线W1的顶点为（，），M（1，0），m（1）2，n0，m，n，抛物线W2的函数表达式为y（x）2+C（0，4），y（x+）2与x轴交于A（5，0）和点B，点B和A（5，0）关于直线x对称，B（0，0），点A、B的对应点分别为A，B，A（3，0），B
41、（2，0），AB3（2）5，y（x）2+x2+x+4，设P（t，t2+t+4），设直线AC的解析式为ykx+b，则，解得：，直线AC的解析式为yx+4，过点P作PQy轴交AC的延长线于点Q，则Q（t，t+4），PQt+4（t2+t+4）t22t，SPACPQ（xAxC）（t22t）3t23t，SPABAB|yP|t2+t+4|，SPABSPAC，|t2+t+4|t23t，解得：t3或t5或t，当t3时，点P与点A重合，舍去，当t5时，t2+x+4（5）2+（5）+416，P（5，16）；当t时，t2+x+4（）2+（）+4，P（，）；综上所述，P点坐标为（5，16）或（，）10（2021秋钦北
42、区期末）如图，抛物线yax2+bx+6与直线yx+2相交于A（，）、B（4，6）两点，点P是线段AB上的动点（不与A、B两点重合），过点P作PCx轴于点D，交抛物线于点C，点E是直线AB与x轴的交点（1）求抛物线的解析式；（2）当点C是抛物线的顶点时，求BCE的面积；（3）是否存在点P，使得BCE的面积最大？若存在，求出这个最大值；若不存在，请说明理由【分析】（1）把A（，）、B（4，6）代入抛物线yax2+bx+6中列方程组解出即可；（2）利用配方法计算抛物线顶点C的坐标，计算PC的长，根据三角形面积公式可得结论；（3）设P（m，m2），表示点C的坐标，计算PC的长，同理根据（2）中BCE的
43、面积公式可得结论【解析】（1）把A（，）、B（4，6）代入抛物线yax2+bx+6中得：，解得：，抛物线的解析式为：y2x28x+6；（2）如图1，y2x28x+62（x2）22，顶点C（2，2），当x2时，y2+24，PC4（2）6，当y0时，x+20，x2，E（2，0），BCE的面积PCE的面积+PBC的面积PCED+PC（xBxD）PC（xBxE）6（4+2）18；（3）存在，设点P的坐标为（m，m+2），则C（m，2m28m+6），PCm+2（2m28m+6）2m2+9m4，BCE的面积PC（xBxE）（2m2+9m4）（4+2）6（m）2+；60，当m时，BCE的面积最大，这个最大值
44、是11（2022保定一模）如图，在平面直角坐标系中，点P从原点O出发，沿x轴向右以每秒1个单位长的速度运动t秒（t0），抛物线yx2+bx+c经过点O和点P，已知矩形ABCD的三个顶点为A（1，0），B（1，5），D（4，0）（1）求c，b（含t的代数式表示）；（2）当4t5时，设抛物线分别与线段AB，CD交于点M，N在点P的运动过程中，你认为AMP的大小是否会变化？若变化，说明理由；若不变，求出AMP的值；求MPN的面积S与t的函数关系式并求t为何值时，MPN的面积为【分析】（1）将（0，0），P（t，0）代入yx2+bx+c，即可求解；（2）求出AMAPt1，则AMP是等腰直角三角形，可知
45、AMP不变；利用割补法可知SMNPSDPN+S梯形NDAMSPAM，再求解即可【解析】（1）将（0，0）代入yx2+bx+c，c0，由题可知P（t，0），t2+bt0，bt；（2）AMP的大小不会变化，理由如下：由（1）知yx2tx，四边形ABCD是矩形，M（1，1t），AMt1，P（t，0），A（1，0），APt1，AMAP，AMAP，AMP45；A（1，0），D（4，0），M（1，1t），N（4，164t），AMt1，DN4t16，SMNPSDPN+S梯形NDAMSPAM（t4）（4t16）+（4t16+t1）3（t1）2t2t+6，MPN的面积为，t2t+6，解得t或t，4t5，t12（
46、2022黄石模拟）如图，已知抛物线与x轴交于A（2，0），B两点，与y轴交于点C（0，4），直线与x轴交于点D，点P是抛物线上的一动点，过点P作PEx轴，垂足为E，交直线l于点F（1）求该抛物线的表达式；（2）点P是抛物线上位于第三象限的一动点，设点P的横坐标是m，四边形PCOB的面积是S求S关于m的函数解析式及S的最大值；点Q是直线PE上一动点，当S取最大值时，求QOC周长的最小值及FQ的长【分析】（1）运用待定系数法即可求得抛物线解析式；（2）如图1，连接BP，先求得B（10，0），设P（m，m2+m4），可得Sm210m+20（m+5）2+45，利用二次函数性质即可求得答案；由可得：P（
47、5，7），E（5，0），可得OEBE5，故点B与点O关于直线PE对称，连接BC交PE于点Q，则QOQB，可得QO+QCQB+QCBC，此时QO+QC最小，即QOC的周长最小，运用勾股定理可得BC2，即可得出QOC的周长的最小值为：BC+OC2+4；运用待定系数法可得直线BC的解析式为yx4，进而可得Q（5，2），F（5，），即可求得FQ的值【解析】（1）抛物线经过A（2，0）、C（0，4），解得：，该抛物线的表达式为yx2+x4；（2）如图1，连接BP，抛物线yx2+x4，令y0，得x2+x40，解得：x110，x22，B（10，0），设P（m，m2+m4），PEx轴，E（m，0），OEm，B
48、Em+10，PE（m2+m4）m2m+4，SSPBE+S梯形OCPE（m+10）（m2m+4）+（m2m+4+4）（m）m210m+20，Sm210m+20（m+5）2+45，当m5时，S的最大值为45；由得：当m5时，S的最大值为45，P（5，7），E（5，0），OEBE5，PEx轴，直线PE是线段OB的垂直平分线，点B与点O关于直线PE对称，连接BC交PE于点Q，则QOQB，QO+QCQB+QCBC，此时QO+QC最小，即QOC的周长最小，在RtBCO中，BC2，QOC的周长的最小值为：BC+OC2+4，设直线BC的解析式为ykx+b，把B（10，0），C（0，4）代入，得，解得：，直线B
49、C的解析式为yx4，当x5时，y（5）42，Q（5，2）；直线l的解析式为yx4，当x5时，y（5）4，F（5，），FQ（2），故QOC周长的最小值为2+4，FQ的长为13（2022哈尔滨模拟）如图，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，抛物线yax22ax+3与x轴的负半轴交于点A，与x的正半轴交于点B，与y轴正半轴交于点C，OB2OA（1）求抛物线的解析式；（2）点D是第四象限内抛物线上一点，连接AD交y轴于点E，过C作CFy轴交抛物线于点F，连接DF，设四边形DECF的面积为S，点D的横坐标的t，求S与t的函数解析式；（3）在（2）的条件下，过F作FMy轴交AD于点M，连接CD交FM于点G
50、，点N是CE上一点，连接MN、EG，当BAD+2AMN90，MN：EG，求点D的坐标【分析】（1）根据解析式可以计算抛物线的对称轴，再根据OA、OB关系即可得出点A、B坐标，把其中一个代入解析式即可解答；（2）过点D作DTy轴于点T，根据题意得到点D坐标，分别计算SCED、SCFD，最后根据 S四边形CEDFSCED+SCFD进行解答；（3）过点E作ELFM于点L，过点M作MSx轴于点S，所以四边形CFMS、四边形CFLE是矩形，SMCF2OA，用含t的式子表示出ES、SM、EM的长，最后在RtESM中，利用勾股定理得：ES2+SM2EM2，即可解答【解析】（1）抛物线yax22ax+3与y轴
51、正半轴交于点C，与x轴的负半轴交于点A，与x的正半轴交于点B，C（0，3），对称轴x1，BO1AO+1，BOAO2，BO2AO，AO2，BO4，即 A（2，0），B（4，0），把B（4，0）代入yax22ax+3，得：016a8a+3，解得：a，y（x+2）（x4），即yx2+x+3；（2）过点D作DTy轴于点T，由（1）得：C（0，3），点F与点C关于对称轴对称，坐标为F（2，3），CF2，点D的横坐标的t，点D是第四象限内抛物线上一点，D（t，t2+t+3），A（2，0），tanBAD（t4），OEAOtanBAD2（t4）t3，CECO+OE3+（t3）t，SCEDCEDT（t）tt2，
52、SCFDCFCT23（t2+t+3）t2t，S四边形CEDFSCED+SCFDt2+t2tt2t；即St2t；（3）过点E作ELFM于点L，过点M作MSx轴于点S，四边形CFMS、四边形CFLE是矩形，SMCF2OA，SMAO，1，OEESt3，CEt，CSCE+ESt3，由（2）知：D（t，t2+t+3），tanBAD（t4），tanCDTt，CFDT，FCGCDT，即tanFCGtanCDT，FGCFtanCDTt，GLFLFGCEFGt（t），EG，MN：EG2：5，MN，NS3，NENSES3（t3）6tME，在RtESM中，ESM90，由勾股定理得：ES2+SM2EM2，（t3）2+
53、22（6t）2，解得：t，D（，）14（2022利川市模拟）如图，等腰直角三角形OAB的直角顶点O在坐标原点，直角边OA，OB分别在y轴和x轴上，点C的坐标为（3，4），且AC平行于x轴（1）求直线AB的解析式；（2）求过B，C两点的抛物线yx2+bx+c的解析式；（3）抛物线yx2+bx+c与x轴的另一个交点为D，试判定OC与BD的大小关系；（4）若点M是抛物线上的动点，当ABM的面积与ABC的面积相等时，求点M的坐标【分析】（1）利用等腰直角三角形的性质与点C的坐标特征求得点A与点B的坐标，利用待定系数法即可求解；（2）直接把点B与点C的坐标代入yx2+bx+c即可求解；（3）由抛物线与x
54、轴的交点关于对称轴直线对称求得点D的坐标，在利用点C的坐标分别求得OC，BD的长即可求解；（4）分两种情况：当点M在直线AB的上方时，如图所示；当点M在直线AB的下方时，如图所示，利用铅垂线法求得ABM的面积，利用ABM的面积与ABC的面积相等列出方程求解即可【解析】（1）点C的坐标为（3，4），且AC平行于x轴，点A的坐标为（0，4）且OA4，OAB是等腰直角三角形，AOB90，OBOA4，点B的坐标为（4，0），设直线AB的解析式为：ymx+n，由题意得 ，解得：，直线AB的解析式为：yx+4；（2）抛物线yx2+bx+c过B，C两点，解得：，抛物线的解析式为：yx2+3x+4；（3）BD
55、OC；理由：抛物线的解析式为yx2+3x+4x）2+，抛物线的对称轴直线为x，点B的坐标为（4，0），点B与点D关于对称轴对称，点D的坐标为（1，0），BD4（1）5，点C的坐标为（3，4），OC5，BDOC；（4）点C的坐标为（3，4），且AC平行于x轴，AC3，SABCyC346，当点M在直线AB的上方时，如图所示，过点M作MNy轴，交直线AB于点N，设M的坐标为（t，t2+3t+4），则N的坐标为（t，t+4），MNt2+3t+4（t+4）t2+4t，SAMBMNxB（t2+4t）42t2+8t，ABM的面积与ABC的面积相等，2t2+8t6，解得：t1或t3（舍，该点为点C），此时M的
56、坐标为（1，6）或（3，4）；当点M在直线AB的下方时，如图所示，过点M作MNx轴，交直线AB于点N，设M的坐标为（t，t2+3t+4），则N的坐标为（t23t，t2+3t+4），MNt23ttt24t，SABMMNyA（t24t）42t28t，ABM的面积与ABC的面积相等，2t28t6，解得：t2，此时M的坐标为（2+，1）或（2，1）；综上可得，M的坐标为（2+，1）或（2，1）或（1，6）15（2021襄阳）如图，直线yx+1与x，y轴分别交于点B，A，顶点为P的抛物线yax22ax+c过点A（1）求出点A，B的坐标及c的值；（2）若函数yax22ax+c在3x4时有最大值为a+2，求
57、a的值；（3）连接AP，过点A作AP的垂线交x轴于点M设BMP的面积为S直接写出S关于a的函数关系式及a的取值范围；结合S与a的函数图象，直接写出S时a的取值范围【分析】（1）先求出点A（0，1），点B（2，0），将点A坐标代入解析式可求c的值；（2）分a0，a0两种情况讨论，由二次函数的性质可求解；（3）分四种情况讨论，由“AAS”可证AOMPNA，可得OMAN，由三角形的面积公式可求解；分三种情况讨论，解不等式可求解【解析】（1）直线yx+1与x，y轴分别交于点B，A，点A（0，1），点B（2，0），抛物线yax22ax+c过点A，c1；（2）yax22ax+1a（x1）2+1a，对称轴为
58、直线x1，当a0，3x4时，y随x的增大而增大，当x4时，y有最大值，9a+1aa+2，解得：a；当a0，3x4时，y随x的增大而减小，当x3时，y有最大值，4a+1aa+2，解得：a（不合题意舍去），综上所述：a；（3）当a0时，则1a1，如图1，过点P作PNy轴于N，yax22ax+1a（x1）2+1a，点P坐标为（1，1a），PNAO1，AN1a1a，AMAP，PNy轴，PNAPAM90AOM，PAN+OAM90，OAM+AMO90，PANAMO，AOMPNA（AAS），OMANa，BM2a，S（2a）（1a）a2a+1；当a0，1a0时，即0a1，如图2，过点P作PNy轴于N，PN1O
59、A，AN1（1a）a，同理可得AOMPNA，OMANa，BM2a，S（2a）（1a）a2a+1；当a0，11a0时，即1a2，如图3，过点P作PNy轴于N，PN1OA，ONa1，AN1+a1a，同理可得AOMPNA，OMANa，BM2a，S（2a）（a1）a2+a1；当a2时，点B与点M重合，不合题意，当a0，1a1时，即a2，如图4，过点P作PNy轴于N，PN1OA，ONa1，AN1+a1a，同理可得AOMPNA，OMANa，BMa2，S（a2）（a1）a2a+1；综上所述：S当1a2时，Sa2+a1（a）2+，当1a2时，不存在a的值使S；当a1且a0时，Sa2a+1，（a）（a）0，a或
60、a（不合题意舍去）；当a2时，Sa2a+1，（a）（a）0，a（不合题意舍去）或a，综上所述：a且a0或a16（2021辽宁）如图，抛物线yx2+bx+c与x轴交于点A和点C（1，0），与y轴交于点B（0，3），连接AB，BC，点P是抛物线第一象限上的一动点，过点P作PDx轴于点D，交AB于点E（1）求抛物线的解析式；（2）如图1，作PFPD于点P，使PFOA，以PE，PF为邻边作矩形PEGF当矩形PEGF的面积是BOC面积的3倍时，求点P的坐标；（3）如图2，当点P运动到抛物线的顶点时，点Q在直线PD上，若以点Q、A、B为顶点的三角形是锐角三角形，请直接写出点Q纵坐标n的取值范围【分析】（1
61、）用待定系数法即可求解；（2）由矩形PEGF的面积PFPE2（x2+x+3+x3）3SBOC3BOCO31，即可求解；（3）当BAQ为直角时，求出直线BQ的表达式为yx+3，得到n5；当BQA为直角时，利用解直角三角形的方法求出n；当BAQ为直角时，同理可得，n，进而求解【解析】（1）由题意得：，解得，故抛物线的表达式为yx2+x+3；（2）对于yx2+x+3，令yx2+x+30，解得x4或1，故点A的坐标为（4，0），则PF2，由点A、B的坐标得，直线AB的表达式为yx+3，设点P的坐标为（x，x2+x+3），则点E（x，x+3），则矩形PEGF的面积PFPE2（x2+x+3+x3）3SBO
62、C3BOCO31，解得x1或3，故点P的坐标为（1，）或（3，3）；（3）由抛物线的表达式知，其对称轴为x，故点Q的坐标为（，n），当ABQ为直角时，如图21，设BQ交x轴于点H，由直线AB的表达式知，tanBAO，则tanBHO，故设直线BQ的表达式为yx+t，该直线过点B（0，3），故t3，则直线BQ的表达式为yx+3，当x时，yx+35，即n5；当BQA为直角时，过点Q作直线MN交y轴于点N，交过点A与y轴的平行线于点M，BQN+MQA90，MQA+MAQ90，BQNMAQ，tanBQNtanMAQ，即，则，解得n；当BAQ为直角时，同理可得，n；综上，以点Q、A、B为顶点的三角形是锐角
63、三角形，则ABQ不为直角三角形，故点Q纵坐标n的取值范围为n或n517（2021贺州）如图，抛物线yx2+bx+c与x轴交于A、B两点，且A（1，0），对称轴为直线x2（1）求该抛物线的函数表达式；（2）直线l过点A且在第一象限与抛物线交于点C当CAB45时，求点C的坐标；（3）点D在抛物线上与点C关于对称轴对称，点P是抛物线上一动点，令P（xP，yP），当1xPa，1a5时，求PCD面积的最大值（可含a表示）【分析】（1）把A点代入抛物线，再由对称轴公式可得解析式（2）过点C作CEx轴于点E，得AECE，设点C的横坐标为xc，则纵坐标为ycxc+1，把点C代入抛物线得C的坐标（3）有对称可得
64、D的坐标，即可求出CD8，设PCD以CD为底边的高为h，则h|yp|+7，当|yp|取最大值时，PCD的面积最大，分情况讨论，当1a2时，1xp2，此时yx24x5在1xpa上y随x的增大而减小，|yp|max|a24a5|5+4aa2，PCD的最大面积为SmaxCDh48+16a4a2，当2a5时，此时yx24x5的对称轴x2含于1xpa内，|yp|max|22425|9，PCD的最大面积为SmaxCDh64，【解析】（1）抛物线过A（1，0），对称轴为x2，解得，抛物线表达式为yx24x5；（2）过点C作CEx轴于点E，CAB45，AECE，设点C的横坐标为xc，则纵坐标为ycxc+1，C
65、（xc，xc+1），代入yx24x5得，xc+14xc5，解得xc1（舍去），xc6，yc7，点C的坐标是（6，7）；（3）由（2）得C的坐标是（6，7），对称轴x2，点D的坐标是（2，7），CD8，CD与x轴平行，点P在x轴下方，设PCD以CD为底边的高为h，则h|yp|+7，当|yp|取最大值时，PCD的面积最大，1xpa，1a5，当1a2时，1xpa，此时yx24x5在1xpa上y随x的增大而减小，|yp|max|a24a5|5+4aa2，h|yp|+712+4aa2，PCD的最大面积为：SmaxCDh8（12+4aa2）48+16a4a2；当2a5时，此时yx24x5的对称轴x2含于1
66、xpa内，|yp|max|22425|9，h9+716，PCD的最大面积为SmaxCDh81664，综上所述：当1a2时，PCD的最大面积为48+16a4a2；当2a5时，PCD的最大面积为6418（2021常德）如图，在平面直角坐标系xOy中，平行四边形ABCD的AB边与y轴交于E点，F是AD的中点，B、C、D的坐标分别为（2，0），（8，0），（13，10）（1）求过B、E、C三点的抛物线的解析式；（2）试判断抛物线的顶点是否在直线EF上；（3）设过F与AB平行的直线交y轴于Q，M是线段EQ之间的动点，射线BM与抛物线交于另一点P，当PBQ的面积最大时，求P的坐标【分析】（1）过点D作x轴
67、垂线交x轴于点H，利用EBODCH求出E点坐标，进而根据B、E、C三点坐标即可求出抛物线解析式；（2）求出抛物线顶点坐标以及直线EF的解析式，代入验证即可判定顶点是否在直线EF上；（3）根据ABFQ，求出点Q坐标，再设M为（0，m）通过直线BM与抛物线的交点表示出P点坐标，从而可表示出PBQ的面积结合二次函数最值问题即可求出面积最大值时点P的坐标【解析】（1）过点D作x轴垂线交x轴于点H，如图所示：由题意得EOBDHC90，ABCD，EBODCH，EBODCH，B（2，0）、C（8，0）、D（13，10），BO2，CH1385，DH10，解得：EO4，点E坐标为（0，4），设过B、E、C三点的
68、抛物线的解析式为：ya（x+2）（x8），将E点代入得：4a2（8），解得：a，过B、E、C三点的抛物线的解析式为：y（x+2）（x8）x2+x+4；（2）抛物线的顶点在直线EF上，理由如下：由（1）可知该抛物线对称轴为直线x3，当x3时，y，该抛物线的顶点坐标为（3，），又F是AD的中点，F（8，10），设直线EF的解析式为：ykx+b，将E（0，4），F（8，10）代入得，解得：，直线EF解析式为：y，把x3代入直线EF解析式中得：y，故抛物线的顶点在直线EF上；（3）由（1）（2）可知：A（3，10），设直线AB的解析式为：ykx+b，将B（2，0），A（3，10）代入得：，解得：，直线
69、AB的解析式为：y2x+4，FQAB，故可设：直线FQ的解析式为：y2x+b1，将F（8，10）代入得：b16，直线FQ的解析式为：y2x6，当x0时，y6，Q点坐标为（0，6），设M（0，m），直线BM的解析式为：yk2x+b2，将M、B点代入得：，解得：，直线BM的解析式为：y，点P为直线BM与抛物线的交点，联立方程组有：，化简得：（x+2）（x8+2m）0，解得：x12（舍去），x282m，点P的横坐标为：82m，则此时，SPBQMQ（|xP|+|xB|）（m+）2+，a10，当m时，S取得最大值，点P横坐标为82（）9，将x9代入抛物线解析式中y，综上所述，当PBQ的面积最大时，P的坐
70、标为（9，）19（2021福建）已知抛物线yax2+bx+c与x轴只有一个公共点（1）若抛物线过点P（0，1），求a+b的最小值；（2）已知点P1（2，1），P2（2，1），P3（2，1）中恰有两点在抛物线上求抛物线的解析式；设直线l：ykx+1与抛物线交于M，N两点，点A在直线y1上，且MAN90，过点A且与x轴垂直的直线分别交抛物线和l于点B，C求证：MAB与MBC的面积相等【分析】（1）将点P的坐标代入解析式中，得出a和b的关系式，即可求出a+b的最小值；（2）由题意得出抛物线与x轴只有一个交点，所以抛物线上的点在同一侧，即两点只能为P1，P3，即可求出抛物线的解析式；（3）根据题意先设
71、出点A的横坐标，然后用含k的式子表示出A的横坐标，再证明ABBC即可得出MAB与MBC的面积相等【解析】（1）把P（0，1）代入解析式得：c1，yax2+bx+1，又抛物线与x轴只有一个公共点，b24a0，即，当b2时，a+b有最小值为1；（2）抛物线与x轴只有一个公共点，抛物线上的顶点在x轴上，抛物线上的点为P1，P3，又P1，P3关于y轴对称，顶点为原点（0，0），设解析式为yax2，代入点P1得：，证明：联立直线l和抛物线得：，即：x24kx40，设M（x1，kx1+1），N（x2，kx2+1），由韦达定理得：x1+x24k，x1x24，设线段MN的中点为T，设A的坐标为（m，1），则T
72、的坐标为（2k，2k2+1），AT2（2km）2+（2k2+2）2，由题意得：，MAN是直角三角形，且MN是斜边，即：，16（k4+2k2+1）（2km）2+（2k2+2）2，解得m2k，A（2k，1），B（2k，k2），C（2k，2k2+1），B是AC的中点，ABBC，又MAB与MBC的高都是点M到直线AC的距离，MAB与MBC的高相等，MAB与MBC的面积相等20（2021柳州）在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线：yax2+bx+c交x轴于A（1，0），B（3，0）两点，与y轴交于点C（0，）（1）求抛物线的函数解析式；（2）如图1，点D为第四象限抛物线上一点，连接OD，过点B作BEOD
73、，垂足为E，若BE2OE，求点D的坐标；（3）如图2，点M为第四象限抛物线上一动点，连接AM，交BC于点N，连接BM，记BMN的面积为S1，ABN的面积为S2，求的最大值【分析】（1）由抛物线交x轴于A（1，0），B（3，0）两点，设二次函数的交点式ya（x+1）（x3），代入C（0，）可得解析式（2）由BE2OE，设OE为x，BE2x，由勾股定理得OE，BE，过点E作TG平行于OB，根据相似三角形的判定得ETOOEB，有相似比的性质得出3TE，解出E的坐标为（，），直线OE的解析式为y2x，直线OE与抛物线于点D，联立方程可得D的坐标（3）根据，设直线BC的解析式为ykx+b，将B，C两点代
74、入得，直线BC的解析式为yx，当x1时，得F坐标为（1，2），设M（x，x2x），MT（x）2+，根据二次函数的性质得出，MTmax，即可解出的最值【解析】（1）依题意，设ya（x+1）（x3），代入C（0，）得：a1（3），解得：a，y（x+1）（x3）x2x；（2）BE2OE，设OE为x，BE2x，由勾股定理得：OE2+BE2OB2，x2+4x29，解得：x1，x2（舍），OE，BE，过点E作TG平行于OB，T在y轴上，过B作BGTG于G，ETOOEB，OE2OBTE，TE，OT，E（，），直线OE的解析式为y2x，OE的延长线交抛物线于点D，解得：x11，x23（舍），当x1时，y2，D
75、（1，2）；（3）如图所示，延长BC于点F，AFy轴，过A点作AHBF于点H，作MTy轴交BF于点T，过M点作MGBF于点J，AFMT，AFHMTJ，AHBF，MJBF，AHFMJT90，AFHMJT，S1NBMJ，S2NBAH，设直线BC的解析式为ykx+b，将B，C两点代入得，解得：，直线BC的解析式为yx，当x1时，y（1）2，F（1，2），AF2，设M（x，x2x），MTx（x2x）（x）2+，a0，MTmax，21（2021聊城）如图，抛物线yax2+x+c与x轴交于点A，B，与y轴交于点C，已知A，C两点坐标分别是A（1，0），C（0，2），连接AC，BC（1）求抛物线的表达式和A
76、C所在直线的表达式；（2）将ABC沿BC所在直线折叠，得到DBC，点A的对应点D是否落在抛物线的对称轴上？若点D在对称轴上，请求出点D的坐标；若点D不在对称轴上，请说明理由；（3）若点P是抛物线位于第三象限图象上的一动点，连接AP交BC于点Q，连接BP，BPQ的面积记为S1，ABQ的面积记为S2，求的值最大时点P的坐标【分析】（1）利用待定系数法可求得函数的表达式；（2）抛物线的表达式为y，点B坐标为（4，0）可证明AOCCOB继而可证ACBC，则将ABC沿BC所在直线折叠，点D一定落在直线AC上，延长AC至D，使DCAC，过点D作DEy轴交y轴于点E，可证ACODCE，可得D坐标则可判断D点
77、是否在抛物线对称轴上；（3）分别过A、P作x轴的垂线，利用解析式，用同一个字母m表示出P，N的坐标，进而用m表示出的值，根据二次函数的性质可以确定出的最大值，进而可确定出此时的P点坐标【解析】（1）抛物线yax2+x+c过点A（1，0），C（0，2），解得：抛物线的表达式为y设直线AC的表达式为ykx+b，则，解得：直线AC的表达式为y2x2（2）点D不在抛物线的对称轴上，理由是：抛物线的表达式为y，点B坐标为（4，0）OA1，OC2，又AOCCOB90，AOCCOBACOCBOACO+BCOOBC+BCO90，ACBC将ABC沿BC所在直线折叠，点D一定落在直线AC上，延长AC至D，使DCA
78、C，过点D作DEy轴交y轴于点E，如图1又ACODCE，ACODCE（AAS）DEAO1，则点D横坐标为1，抛物线的对称轴为直线x故点D不在抛物线的对称轴上（3）设过点B、C的直线表达式为ypx+q，C（0，2），B（4，0），解得：过点B、C的直线解析式为y过点A作x轴的垂线交BC的延长线于点M，点M坐标为（1，），过点P作x轴的垂线交BC于点N，垂足为H，如图2设点P坐标为（m，），则点N坐标为（m，），PN（），PNAM，AQMPQN若分别以PQ、AQ为底计算BPQ和BAQ的面积（同高不等底），则BPQ与BAQ的面积比为，即0，当m2时，的最大值为，此时点P坐标为（2，3）22（2020
79、贺州）如图，抛物线ya（x2）22与y轴交于点A（0，2），顶点为B（1）求该抛物线的解析式；（2）若点P（t，y1），Q（t+3，y2）都在抛物线上，且y1y2，求P，Q两点的坐标；（3）在（2）的条件下，若点C是线段QB上一动点，经过点C的直线yx+m与y轴交于点D，连接DQ，DB，求BDQ面积的最大值和最小值【分析】（1）直接代入点A坐标，解方程，即可求解；（2）P，Q两点均在抛物线上，且两点纵坐标相同，代入两点横坐标，可以得到一个关于t的方程，解方程，即可求解或者由P，Q两点纵坐标相同，得到P，Q两点关于抛物线对称轴x2对称，继而列出关于t的方程；（3）先求出直线BQ的解析式，再求出直
80、线BQ与y轴交点E的坐标，将BDQ的面积转化成DQE与DBE的面积之差，将BDQ的面积用含m的式子表达出来，根据m的取值范围，确定所求面积的最大值和最小值【解析】（1）将A（0，2）代入到抛物线解析式中，得，4a22，解得，a1，抛物线解析式为y（x2）22；（2）y1y2，（t2）22（t+32）22，解得，P（），Q；（3）由题可得，顶点B为（2，2），将直线yx+m进行平移，当直线经过B点时，22+m，解得m0，当直线经过点Q时，解得m，经过点C直线yx+m与y轴交于点D，D为（0，m），点C是线段QB上一动点，延长QB交y轴于点E，设直线QB的解析式为ykx+b，代入点Q、B坐标得，解得，QB的解析式为：，令x0，则y5，E（0，5），由图可得，SBDQSDEQSDEB，当m0时，SBDQ最小值为，当m时，SBDQ最大值为
