1、专题54 利用拆凑法求不等式的最值【方法点拨】1. 已知的一边是二次齐次可分解，另一边是常数，可考虑换元法；2. 例2、例3中使用了拆凑用以“凑形”，其目的在于一次使用基本不等式，能实现约分或倍数关系.【典型题示例】例1 若实数，满足，则的最大值为_【答案】 【解析】因为，设，故原问题可转化为“已知，求的最大值”又因为，所以的最大值为，当且仅当时取等号故答案为：例2 已知，则的最大值是_【答案】【分析】本题变量个数较多且不易消元，考虑利用均值不等式进行化简，要求得最值则需要分子与分母能够将变量消掉，观察分子为均含，故考虑将分母中的拆分与搭配，即，而，所以.点评：本题在拆分时还有一个细节，因为分
2、子的系数相同，所以要想分子分母消去变量，则分母中也要相同，从而在拆分的时候要平均地进行拆分（因为系数也相同）所以利用均值不等式消元要善于调整系数，使之达到消去变量的目的例3 若实数x，y满足x22xy10，则x2y2的最小值是_【分析】思路1：注意到条件与所求均含有两个变量，从简化问题的角度来思考，消去一个变量，转化为只含有一个变量的函数，从而求它的最小值本题中可直接由已知解得y，代人所求消去y；也可将直接使用“1”的代换，将所求转化为关于x，y的二次齐次分式.思路2：由所求的结论为x2y2，想到将条件应用基本不等式构造出x2y2，然后将x2y2求解出来即可【解析一】从结论出发，注意到已知中不含“y2”项，故拆“x2”项的系数设x2y2=tx2 +(1t)x2y2=tx2 +(1t)x2y2tx2 +21-t xy(0t0，所以xy 0 ， x+2y0设5x2y=a( xy)+b ( x+2y)，则a=4，b =1，所以5x2y=4( xy)+ ( x+2y)由基本不等式得.3.【答案】【解析一】.【解析二】，设，.则满足等式的x,y存在，去分母后配方得： ，故，解得.4.【答案】【解法一】【解法二】设 所以,即故,解之得.【解法三】令 ,.
