1、专题52 全国初中数学竞赛模拟卷（二）1已知过点（2，3）的直线yax+b（a0）不经过第四象限，设Sa+2b，则S的取值范围为（）A32S6B6S-32C6S-32D3S6【解答】解：如图所示，经过（2，3）的直线ykx+b不经过第四象限，直线ykx+b只能在图中l1和l2的位置中间（与虚线部分有交点），且l1经过坐标原点，l2与x轴平行，得l1：y=32x，l2：y3，当x=12时，l1所对应的函数值为34，l2所对应的函数值为3，a0，l2的位置对函数ykx+b不可取，l1的位置对该函数可取3412a+b3，3412S3，32S6，故选：A2有下列四个命题：若x24，则x2；若22x-1
2、=44x2-1，则x=12；命题“若ab，则am2bm2”的逆命题；若一元二次方程ax2+bx+c0的两根是1和2，则方程cx2bx+a0的两根是1和-12其中真命题的个数是（）A1个B2个C3个D4个【解答】解：若x24，则x2，本小题说法是假命题；x=12时，2x10，22x-1=44x2-1无意义，本小题说法是假命题；“ab，则若am2bm2”的逆命题是“若am2bm2，则ab”，本小题说法是真命题；若一元二次方程ax2+bx+c0的两根是1和2，则方程为（x1）（x2）0，即x23x+20，a1，b3，c2，方程cx2bx+a0为2x23x+10，解得：x11和x2=-12，本小题说法
3、是真命题故选：B3如图，在矩形ABCD中，E是BC上的点，F是CD上的点，SABESADF=14S矩形ABCD，则SAEFSCEF=（）A3B92C5D112【解答】解：SABESADF=14S矩形ABCD，即12BEAB=12ADDF=14ABBC=14ADCD，BE=12BC，DF=12DC，EC=12BC，CF=12CD，SEFC=12ECCF=18BCCD=18S矩形ABCD，SAEFS矩形ABCDSABESADFSEFC=38S矩形ABCD，SAEFSCEF=3，故选：A4若函数y=12(x2-100x+271+|x2-100x+271|)，当自变量取1，2，3，100个自然数时，函
4、数值的和是（）A374B390C765D578【解答】解：令x2100x+2710，解得：x150-22293，x250+222997，当x从3到97时，|x2100x+271|（x2100x+271），则y0；当x1时，y=12(x2-100x+271+|x2-100x+271|)=172；当x2时，y=12(x2-100x+271+|x2-100x+271|)=75；当x98时，y=12(x2-100x+271+|x2-100x+271|)=75；当x99时，y=12(x2-100x+271+|x2-100x+271|)=172；当x100时，y=12(x2-100x+271+|x2-10
5、0x+271|)=271；故所求和为172+75+75+172+271765故选：C5把1，2，3，4，5，6，7，8，9，10这10个数分为A、B两个部分，其中A部分的元素之和等于B部分的元素之积，则A部分的数是 1，2，3，4，5，8，9，10或2，3，5，6，7，8，9或4，5，8，9，10，B部分的数是 6、7或1，4，10或1，2，3，7【解答】解：1+2+3+4+5+6+7+8+9+1055，而1+2+3+4+5+8+9+106742；A部分的数是1，2，3，4，5，8，9，10；B部分的数是：6，72+3+5+6+7+8+940，B部分的数是1，4，102，3，5，6，7，8，9
6、，B部分的数是1，4，10；A部分的数是4，5，8，9，10；B部分的数是1，2，3，7故答案为：1，2，3，4，5，8，9，10或2，3，5，6，7，8，9或4，5，8，9，10；6，7或1，4，10或1，2，3，76方程|1|x+1|+kkx有三个实数根，则k-12【解答】解：将方程化为|1|x+1|kxk，方程有三个实数根可以看作是函数y|1|x+1|和函数ykxk的图象有三个交点，化简绝对值可得函数y=-x-2，x-2x+2，-2x-1-x，-1x0x，x0，且函数ykxk的图象过定点（1，0），函数图象如下：由图可知，只有当ykxk过点（1，1）时，才有三个交点，kk1，k=-12故
7、答案为：-127从3，2，1，-12，0，12，1，2，3这9个数中随机抽取一个数，记为m，若数m使关于x的不等式组13(2x+7)3x-m0无解，且使关于x的分式方程xx+3+m-2x+3=-1有非负整数解，那么从这9个数中抽到满足条件的m的概率是29【解答】解：解不等式13（2x+7）3，得：x1，解不等式xm0，得：xm，不等式组无解，m1，符合此条件的有3，2，1，-12，0，12，1这7个数，解分式方程得x=-m-12，方程有非负整数解，在以上7个数中，符合此条件的有3、1这2个，从这9个数中抽到满足条件的m的概率是29，故答案为：298如图，正方形ABCD中，AB2，E是BC中点，
8、CD上有一动点M，连接EM、BM，将BEM沿着BM翻折得到BFM连接DF、CF，则DF+12FC的最小值为52【解答】解：如图所示：取BG=12，连接FGBC2，E是BC的中点，BE1由翻折的性质可知BFBE1BF1，BC2，GB=12，BF2BCGBBFCB=GBFB又FBGFBC，BGFBFC，FGFC=BFBC=12，FG=12FCDF+12FCDF+FGDG=DC2+CG2=22+(32)2=52DF+12FC的最小值为52故答案为：529记S（n）为n的各位数字之和，例如S（2019）2+0+1+912（1）当10n99时，求nS(n)的最小值（2）当100n999时，求nS(n)的
9、最小值（3）当1000n9999时，求nS(n)的最小值【解答】解：（1）设两位数的十位数为a，个位数为b，则ns(n)=10a+ba+b =a+b+9aa+b 1+9aa+b1+91+ba，10a+ba+b值最小，则ba最大，ns(n)=10a+ba+b a1，b9，191+9=1.9（2）设三位数的百位数为a，十位数为b，个位数为c，则要使ns(n)=100a+10b+ca+b+c值最小，ns(n)=1+99a+9ba+b+c其值最小，则a1，c9，ns(n)=1+99a+9b10+b+1=10+910+b，b9，ns(n)=19919=10919（3）设四位数的千位数为a，百位数为b，十
10、位数为c，个位数为d，则ns(n)=1000a+100b+10c+da+b+c+d1+999a+99b+9ca+b+c+d，其值最小，则a1，d9，ns(n)=1+999a+99b+9ca+b+c+d，类似分析，b0，c9时符合题意，ns(n)最小值为10991910如图，在平面直角坐标系xOy中，一次函数y=54x+m （m为常数）的图象与x轴交于点A（3，0），与y轴交于点C以直线x1为对称轴的抛物线yax2+bx+c（a，b，c为常数，且a0）经过A、C两点，并与x轴的正半轴交于点B（1）求m的值及抛物线的函数表达式；（2）若P是抛物线对称轴上一动点，ACP周长最小时，求出P的坐标；（3
11、）是否存在抛物在线一动点Q，使得ACQ是以AC为直角边的直角三角形？若存在，求出点Q的横坐标；若不存在，请说明理由；（4）在（2）的条件下过点P任意作一条与y轴不平行的直线交抛物线于M1（x1，y1），M2（x2，y2）两点，试问M1PM2PM1M2是否为定值？如果是，请直接写出结果；如果不是请说明理由【解答】解：（1）一次函数y=54x+m经过点A（3，0），m=154，则C的坐标为（0，154），抛物线经过点A（3，0）、C（0，154），且以直线x1为对称轴，则点B的坐标为（5，0），二次函数为y=-14（x+3）（x5）或y=-14x2+12x+154；（2）要使ACP的周长最小，只需
12、AP+CP最小即可如答图2，连接BC交x1于P点，因为点A、B关于x1对称，根据轴对称性质以及两点之间线段最短，可知此时AP+CP最小（AP+CP最小值为线段BC的长度）B（5，0），C（0，154），直线BC解析式为y=-34x+154，xP1，yP3，即P（1，3）（3）存在（7分）设Q（x，-14x2+12x+154）若C为直角顶点，则由ACO相似于CQE，得x5.2，若A为直角顶点，则由ACO相似于AQE，得x8.2，Q的横坐标为5.2，8.2（4）是定值，定值为1令经过点P（1，3）的直线为ykx+b，则k+b3，即b3k，则直线的解析式是：ykx+3k，ykx+3k，y=-14x2
13、+12x+154，联立化简得：x2+（4k2）x4k30，x1+x224k，x1x24k3y1kx1+3k，y2kx2+3k，y1y2k（x1x2）根据两点间距离公式得到：M1M2=(x1-x2)2+(y1-y2)2=(x1-x2)+k2(x1-x2)2=1+k2(x1-x2)2，M1M2=1+k2(x1+x2)2-4x1x2=1+k2(2-4k)2-4(-4k-3)=4（1+k2）又M1P=(x1-1)2+(y1-3)2=(x1-1)2+(kx1+3-k-3)2=1+k2(x1-1)2；同理M2P=1+k2(x2-1)2M1PM2P（1+k2）(x1-1)2(x2-1)2=（1+k2）x1x
14、2-(x1+x2)+12=（1+k2）-4k-3-(2-4k)+12=4（1+k2）M1PM2PM1M2，M1PM2PM1M2=1为定值11如图，ABC中，P为BC边上一点，E为线段PC的中垂线与边AC的交点，D为线段BP的中垂线与边AB的交点，点P关于直线DE的对称点为点Q（1）证明：A，Q，D，E四点共圆；（2）证明：A，Q，B，C四点共圆【解答】证明：（1）连接QA，QD，QE，QP，PD，PE，根据对称性可知：DQDP，EQEP，12，34，EQD1+32+4DPE，E为线段PC的中垂线与边AC的交点，D为线段BP的中垂线与边AB的交点，ECEP，DBDP，C5，B6，A+B+C180
15、，DPE+6+5180，ADPEEQD，A，Q，D，E四点共圆；（2）连接QB，QC，A，Q，D，E四点共圆，78，BDQQEC，BDPDQD，QEPECE，BDQCEQ，BQDCQE，BQCDQEDPEA，A，Q，B，C四点共圆12在平面直角坐标系xOy中，对于任意两点P1（x1，y1）与P2（x2，y2）的“非常距离”，给出如下定义：若|x1x2|y1y2|，则点P1与点P2的“非常距离”为|x1x2|；若|x1x2|y1y2|，则点P1与点P2的“非常距离”为|y1y2|例如：点P1（1，2），点P2（3，5），因为|13|25|，所以点P1与点P2的“非常距离”为|25|3，也就是图1
16、中线段P1Q与线段P2Q长度的较大值（点Q为垂直于y轴的直线P1Q与垂直于x轴的直线P2Q的交点）（1）已知点A（-12，0），B为y轴上的一个动点，若点A与点B的“非常距离”为2，写出一个满足条件的点B的坐标；直接写出点A与点B的“非常距离”的最小值；（2）已知点C（x，34x+3）是直线m上的一个动点，如图2，点D的坐标是（0，1），求点C与点D的“非常距离”的最小值及相应的点C的坐标；如图3，正方形FGMN的边长为1，边FG在x轴上运动，点F的横坐标大于等于1，点E是正方形FGMN边上的一个动点，直接写出点C与点E的“非常距离”的最小值及相应的点E和点C的坐标【解答】解：（1）B为y轴上
17、的一个动点，设点B的坐标为（0，y）|-12-0|=122，|0y|2，解得y2或y2；点B的坐标是（0，2）或（0，2）；故答案是：（0，2）或（0，2）；点A与点B的“非常距离”的最小值为12故答案是：12（2）如图2，取点C与点D的“非常距离”的最小值时，根据运算定义“若|x1x2|y1y2|，则点P1与点P2的“非常距离”为|x1x2|”知：|x1x2|y1y2|即ACAD，由题意可知，点C是直线y=34x+3上的一个动点，点D的坐标是（0，1），设点C的坐标为（x，34x+3），x=34x+2，此时，x=-87，点C与点D的“非常距离”的最小值为：|x|=87，此时C（-87，157）；如图3，根据“非常距离”的定义可知，当点F与（1，0）重合，且点E与点N重合时，C，E的“非常距离”最小，且CHHN，此时，N（1，1），1x=34x+31，解得x=-127，y=34（-127）+3=127此时，点C的坐标为（-127，127），“非常静距离”的最小值为1+127=57综上，C与点E的“非常距离”的最小值为57；相应的点E的坐标为（1，1），点C的坐标（-127，127）
