1、20202021学年第一学期期末试题 高二数学（理）本试卷分第I卷(选择题)和第II卷(非选择题)两部分.全卷共三个大题，22个小题，满分150分，考试时间为120分钟.第卷（选择题 共60分）一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1若曲线C上所有点的坐标都满足方程，则（ ）A. 方程是曲线C的方程B. 坐标满足方程的点都在曲线C上C. 曲线C是方程所表示的曲线D. 点的坐标满足方程是点在曲线C上的必要条件2已知互不重合的三个平面， ， ，命题:若， ，则；命题:若上不共线的三点到的距离相等，则，下列结论中正确的是（ ）A. 命
2、题“且”为真 B. 命题“或”为假C. 命题“或”为假 D. 命题“且”为真3“且”是“表示圆的方程”的（ ）条件A. 充分非必要 B. 必要非充分 C. 充要 D. 既非充分又非必要4以双曲线的焦点为顶点，顶点为焦点的椭圆方程为（ ）A. B C D5如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,M,N分别为A1B1,CC1的中点,P为AD上一动点,记为异面直线PM与D1N所成的角,则的集合是()A. B C D6若向量a=(1,0,z)与向量b=(2,1,2)的夹角的余弦值为，则z =（ ）A.0 B.1 C. D.27已知向量a、b满足：ab0，|a|2，|b|3，且(3a2b)(ab)0
3、，则等于()A. B C. D18椭圆短轴上的两个三等分点与两个焦点构成一个正方形,则椭圆的离心率为()A. B. C. D. 9. 平面直角坐标系上动点，满足，则动点M的轨迹是（ ）A. 直线 B. 线段 C. 圆 D. 椭圆10如图，过抛物线（）的焦点F的直线交抛物线于点A、B，交其准线l于点C，若，且，则p的值为（ ）A. B. 3 C. D. 11. 设F1,F2是双曲线x2-4y2=4a(a0)的两个焦点,点P在双曲线上,且满足A. 2B. C. 1 D. 12数学中有许多形状优美、寓意美好的曲线，曲线C：就是其中之一（如图）.给出下列三个结论：曲线C恰好经过6个整点（即横、纵坐标均
4、为整数的点）；曲线C上任意一点到原点的距离都不超过； 曲线C所围成的“心形”区域的面积小于3.其中，所有正确结论的序号是A. B. C. D. 第卷（非选择题 共90分）二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填写在答题卡相应位置)13命题“xR，xN*，使得nx”的否定形式是_14. 非零向量e1，e2不共线，使ke1e2与e1ke2共线的k的值是_15. 直线ykx1与椭圆1总有公共点，则m的取值范围是 16曲线C是平面内与两个定点F1(-1,0)和F2(1,0)的距离的积等于常数a2(a1)的点的轨迹.给出下列三个结论:曲线C过坐标原点; 曲线C关于坐标原点对称;若点P在
5、曲线C上,则F1PF2的面积不大于. 其中,正确结论的序号是 三、解答题(本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17（本小题满分10分）已知命题p：关于x的方程x2ax40有实根；命题q：关于x的函数y2x2ax4在3，)上是增函数若“pq”是真命题，“pq”是假命题，求实数a的取值范围18（本小题满分12分）已知空间三点A(2，0，2)，B(1，1，2)，C(3，0，4)，设a，b.(1)求a和b的夹角的余弦值；(2)若向量kab与ka2b互相垂直，求k的值19(本题满分12分) 已知动点P与平面上两定点A(，0)、B(，0)连线的斜率的积为定值.(1)试求动点P
6、的轨迹方程C.(2)设直线l：ykx1与曲线C交于M、N两点，当时，求直线l的方程20(本小题满分12分) 如图，在直三棱柱ABC - A1B1C1中，点D是BC的中点.(1)证明:直线平面；(2)求平面与所成二面角的正弦值.21. (本题满分12分) 如图，在三棱柱ABCA1B1C1中，侧面AA1C1C底面ABC，AA1A1CAC2，ABBC，ABBC，O为AC中点(1)证明：A1O平面ABC；(2)求直线A1C与平面A1AB所成角的正弦值22. (本题满分12分) 已知动点M到定点F1(2，0)和F2(2，0)的距离之和为4.(1)求动点M轨迹C的方程；(2)设N(0，2)，过点P(1，2
7、)作直线l，交椭圆C异于N的A，B两点，直线NA，NB的斜率分别为k1，k2，证明：k1k2为定值 数学（理）答案 选择题题号123456789101112答案DC BDAAAABCC C 非选择题二、13xR，xN*，使得nx 141 15m1且m5 16三、解答题：17解：p真：(a)2440，所以a 4或a4.q真：3，所以a12.由“pq”是真命题，“pq”是假命题得：p、q两命题一真一假当p真q假时，a12；当p假q真时，4a4.综上，a取值范围为(，12)(4，4)18解：a(1，1，2)(2，0，2)(1，1，0)，b(3，0，4)(2，0，2)(1，0，2)(1)cos ，所以
8、a与b的夹角的余弦值为.(2)kab(k，k，0)(1，0，2)(k1，k，2)，ka2b(k，k，0)(2，0，4)(k2，k，4)，所以(k1，k，2)(k2，k，4)(k1)(k2)k280.即2k2k100，所以k或k2.19解：设点P(x，y)，则依题意有，整理得y21.由于x，所以求得的曲线C的方程为y21(x)(2)由，消去y得：(12k2)x24kx0.解得x10，x2(x1、x2分别为M、N的横坐标)由|MN|x1x2|，解得：k1.所以直线l的方程xy10或xy10.20解：(1)连接，交于， 连结，直三棱柱中，侧面为平行四边形，为中点，点是的中点，又平面，平面 平面 (2
9、)设平面的法向量.因为，所以，即且，取，得，所以是平面的一个法向量，取平面的一个法向量，设平面与平面所成二面角的大小为.由，得.因此平面与平面所成二面角的正弦值为.21解：(1)AA1A1CAC2，且O为AC中点，A1OAC.又侧面AA1C1C底面ABC，交线为AC，A1O平面A1AC，A1O平面ABC.(2)连接OB，如图，以O为原点，分别以OB，OC，OA1所在直线为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，则由题可知B(1,0,0)，C(0,1,0)，A1(0,0，)，A(0，1,0)(0,1，)，令平面A1AB的法向量为n(x，y，z)，则nn0，而(0,1，)，(1,1,0)，可求得一个法向量n(3，3，)|cos，n|，故直线A1C与平面A1AB所成角的正弦值为.22.解：由椭圆定义，可知点M的轨迹是以F1，F2为焦点，以4为长轴长的椭圆由c2，a2，得b2.故曲线C的方程为1.(2)证明：当直线l的斜率存在时，设其方程为y2k(x1)，由得(12k2)x24k(k2)x2k28k0.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，x1x2，x1x2.从而k1k22k(k4)4.当直线l的斜率不存在时，得A，B，得k1k24.综上，恒有k1k24.