专题5.3 平面向量的数量积及其应用 （解析版）.docx

1、5.3 平面向量的数量积及其应用思维导图知识点总结1.平面向量数量积的有关概念(1)向量的夹角：对于两个非零向量a和b，在平面内任取一点O，作a，b，AOB(0180)叫作向量a与b的夹角.当0时，a与b同向；当180时，a与b反向；当90时，则称a与b垂直，记作ab.(2)数量积的定义：已知两个非零向量a和b，它们的夹角是，我们把数量|a|b|cos_叫作向量a和b的数量积，记作ab，即ab|a|b|cos_.(3)投影向量设a，b是两个非零向量，如图(1)(2)，表示向量a，表示向量b，过点A作所在直线的垂线，垂足为点A1.我们将上述由向量a得到向量的变换称为向量a向向量b投影，向量称为向

2、量a在向量b上的投影向量.向量a在向量b上的投影向量为(|a|cos_).2.平面向量数量积的性质及其坐标表示设向量a(x1，y1)，b(x2，y2)，为向量a，b的夹角.(1)数量积：ab|a|b|cos x1x2y1y2.(2)模：|a|.(3)夹角：cos .(4)两非零向量ab的充要条件：ab0x1x2y1y20.(5)|ab|a|b|(当且仅当ab时等号成立)|x1x2y1y2| .3.平面向量数量积的运算律(1)abba(交换律).(2)ab(ab)a(b)(结合律).(3)(ab)cacbc(分配律).4.平面几何中的向量方法三步曲：(1)用向量表示问题中的几何元素，将几何问题转

3、化为向量问题；(2)通过向量运算，研究几何元素之间的关系；(3)把运算结果“翻译”成几何关系.常用结论1.两个向量a，b的夹角为锐角ab0且a，b不共线；两个向量a，b的夹角为钝角ab0且a，b不共线.2.平面向量数量积运算的常用公式：(1)(ab)(ab)a2b2；(2)(ab)2a22abb2；(3)(ab)2a22abb2.3.数量积运算律要准确理解、应用，例如，abac(a0)，不能得出bc，两边不能约去同一个向量.典型例题分析考向一 数量积的计算例1 (1)(2022全国乙卷)已知向量a，b满足|a|1，|b|，|a2b|3，则ab()A.2 B.1 C.1 D.2答案C解析由|a2

4、b|3，可得|a2b|2a24ab4b29，又|a|1，|b|，所以ab1，故选C.(2)(2023八省八校联考)如图，在同一平面内沿平行四边形ABCD的两边AB，AD向外分别作正方形ABEF，ADMN，其中AB2，AD1，BAD，则_.答案0解析法一()()0|cos |cos 00.法二建立平面直角坐标系，如图，则A(0，2)，C，N，则，则0.感悟提升平面向量数量积的两种运算方法：(1)基底法，当已知向量的模和夹角时，可利用定义法求解，适用于平面图形中的向量数量积的有关计算问题；(2)坐标法，当平面图形易建系求出各点坐标时，可利用坐标法求解.考向二 数量积的应用角度1夹角与垂直例2 (1

5、)(2022新高考卷)已知向量a(3，4)，b(1，0)，catb，若a，cb，c，则t()A.6 B.5 C.5 D.6答案C解析由题意，得catb(3t，4)，所以ac3(3t)44253t，bc1(3t)043t.因为a，cb，c，所以cos a，ccos b，c，即，即3t，解得t5，故选C.(2)已知ABC中，A120，且AB3，AC4，若，且，则实数的值为_.答案解析因为，且，所以有()()22(1)220，整理可得(1)34cos 1209160，解得.角度2平面向量的模例3 (2023华大新高考联盟质测)已知平面向量a，b，c满足bc，|b|c|2，若abac8，则|a|_.答

6、案4解析依题意，abaca(bc)0，所以a(bc)，而bc，abac8，|b|c|2，故a，ba，c45，故ab|a|b|cos 458，解得|a|4.感悟提升1.求解平面向量模的方法(1)利用公式|a|.(2)利用|a|.2.求平面向量的夹角的方法(1)定义法：cos ，的取值范围为0，.(2)坐标法：若a(x1，y1)，b(x2，y2)，则cos .考向三 平面向量与三角的结合应用例4 (多选)(2021新高考卷)已知O为坐标原点，点P1(cos ，sin )，P2(cos ，sin )，P3(cos()，sin()，A(1，0)，则()A.|B.|C.D.答案AC解析由题意可知，|1，

7、|1，所以|，故A正确；取，则P1，取，则P2，则|，故B错误；因为cos()，cos cos sin sin cos()，所以，故C正确；因为cos ，cos cos()sin sin()cos(2)，取，则，cos ，所以，故D错误.感悟提升向量与三角函数结合时，通常以向量为表现形式，实现三角函数问题，要注意向量夹角与三角形内角的区别与联系.基础题型训练一、单选题1已知两个平面向量的夹角为，且，则等于（）AB1CD2【答案】A【分析】由平面向量数量积的运算律求解，【详解】 故选：A2已知向量满足，则（）A2B1C0D2【答案】C【分析】根据向量数量积运算求得正确答案.【详解】.故选：C3已

8、知向量满足，则（）A2BC8D【答案】B【分析】利用向量的数量积运算和模的运算法则可得，由此根据已知条件可求得答案.【详解】,又，故选：B.4在等腰三角形中，若P为边上的动点，则（）A4B8CD【答案】B【分析】取的中点为，连接，可得及，利用数量积的运算律及中线向量公式可求【详解】取的中点为，连接，因为，故，故，又，故选：B5设，均为单位向量，当，的夹角为时，在方向上的投影为（）ABCD【答案】B【分析】根据向量投影计算公式，计算出所求的投影.【详解】在上的投影为，故选：B.【点睛】本小题主要考查向量投影的概念和运算，考查单位向量，属于基础题.6已知向量与的夹角为，且，若，且，则实数的值为（

9、）ABC6D13【答案】B【分析】根据向量数量积的定义及运算法则计算求解即可.【详解】 由, .故选：B.二、多选题7已知单位向量，则下列式子正确的是（ ）ABCD【答案】AC【分析】利用单位向量的定义可判断C，D，利用平面向量的数量积公式计算可判断A，B.【详解】解：向量，为单位向量，所以有，故A正确；向量夹角未知，所以B不正确；，所以，所以C正确；向量，方向不一定相同，所以D不正确.故选：AC8易经是阐述天地世间关于万象变化的古老经典，其中八卦深邃的哲理解释了自然、社会现象如图1所示的是八卦模型图，其平面图形（图2）中的正八边形ABCDEFGH，其中O为正八边形的中心，且，则下列说法正确的

10、是（）ABCD【答案】BC【分析】根据正八边形的性质、平面向量数量积的定义及向量加法的平行四边形法则判断即可；【详解】解：依题意，故A错误；，故B正确；因为，即，所以以，为邻边的平行四边形为正方形，对角线长为，所以，故C正确；因为，所以，故D错误；故选：BC三、填空题9已知，且与的夹角为，则_【答案】【分析】根据数量积的定义计算可得；【详解】解：因为，且与的夹角为，所以故答案为：10在边长为4的等边中，则_.【答案】.【分析】画出图形，利用已知条件，转化求解向量的数量积即可【详解】解：边长为4的等边中，可得是的中点，是的中点，所以，则故答案为：11若向量、满足、，且、的夹角为，则_ 【答案】【

11、分析】根据数量积的定义求出，再根据及数量积的运算律计算可得.【详解】解：因为、，且、的夹角为，所以，所以.故答案为：12如图，正的外接圆半径为，点是劣弧上的一动点，则的最小值为_【答案】/【分析】由圆的性质可知是的角平分线，故可知与同向共线，再由平方可得的模为1，原式可化为换求的最小值.【详解】由圆的性质可知，是与同向的单位向量，设，原式可化为,由外接圆半径可知，,当时，有最小值，即的最小值为.故答案为：四、解答题13已知向量满足，且，求证【答案】证明见解析【解析】要证，只需证明，再结合平面向量的数量积运算即可得证.【详解】证明：，故命题得证.【点睛】本题考查了平面向量的数量积运算，属基础题.

12、14设和是两个单位向量，其夹角是，求向量与的夹角.【答案】【分析】根据题意分别求出以及，进而根据平面向量的夹角公式即可求出结果.【详解】且与的夹角是，设与的夹角为，则又，故与的夹角为.15已知，且向量在向量方向上的投影数量为.（1）求与的夹角；（2）求；（3）当为何值时，向量与向量互相垂直？【答案】（1）；（2）；（3）.【分析】根据数量积的概念、投影数量的概念和向量垂直的充要条件即可求解.【详解】（1）因为，所以.又在方向上的投影数量为，所以，所以，所以.（2）.（3）因为与互相垂直，所以，所以，所以.16设且，k、t是两个不同时为零的实数.(1)若与垂直，求k关于t的函数关系式；(2)求出

13、函数的最小值.【答案】(1)；(2)【分析】（1）由得，依题意相互垂直，它们的数量积为零，这个等式，化简得到的表达式；（2）由于的表达式为二次函数，故利用配方法可求得其最小值.（1），即，.，由得或，k、t是两个不同时为零的实数，.故.（2）由（1）知=，故函数的最小值为.提升题型训练一、单选题1已知，设与的夹角为，则（）ABCD【答案】B【分析】根据向量的模求出，再结合公式计算即可.【详解】由题意知，所以，又，所以，故选：B2已知非零向量，满足，且，则向量，的夹角（）ABCD【答案】D【分析】根据得到，再由向量数量积的运算法则，结合题中条件，即可求出结果.【详解】，故选：D.3已知的外接圆半

14、径为1，圆心为O，且，则（）A2B1CD【答案】B【分析】由，变形为，两边平方求解.【详解】因为的外接圆半径为1，圆心为O，且，所以，两边平方得，解得，故选：B4已知平面向量，满足，则与的夹角为（）ABCD【答案】C【分析】两边平方后可得，再由夹角公式求解即可.【详解】，平方得，设，的夹角为，其中，可得，所以.故选：C.5点M在边长为4的正ABC内（包括边界），满足，则的取值范围是（）ABCD【答案】B【分析】求得的取值范围，利用向量数量积的运算求得的取值范围.【详解】分别是的中点，则，由于在三角形内（包括边界），且，所以点的轨迹是，所以.故选：B6的外接圆的圆心为，半径为且，则向量在向量方向

15、上的投影为 ABCD【答案】D【详解】试题分析：为中点，又的外接圆的圆心为，所以，因为，所以，因此向量在向量方向上的投影为，选D.考点：向量投影【方法点睛】平面向量数量积的类型及求法(1)求平面向量数量积有三种方法：一是夹角公式ab|a|b|cos ；二是坐标公式abx1x2y1y2；三是利用数量积的几何意义.(2)求较复杂的平面向量数量积的运算时，可先利用平面向量数量积的运算律或相关公式进行化简.二、多选题7边长为1的菱形中，已知向量满足，则下列结论中正确的有（）A为单位向量BCD【答案】ABD【分析】根据单位向量的定义即可判断A选项；根据向量的线性运算和共线向量的概念即可判断B选项；由即可

16、判断C选项；根据向量的线性运算和向量的垂直关系即可判断D选项.【详解】解：易知是边长为1的等边三角形，而A正确；，而，故B正确；夹角为，C不正确；取中点E，故，故D正确故选：ABD.8已知是的外心，若，则的取值可能是（）AB-1C1D【答案】AB【分析】结合图形，将原式两边平方得，由图形可知，不能都是正数，利用三角代换，求函数的值域，即可判断选项.【详解】如图，所以，即，如图可知，点在优弧上，所以不能都是正数，所以设，即 故选：AB三、填空题9若向量，则与的夹角为_.【答案】【分析】先由，求出，利用向量的夹角公式即可求解.【详解】，又，则与的夹角为.故答案为：10已知平面向量、的夹角为，且，则

17、_【答案】【解析】根据、的夹角为，且，由利用数量积求解.【详解】因为、的夹角为，且，所以，故答案为：.11在直角坐标系xOy中，已知点，动点P满足，则的取值范围是_【答案】【分析】根据题意可得点P在以AB为直径的圆O上运动，利用定点到圆上点的位置关系结合投影向量的模可得临界点，即可求解向量积的取值范围.【详解】解：由，可知点P在以AB为直径的圆O上运动，设线段CO与圆O交于点D，延长CO与圆O交于点E，则，则当点P与D重合时，在上的投影向量的模最小，此时；当点P与E重合时，在方向上的投影向量的模最大，此时所以的取值范围是故答案为：12在中，则边的长度为_【答案】3【分析】根据给定条件，利用向量

18、加法及数量积的运算律变形计算作答.【详解】在中，则有，解得，所以边的长度为3.故答案为：3四、解答题13已知向量与的夹角为，分别求在下列条件下的：(1)；(2)；(3)【答案】(1)(2)或(3)【分析】（1）根据，代入数值，即可求出结果；（2）因为，所以或，再根据即可求出结果；（3）因为，所以，再根据即可求出结果.（1）解：因为，所以；（2）解：因为，所以或，当时，；当时，；所以的值为或.（3）解：因为，所以，所以.14已知向量、中至少有一个不为零向量，对于、及向量、，求函数取得最小值时的条件【答案】当时，函数取得最小值【分析】对解析式进行化简，然后根据题意可得，则函数是一个开口向上的二次函

19、数，故求其对称轴即可求解【详解】，因为向量、中至少有一个不为零向量，则，所以当时，函数取得最小值15已知,.（1）求与的夹角；（2）求和.【答案】（1）；（2），【分析】（1）由条件利用两个向量的数量积公式求得，从而求得的值；（2）根据，运算求得结果.【详解】（1）因为,所以.因为,所以,解得,所以.（2）,所以,同样可求.【点睛】该题考查的是与向量有关的问题，涉及到的知识点有向量的数量积的运算公式，向量夹角的余弦公式，向量的模的转化，正确运用公式是解题的关键.16如图，边长为2的菱形中，、分别是，的中点，为、的交点，若（1）试用，表示，；（2）求的值.【答案】（1），；（2）.【分析】（1）由题意，根据平面向量的线性表示与运算法则，用、表示出、与；（2）根据平面向量的数量积运算，求出即可【详解】解：（1）由题意，、分别是，的中点，为、的交点所以为的重心，设中点为，则；（2）