1、专题46 圆的切线系、圆系的综合应用【方法点拨】1.直线方程(其中均为实常数，且，)的几何意义是，以为圆心为半径圆的切线系.事实上，为“动中寻静”使所求值与无关，只需求点到直线的距离，有，即直线是圆全体切线组成的集合，它可以看作过圆上任意一点的切线.2.当圆心坐标含参时，应考虑消参，探求圆心的轨迹.【典型题示例】例1 已知圆，直线，下面五个命题，其中正确的是A对任意实数与，直线和圆有公共点；B对任意实数与，直线与圆都相离；C存在实数与，直线和圆相离；D对任意实数，必存在实数，使得直线与圆相切；E对任意实数，必存在实数，使得直线与圆相切.【答案】AD【分析】对于圆动圆心，定半径，圆心为，故其轨迹
2、是以（1,2）为圆心，半径的圆. 直线过定点（1,2）.【解析】选项，由题意知圆的圆心为，半径为，直线的方程可以写作，过定点，因为点在圆上，所以直线与圆相切或相交，任意实数与，直线和圆有公共点，正确，错误；选项，由以上分析知不存在实数与，直线和圆相离，错误；选项，当直线与圆相切时，点恰好为直线与圆的切点，故直线与直线垂直，当时，直线与轴垂直，则，即，解得，存在，使得直线与圆相切；当时，若直线与直线垂直，则，直线的斜率为，所以，即，此时对任意的，均存在实数，使得，则直线与直线垂直，综上所述，对任意实数，必存在实数，使得直线与圆相切，正确选项，点到直线的距离为，令，当时，；当时，即此时恒成立，直线
3、与圆必相交，故此时不存在实数，使得直线与圆相切，错误故选AD例2 设直线系下列四个命题中正确的是（ ）A存在一个圆与所有直线相交；B存在一个圆与所有直线不相交；C存在一个圆与所有直线相切；DM中的直线所能围成的正三角形面积都相等.【答案】ABC【解析】因为所以点到中每条直线的距离即为圆的全体切线组成的集合，所以存在圆心在， 半径大于1的圆与中所有直线相交, A正确也存在圆心在，半径小于1的圆与中所有直线均不相交，B正确也存在圆心在半径等于1的圆与中所有直线相切，C正确故正确因为中的直线与以为圆心，半径为1的圆相切,所以中的直线所能围成的正三角形面积不都相等，如图与均为等边三角形而面积不等,故错
4、误，答案选ABC.例3 （多选题）设有一组圆：下命题中真命题是（ ）.A.存在一条定直线与所有的圆均相切； B.存在一条定直线与所有的圆均相交；C.存在一条定直线与所有的圆均不相交； D.所有的圆均不经过原点【答案】BD【解析】根据题意得：圆心坐标为，圆心在直线上，故存在直线与所有圆都相交，选项正确；考虑两圆的位置关系：圆：圆心，半径为，圆：圆心，即，半径为，两圆的圆心距，两圆的半径之差，任取或时，（）， 含于之中，选项错误；若取无穷大，则可以认为所有直线都与圆相交，选项错误，将带入圆的方程,则有，即（），因为左边为奇数，右边为偶数，故不存在使上式成立，即所有圆不过原点，选项正确。故答案为：B
5、D.【巩固训练】1.已知动直线与圆相交于A，B两点，圆下列说法：与有且只有一个公共点；线段AB的长度为定值；线段AB的中点轨迹为.其中正确的个数是（ ）A0B1C2D32.（多选题）设直线系,对于下列四个命题： 中所有直线均经过一个定点； 存在定点不在中的任一条直线上； 对于任意整数，存在正边形,其所有边均在中的直线上； 中的直线所能围成的正三角形面积都相等.其中真命题是（ ）3.（多选题）关于下列命题，正确的是（ ）A若点在圆外，则或；B已知圆：与直线，对于任意的，总存在使直线与圆恒相切；C已知圆：与直线，对于任意的，总存在使直线与圆恒相切；D已知点是直线上一动点，是圆： 的两条切线，是切点
6、，则四边形的面积的最小值为.4. （多选题）圆与圆，下列说法正确的是（ ）A对于任意的，圆与圆始终相切；B对于任意的，圆与圆始终有四条公切线；C当时，圆被直线截得的弦长为；DP，Q分别为圆与圆上的动点，则的最大值为4.5.（多选题）设有一组圆，下列命题正确的是（ ）A不论如何变化，圆心始终在一条直线上；B所有圆均不经过点；C经过点的圆有且只有一个；D所有圆的面积均为.6已知圆：，直线：（）.设圆上到直线的距离等于1的点的个数为，则 .7. 当取遍所有值时，直线所围成的图形面积为 . 8. 已知，（），对任意，经过两点、的直线与一定圆相切，则该圆的方程为 .9. 在直角坐标系中，已知直线，当变化
7、时，动直线始终没有经过点定点的坐标，则的取值范围为（ ）A. B. C. D. 【答案或提示】1.【答案】D【分析】求出圆心到直线的距离后结合两圆的半径可判断各项的正误，从而可得正确的选项.【解析】原点到直线的距离，因为圆的半径为1且原点为其圆心，直线与圆相切，故正确；原点为圆的圆心，故，线段AB的长度为定值，故正确；设的中点为，则，故线段AB的中点轨迹为，故正确.故选：D.2.【答案】BC【解析】因为所以点到中每条直线的距离即为圆:的全体切线组成的集合,从而中存在两条平行直线,所以A错误又因为点不存在任何直线上,所以B正确w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 对任意,存在正边形使其内切圆为
8、圆,故正确 中边能组成两个大小不同的正三角形和,故D错误,故命题中正确的序号是 B,C.3.【答案】ACD【解析】的圆心，半径，则，所以或，故A正确；已知圆：的圆心，半径，圆心到直线的距离，当时，即此时不存在使直线与圆相切，因此B错误；对于任意的，令，则，即对于任意的，总存在使直线与圆相切，故C正确.，半径，圆心到直线的距离，即的最小值，由，所以，四边形的面积最小值，故D正确.故选：ACD.4. 【答案】ACD【分析】动圆圆心为，故其轨迹是以（0,0）为圆心，2为半径的圆，结合形，求出圆心距，判断两圆位置关系可判断AB，求出圆心到直线的距离，由勾股定理求得弦长判断C，由两圆心距离可判断D【解析
9、】由已知，等于两圆半径之和，两圆始终相切，A正确，B错误；时，到已知直线的距离为，则弦长为，C正确；由于，共线时最大值D正确故选：ACD5. 【答案】ABD【解析】圆心坐标为，在直线上，A正确；令，化简得，无实数根，B正确；由，化简得，有两不等实根，经过点的圆有两个，C错误；由圆的半径为2，得圆的面积为，D正确故选：ABD6. 【答案】4 【解析】圆心到直线的距离为，所以圆的半径，且，所以圆上在直线的两侧各有两个点到直线的距离等于1.7.【答案】【解析】直线方程可化为故点（1,1）到该直线的距离直线是与以点（1,1）为圆心，4为半径的圆相切的直线系故直线所围成的图形面积为. 8.【答案】【解析】，、都在直线，故经过两点、的直线是点（0,0）到该直线的距离故所求圆的方程为.9.【答案】D【分析】根据原点到直线的距离为1，结合题意可得点在单位圆内，即可求解.【解析】因为原点到直线的距离为，所以动直线所围成的图形为单位圆，又动直线始终没有经过点，所以点在该单位圆内，即的取值范围为.故选：D
