1、专题44 特殊的四边形一、三角形的中位线【典例】如图在ABC中，D、E分别为AB、AC上的点，且BDCE，M、N分别是BE、CD的中点过MN的直线交AB于P，交AC于Q，线段AP、AQ相等吗？为什么？【解答】解：APAQ理由如下：如图，取BC的中点H，连接MH，NHM，H为BE，BC的中点，MHEC，且MH=12ECN，H为CD，BC的中点，NHBD，且NH=12BDBDCE，MHNHHMNHNM；MHEC，HMNPQA，同理HNMQPAAPQ为等腰三角形，APAQ【巩固】如图，在ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，ABOB，点E，F分别是OA，OD的中点，连接EF，EMBC于点M，EM交
2、BD于点N，若CEF45，FN5，求线段BC的长二、矩形中的折叠【典例】如图，折叠矩形纸片ABCD，使点B的对应点E落在CD边上，GH为折痕，已知AB6，BC10当折痕GH最长时，线段BH的长为 【解答】解：由题知，当E点与D点重合时GH最长，设BHx，则CH10x，HEBHx，由勾股定理得，HC2+CE2HE2，即（10x）2+62x2，解得x6.8，故答案为：6.8【巩固】如图，点E是矩形ABCD的边CD上一点，（1）如图1，将ADE沿AE翻折，使点D的对应点M恰好在BC边的中点，求ADAB的值；（2）如图2，若点E为CD的中点，过点A作AFBE于F，连接DF，求证DFBC三、直角三角形斜
3、边上的中线【典例】如图，在ABC中，AB3，AC4，BC5，P为边BC上一动点，PEAB于E，PFAC于F，M为EF中点，则AM的最小值为（）A1B1.3C1.2D1.5【解答】解：AB3，AC4，BC5，EAF90，PEAB于E，PFAC于F，四边形AEPF是矩形，EF，AP互相平分且EFAP，EF，AP的交点就是M点当AP的值最小时，AM的值就最小，当APBC时，AP的值最小，即AM的值最小12APBC=12ABAC，APBCABACAB3，AC4，BC5，5AP34，AP2.4，AM1.2；故选：C【巩固】如图，BACBDC90，四边形ABDE为平行四边形，若AD6，BC8，则CE的长为
4、 四、菱形中最值问题【典例】如图，边长为4的菱形ABCD中，ABC30，P为BC上方一点，且SPBC=14S菱形ABCD，则PB+PC的最小值为 【解答】解：过A作AEBC于E，ABC30，AB4，AE=12AB2，SPBC=14S菱形ABCD=14422，设点P到BC的距离为h，h1，即点P在平行于BC且到BC的距离为1的直线上，作点B关于直线l的对称点G，连接CG交直线l于点P，则此时，PB+PC的值最小，PB+PC的最小值CG，BGl，BGBC，CBG90，BG2h2，CG=22+42=25，【巩固】如图，菱形ABCD中，AB2，A120，点P是直线BD上一动点，连接PC，当PC+PB2
5、的值最小时，线段PD长是 巩固练习1如图，在矩形ABCD中，AB4，AD5，点E，F分别是边AB，BC上的动点，点E不与A，B重合，且EFAB，G是五边形AEFCD内满足GEGF且EGF90的点现给出以下结论其中错误的是（）AGEB与GFB一定互补B点G到边AB，BC的距离一定相等C点G到边AD，DC的距离可能相等D点G到边AB的距离的最大值为222如图，分别以RtABC的直角边AC及斜边AB为边向外作等边ACD、等边ABE，EFAB，垂足为F，连接DF，当ACAB= 时，四边形ADFE是平行四边形3如图，矩形ABCD，AB1，BC2，点A在x轴正半轴上，点D在y轴正半轴上当点A在x轴上运动时
6、，点D也随之在y轴上运动，在这个运动过程中，点C到原点O的最大距离为 4如图，菱形ABCD的边长为4，BAD120，点E是AB的中点，点F是AC上的一动点，则EF+BF的最小值是 5如图，在矩形ABCD中，AD=3AB，对角线相交于点O，动点M从点B向点A运动（到点A即停止），点N是AD上一动点，且满足MON90，连结MN在点M、N运动过程中，则以下结论正确的是 （写出所有正确结论的序号）点M、N的运动速度不相等；存在某一时刻使SAMNSMON；SAMN逐渐减小；MN2BM2+DN26如图，菱形ABCD，AB5，E在BC上，BE4，过点E作EGAD于G，交BD于F，连接DE，若A4DEG，则E
7、F的长为 7如图，在矩形ABCD中，AB2，AD4，E为AD的中点，F为线段EC上一动点，P为BF中点，连接PD，则线段PD长的取值范围是 8如图，在ABC中，ABC90，BD为ABC的中线，过点C作CEBD于点E，过点A作BD的平行线，交CE的延长线于点F，在AF的延长线上截取FGBD，连接BG、DF（1）求证：四边形BDFG是菱形：（2）若BAC30，BC2，求四边形BDFG的面积9已知四边形ABCD是矩形（1）如图1，E、F分别是AB、AD上的点，CE垂直平分BF，垂足为G，连接DG求证：DGCG；若BC2AB，求DGC的大小；（2）如图2，ABBC6，M、N、P分别是AB、CD、AD上
8、的点，MN垂直平分BP，点Q是CD的中点，连接MP，PQ，若PQMP，直接写出CN的长10已知：如图，把矩形纸片OABC放入直角坐标系xOy中，使OA、OC分别落在x轴、y轴的正半轴上，连接AC，将ABC沿AC翻折，点B落在该坐标平面内，设这个落点为D，CD交x轴于点E如果CE5，OC、OE的长是关于x的方程x2+（m1）x+120的两个根，并且OCOE（1）求点D的坐标；（2）如果点F是AC的中点，判断点（8，20）是否在过D、F两点的直线上，并说明现由11如图1，在菱形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，AB13，BD24，在菱形ABCD的外部以AB为边作等边三角形ABE点F是对角线B
9、D上一动点（点F不与点B重合），将线段AF绕点A顺时针方向旋转60得到线段AM，连接FM（1）线段AO的长为 ；（2）如图2，当点F在线段BO上，且点M，F，C三点在同一条直线上时，求证：AM=33AC；（3）连接EM若AFM的周长为329，请直接写出AEM的面积12在菱形ABCD中，BAD60（1）如图1，点E为线段AB的中点，连接DE、CE、若AB4，求线段EC的长；（2）如图2，M为线段AC上一点（不与A、C重合），以AM为边向上构造等边三角形AMN，线段MN与AD交于点G，连接NC、DM，Q为线段NC的中点，连接DQ、MQ，判断DM与DQ的数量关系，并证明你的结论；（3）在（2）的条件下，若AC=3，请你直接写出DM+CN的最小值
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