1、 专题4.4 黄金分割（知识讲解）【学习目标】1、理解黄金分割的概念；2、会找一条线段的黄金分割点；3、会判断一个点是否为一条线段的黄金分割点。【要点梳理】要点一：黄金分割的定义： 点C把线段AB分割成AC和CB两段,如果,那么线段AB被点C黄金分割，点C叫做线段AB的黄金分割点，AC与AB的比叫做黄金比.特别说明：0.618AB(叫做黄金分割值).要点二：作一条线段的黄金分割点： 如图，已知线段AB，按照如下方法作图：（1）经过点B作BDAB，使BD=AB.（2）连接AD，在DA上截取DE=DB.（3）在AB上截取AC=AE.则点C为线段AB的黄金分割点.特别说明：一条线段的黄金分割点有两个
2、. 【典型例题】类型一、黄金分割的作法1作出线段的黄金分割点（不写作法，保留作图痕迹） 【分析】作法：（1）延长线段至，使，分别以、为圆心，以大于等于线段的长为半径作弧，两弧相交于点，连接，则，在上取点，使；（2）连接，在上截取（3）在上截取点就是线段的黄金分割点 解：如图，点即为所求【点拨】本题主要是考查了黄金分割点的概念，熟记黄金分割分成的两条线段和原线段之间的关系，能够熟练求解和作图【变式】如图，设线段AC1.（1）过点C画CDAC，使CDAC；连接AD，以点D为圆心，DC的长为半径画弧，交AD于点E；以点A为圆心，AE的长为半径画弧，交AC于点B（2）在所画图中，点B是线段AC的黄金分
3、割点吗？为什么？【答案】（1）作图见解析；（2）是，理由见解析【分析】（1）根据几何语言画出对应的几何图形；（2）设AC1，则DEDC，利用勾股定理得到AD，所以AE，则AB，然后利用黄金分割的定义可判断点B是线段AC的黄金分割点 解：（1）如图，点B为所作；（2）点B是线段AC的黄金分割点理由如下：设AC1，则CD，DEDC，AD=，AEADDE，AB， BC，即，点B是线段AC的黄金分割点【点拨】本题考查了黄金分割：把线段AB分成两条线段AC和BC（ACBC），且使AC是AB和BC的比例中项（即AB：ACAC：BC），叫做把线段AB黄金分割，点C叫做线段AB的黄金分割点求出线段长是解决问题
4、的关键【变式2】如图，以矩形ABCD的宽为边作正方形AEFD，若矩形EBCF的宽与长的比值等于矩形ABCD的宽与长的比值，则将矩形ABCD称为“黄金矩形”若AD2，求BE的长【答案】【分析】由正方形的性质得AEAD2，由“黄金矩形”的定义求出AB得长，即可得出BE的长 解：四边形AEFD是正方形，AEAD2，矩形ABCD为黄金矩形，ADAB，即2AB，解得：AB1，BEABAE121【点拨】本题考查的是黄金分割、矩形的性质，掌握黄金比值为是解题的关键类型二、由黄金分割点求线段长2已知线段AB=10cm，点C是AB上的黄金分割点，求AC的长是多少厘米？【答案】（）cm或（15）cm【分析】根据黄
5、金分割点的定义，知AC可能是较长线段，也可能是较短线段；则AC或AC10（）15 解：根据黄金分割点的概念，应有两种情况，当AC是较长线段时，AC；当AC是较短线段时，则AC10（）15故答案为：（）cm或（15）cm【点拨】本题考查了黄金分割点的概念注意这里的AC可能是较长线段，也可能是较短线段；熟记黄金比的值是解题的关键【变式1】如图，线段，点是线段的黄金分割点（且，即），则_；点是线段的黄金分割点（），点是线段的黄金分割点（），依此类推，则线段的长度是_【答案】 【分析】（1）根据，设P1B=x,列出方程解出即可；（2）由BP1=，得出AP1=1=，AP2=()2，AP3=()3，依此类
6、推，则线段APn的长度是()n 解：（1）,AP1=AB-P1B, 设P1B=x,x2=1(1-x)解得：x1=,x2=(舍去)，故答案为；（2）根据黄金比的比值，BP1=，则AP1=1=，同理可得AP2=()2，AP3=()3，依此类推，则线段APn的长度是()n故答案为【点拨】本题考查了黄金分割的概念，一元二次方程的解法，解题关键是理解黄金分割的概念【变式2】已知线段，点是线段的黄金分割点，则的长度为_【答案】或【分析】根据点C是线段A的黄金分割点，得到比例，再分和两种情况解答即可. 解：点是线段的黄金分割点，当时，如图当时，如图，综上：的长度在或【点拨】本题考查了主要黄金分割点，掌握黄金
7、比例和分类讨论思想是解答本题的关键【变式3】如图，点是线段的黄金分割点，且，若，求的长【答案】AB=，BC=3-【分析】由黄金分割的定义可得AB2=BCAC，设AB=x，则BC=2-x，代入求解即可 解：点B是线段AC的黄金分割点，且ABBC，AB2=BCAC设AB=x，则BC=2-x，x2=(2-x)2，x2+2x-4=0，解得：x1=，x2=，x0，x= 即AB=，BC=3-，答：AB=，BC=3-【点拨】本题考查了黄金分割的概念，熟练掌握黄金比是解答本题的关键把一条线段分成两部分，使其中较长的线段为全线段与较短线段的比例中项，这样的线段分割叫做黄金分割类型三、证明黄金分割点3如图，用纸折
8、出黄金分割点：裁一张边长为2的正方形纸片ABCD，先折出BC的中点E，再折出线段AE，然后通过折叠使EB落在线段EA上，折出点B的新位置F，因而EFEB类似的，在AB上折出点M使AMAF则M是AB的黄金分割点吗？若是请你证明，若不是请说明理由【答案】是，证明见解析【分析】设正方形ABCD的边长为2，根据勾股定理求出AE的长，再根据E为BC的中点和翻折不变性，求出AM的长，二者相比即可得到黄金比解：M是AB的黄金分割点，理由如下：正方形ABCD的边长为2，E为BC的中点，BE1AE，EFBE1，AFAEEF1，AMAF1，AM：AB（1）：2，点M是线段AB的黄金分割点【点拨】本题考查了黄金分割
9、的应用，知道黄金比并能求出黄金比是解题的关键，把一条线段分成两部分，使其中较长的线段为全线段与较短线段的比例中项，这样的线段分割叫做黄金分割，他们的比值（）叫做黄金比【变式1】如图，在矩形中，且四边形是一个正方形，试问点F是的黄金分割点吗？请说明理由.（补全解题过程）解：点F是的黄金分割点.理由如下：四边形是一个正方形，.又在矩形中，_.点F是的黄金分割点.【答案】【分析】根据正方形性质，得.解：点F是的黄金分割点.理由如下：四边形是一个正方形，.又在矩形中，.点F是的黄金分割点.【点拨】考核知识点：黄金分割点.理解意义是关键.【变式2】如图所示，以长为2的定线段为边作正方形，取的中点P，连接
10、，在的延长线上取点F，使，以为边作正方形，点M在上（1）求的长；（2）点M是的黄金分割点吗？为什么？【答案】（1）=，=；（2）是，理由见解析【分析】（1）要求的长，只需求得的长，又，则，；（2）根据（1）中的数据得：，根据黄金分割点的概念，则点是的黄金分割点解：（1）在中，由勾股定理知，故的长为，的长为；（2）点是的黄金分割点由于，点是的黄金分割点【点拨】此题综合考查了正方形的性质、勾股定理和黄金分割的概念先求得线段AM，DM的长，然后求得线段AM和AD，DM和AM之间的比，根据黄金分割的概念进行判断【变式3】如图，以长为2的线段AB为边作正方形ABCD，取AB的中点P，连接PD，在BA的延
11、长线上取点F，使PFPD，以AF为边作正方形AMEF，点M在AD上（1）求AM，DM的长；（2）求证：AM2ADDM；（3）根据（2）的结论你能找出图中的一个黄金分割点吗？【答案】（1）1，3；（2）证明见解析；（3）图中的点M为线段AD的黄金分割点【分析】（1）由勾股定理求PD，根据AM=AF=PF-PA=PD-PA，DM=AD-AM求解；（2）由（1）计算的数据进行证明；（3）根据（2）的结论得：，根据黄金分割点的概念，则点M是AD的黄金分割点 解：（1）P为边AB的中点，APAB1，PD，PFPD，从而AFPFAP1，AMAF1，DMADAM3（2）证明：AM2(1)262，ADDM2(
12、3)62，AM2ADDM（3）图中的点M为线段AD的黄金分割点理由如下：AM2=ADDM，点M是AD的黄金分割点【点拨】此题综合考查了正方形的性质、勾股定理和黄金分割的概念先求得线段AM，DM的长，然后求得线段AM和AD，DM和AM之间的比，根据黄金分割的概念进行判断类型四、黄金分割点的应用4在人体躯干和身高的比例上，肚脐是理想的黄分割点，即（下半身长m与身高l）比例越接近0.618越给人以美感，某女士身高165cm，下半身长（脚底到肚脐的高度）与身高的比值是0.60，为尽可能达到匀称的效果，她应该选择约多少厘米的高跟鞋看起来更美（结果保留整数）【答案】她应该选择大约8厘米的高跟鞋【分析】根据
13、黄金分割定义：下半身长与全身的比等于0.618即可求解 解：根据已知条件可知：下半身长是1650.699（厘米），设需要穿的高跟鞋为y厘米，则根据黄金分割定义，得0.618，解得：y8，经检验y8是原方程的根，答：她应该选择大约8厘米的高跟鞋【点拨】本题考查了黄金分割，解决本题的关键是掌握黄金分割定义【变式1】如图，点是正方形的边边上的黄金分割点，且，表示为边长的正方形面积，表示以为长，为宽的矩形面积，表示正方形除去和剩余的面积，求：的值【答案】【分析】根据黄金分割的定义：把线段分成两条线段AC和（），且使是和的比例中项，叫做把线段黄金分割，点叫做线段的黄金分割点其中，由定义可得：设 求解，从
14、而可得答案 解：如图，设，点是正方形的边边上的黄金分割点，且， ， 正方形,正方形 ，：【点拨】本题考查了黄金分割、矩形的性质、正方形的性质，一元二次方程的解法，解决本题的关键是掌握黄金分割定义【变式2】如图1，点C把线段AB分成两条线段AC和BC，如果ACAB，则称线段AB被点C黄金分割，点C叫做线段AB的黄金“右割“点，根据图形不难发现，线段AB上另有一点D把线段AB分成两条线段AD和BD，若BDAB，则称点D是线段AB的黄金“左割”点请根据以上材料回答下列问题（1）如图2，若AB8，点C和点D分别是线段AB的黄金“右割”点、黄金“左割”点，则BC=，DC= （2）若数轴上有M，P，Q，N
15、四个点，它们分别对应的实数为m，p，q，n，且mpqn，n3|m|，点Q和点P分别是线段MN的黄金“右割”点、黄金“左割”点，求的值【答案】（1）124；816；（2）或【分析】（1）黄金分割：把线段AB分成两条线段AC和BC（ACBC），且使AC是AB和BC的比例中项（即AB：ACAC：BC），叫做把线段AB黄金分割，点C叫做线段AB的黄金分割点其中ACAB，并且线段AB的黄金分割点有两个把AB8代入式子可以AC 和BD，用减法可以分别求BC和DC；（2）在数轴上，由于m的取值不确定，需要分类讨论；同时根据上述的黄金“右割”点、黄金“左割”点，可以列出：；，接着求出PNnp；MQqm；MNn
16、m；最后代入求出p和q及的值 解：（1）点C和点D分别是线段AB的黄金“右割”点、黄金“左割”点，ACBDAB844，BC8（44）124；DCBDBC（44）（124）816；故答案为124；816；（2）由（1）和题意可知：， ，在数轴上，mpqn，n3|m|，PNnp， MQqm， MNnm，当m0时，n3m，即3mp，根据被减数差减数：p3m4m，同理可求q，的值为，当m0时，n3m，3mp，根据被减数差减数：p3m2（1）m5m2m，同理可求q3m，可得：，的值为或【点拨】本题考查了黄金分割、分类讨论的思想；把线段AB分成两条线段AC和BC（ACBC），且使AC是AB和BC的比例中项（即AB：ACAC：BC），叫做把线段AB黄金分割，点C叫做线段AB的黄金分割点其中ACAB，并且线段AB的黄金分割点有两个利用分类讨论的思想，全面考虑不同的M值时，的值
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