1、第2课时余弦定理的变形及应用学习目标1.进一步理解余弦定理及其变式的结构特征和功能.2.能用余弦定理进行边角互化.3.能用余弦定理解决简单的实际问题知识点一余弦定理及其推论1a2b2c22bccos A，b2 c2a22cacos B，c2a2b22abcos C.2cos A；cos B；cos C.3在ABC中，c2a2b2C为直角；c2a2b2C为钝角；c20时，三角形ABC为锐角三角形()类型一利用余弦定理解已知两边及一边对角的三角形例1已知在ABC中，a8，b7，B60，求c.考点用余弦定理解三角形题点已知两边及其中一边对角用余弦定理解三角形解由余弦定理b2a2c22accos B，
2、得7282c228ccos 60，整理得c28c150，解得c3或c5.引申探究本例条件不变，用正弦定理求c.解由正弦定理，得，sin A，cos A.sin Csin(AB)sin(AB)sin Acos Bcos Asin B，sin C或sin C.当sin C时，csin C5；当sin C时，csin C3.反思与感悟相对于用正弦定理解此类题，用余弦定理不必考虑三角形解的个数，解出几个是几个跟踪训练1在ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若A，a，b1，则c .考点用余弦定理解三角形题点已知两边及其中一边对角用余弦定理解三角形答案2解析由余弦定理a2b2c22bccos
3、A，得()212c22ccos ，即c2c20，c2或c1(舍)类型二边角互化例2在ABC中，a，b，c分别是A，B，C的对边，且满足(abc)(abc)3ab,2cos Asin Bsin C，试判断ABC的形状考点判断三角形的形状题点利用正、余弦定理和三角变换判断三角形的形状解方法一(化角为边)由正弦定理，得，又2cos Asin Bsin C，cos A.又由余弦定理的推论，得cos A，即b2c2a2c2，b2a2，ab.又(abc)(abc)3ab，(ab)2c23ab，由ab，得4b2c23b2，b2c2，bc，abc.故ABC是等边三角形方法二(化边为角)由(abc)(abc)3
4、ab，得(ab)2c23ab，即a2b2c2ab，由余弦定理的推论得cos C，C60.又2cos Asin Bsin Csin(AB)sin Acos Bcos Asin B，sin Acos Bcos Asin B0，即sin(AB)0，又180AB180，AB，ABC60，ABC是等边三角形反思与感悟判断三角形形状的常用方法：(1)由正、余弦定理化角为边，利用代数运算求出三边的关系(2)由正、余弦定理化边为角，通过恒等变换及内角和定理得到内角的关系，从而判断三角形的形状跟踪训练2在ABC中，若(accos B)sin B(bccos A)sin A，判断ABC的形状考点判断三角形形状题点
5、利用正、余弦定理和三角变换判断三角形的形状解由正弦定理及余弦定理，知原等式可化为ba，整理，得(a2b2)(a2b2c2)0.a2b2c20或a2b2，故ABC为等腰三角形或直角三角形类型三用余弦定理解决简单实际问题例3如图所示为起重机装置示意图支杆BC10 m，吊杆AC15 m，吊索AB5 m，求起吊的货物与岸的距离AD.考点余弦定理的实际运用题点实际问题中的求距离解在ABC中，AC15 m，AB5 m，BC10 m，由余弦定理得cosACB，sinACB.又ACBACD180，sinACDsinACB.在RtACD中，ADACsinACD15(m)反思与感悟在解题过程中，要善于运用平面几何
6、的知识，注意方程思想的运用跟踪训练3如图所示，在地面上共线的三点A，B，C处测得一建筑物的仰角分别为30，45，60，且ABBC60 m，求该建筑物的高度考点余弦定理的实际运用题点实际问题中的求高度解设建筑物的高度为h，由题图知，PA2h，PBh，PCh，在PBA和PBC中，分别由余弦定理，得cosPBA， cosPBC. PBAPBC180，cosPBAcosPBC0. 由，解得h30或h30(舍去)，即建筑物的高度为30 m.1在ABC中，若b2a2c2ac，则B .考点余弦定理及其变形应用题点余弦定理的变形应用答案120解析b2a2c22accos Ba2c2ac，cos B，0B180
7、，B120.2在ABC中，关于x的方程(1x2)sin A2xsin B(1x2)sin C0有两个不等的实根，则A为 (填“锐角”“直角”“钝角”)考点判断三角形形状题点利用正弦定理、余弦定理判断三角形形状答案锐角解析由方程可得(sin Asin C)x22xsin Bsin Asin C0. 方程有两个不等的实根， 4sin2B4(sin2Asin2C)0.由正弦定理，代入不等式中得 b2a2c20，再由余弦定理，有2bccos Ab2c2a20. 0A0)，则cos B.4如图，两座相距60 m的建筑物AB，CD的高度分别为20 m，50 m，BD为水平面，则从建筑物AB的顶端A看建筑物
8、CD的张角为 考点用余弦定理解三角形题点已知三边解三角形答案45解析依题意可得AD20 m，AC30 m，又CD50 m，所以在ACD中，由余弦定理得cosCAD，又0CAD0，所以此三角形的形状为锐角三角形2在ABC中，若c2，b2a，且cos C，则a .考点余弦定理及其变形应用题点余弦定理与一元二次方程结合问题答案1解析由cos C，得a1.3如果将直角三角形的三边增加同样的长度，则新三角形的形状是 三角形(填锐角、直角、钝角)考点判断三角形形状题点利用余弦定理判断三角形形状答案锐角解析设直角三角形的三边为a，b，c且a2b2c2，则(ax)2(bx)2(cx)2a2b22x22(ab)
9、xc22cxx22(abc)xx20，此时新三角形的最大角为锐角故新三角形是锐角三角形4在ABC中，sin Asin Bsin C323，则cos C的值为 考点余弦定理及其变形应用题点已知三边之比或三角正弦之比，求角答案解析由sin Asin Bsin C323，可得abc323.不妨设a3k，b2k，c3k(k0)，则cos C.5在ABC中，若a2bc，则角A是 角(填锐、直、钝)考点余弦定理及其变形应用题点用余弦定理求边或角的取值范围答案锐解析cos A0，0Aa，cb，角C最大由余弦定理，得c2a2b22abcos C，即3791624cos C，cos C.0C4，则x所对的角为钝
10、角，0且x347，5x7.若x4，则4所对的角为钝角，4，1x0，a，最大边为2a1.三角形为钝角三角形，a2(2a1)2(2a1)2，化简得0a2a1，a2，2a8.二、解答题12在ABC中，已知a7，b8，cos C，求证：ABC是钝角三角形考点余弦定理的运用题点利用余弦定理判断三角形形状证明由c2a2b22abcos C，得c3.由于边b最大，从而角B最大又cos B0，b0)，则最大角为 考点用余弦定理解三角形题点已知三边解三角形答案120解析易知a，b，设最大角为，则cos ，又(0，180)，120.15在ABC中，a，b，c分别为内角A，B，C的对边，且2asin A(2bc)sin B(2cb)sin C.(1)求角A的大小；(2)若sin Bsin C，试判断ABC的形状考点判断三角形形状题点利用正弦、余弦定理、三角变换判断三角形形状解(1)2asin A(2bc)sin B(2cb)sin C，2a2(2bc)b(2cb)c，即bcb2c2a2，cos A.0A180，A60.(2)ABC180，BC18060120，由sin Bsin C，得sin Bsin(120B)，sin Bsin 120cos Bcos 120sin B，sin Bcos B，即sin(B30)1.又0B120，30B30150，B3090，即B60，ABC60，ABC为正三角形