1、第二章 函数的概念与基本初等函数()第一节 函数及其表示栏目导航123课 堂 考 点 突 破课 时 跟 踪 检 测课 前 基 础 巩 固最新考纲考情分析核心素养1.了解构成函数的要素，会求一些简单函数的定义域和值域，了解映射的概念.2.在实际情境中，会根据不同的需要选择恰当的方法(如图象法、列表法、解析法)表示函数.3.了解简单的分段函数，并能简单应用.以基本初等函数为载体，考查函数的表示法、定义域；分段函数以及函数与其他知识的综合是高考热点，题型既有选择题、填空题，又有解答题，中等偏上难度.1.数学运算2.逻辑推理 课 前 基 础 巩 固 1知识梳理1函数与映射的概念函数映射两个集合A，B设
2、 A，B 是两个 1 _设 A，B 是两个 2 _非空数集非空集合函数映射对应关系f：AB如果按照某种确定的对应关系 f，使对于集合 A 中的 3 _一个 数 x，在 集 合 B 中 都 有 4_的数 f(x)和它对应如果按某一个确定的对应关系 f，使对于集合 A 中的 5 _一个元素 x，在集合 B 中都有 6_的元素 y 与之对应任意唯一确定任意唯一确定函数映射名称称 7 _为从集合 A 到集合B 的一个函数称 8 _为从集合 A 到集合B 的一个映射记法函数 yf(x)，xA映射：f：ABf：ABf：AB2.函数的定义域、值域(1)在函数 yf(x)，xA 中，x 叫做自变量，x 的取值
3、范围 A 叫做函数的 9 _；与 x 的值相对应的 y 值叫做函数值，函数值的 10 _叫做函数的 11_(2)如果两个函数的 12 _相同，并且 13 _完全一致，则这两个函数为相等函数3函数的表示法表示函数的常用方法有 14 _、图象法和 15 _定义域集合f(x)|xA值域定义域对应关系解析法列表法4分段函数(1)若函数在其定义域的不同子集上，因 16 _不同而分别用几个不同的式子来表示，这种函数称为分段函数(2)分段函数的定义域等于各段函数的定义域的 17 _，其值域等于各段函数的值域的 18 _，分段函数虽由几个部分组成，但它表示的是一个函数对应关系并集并集常用结论1函数是特殊的映射
4、，是定义在非空数集上的映射2直线 xa(a 是常数)与函数 yf(x)的图象有 0 个或 1 个交点3分段函数无论分成几段，都是一个函数，必须用分类讨论的思想解决分段函数问题基础自测一、疑误辨析1判断下列结论的正误(正确的打“”，错误的打“”)(1)函数 y1 或 yx0 是同一个函数()(2)对于函数 f：AB，其值域是集合 B.()(3)f(x)x3 2x是一个函数()(4)若两个函数的定义域与值域相同，则这两个函数相等()解析：(1)错误函数 y1 的定义域为 R，而 yx0 的定义域为x|x0，其定义域不同，故不是同一函数(2)错误值域 CB，不一定有 CB.(3)错误f(x)x3 2
5、x中 x 不存在(4)错误若两个函数的定义域、对应法则、值域均对应相同时，才是相等函数答案：(1)(2)(3)(4)二、走进教材2(必修 1P74A 组 T7(2)改编)函数 f(x)x3log2(6x)的定义域是_答案：3，6)3(必修1P25B组T1改编)函数yf(x)的图象如图所示，那么f(x)的定义域是_；值域是_，其中只有唯一的 x 值与之对应的 y 值的范围是_答案：3，02，3 1，5 1，2)(4，5三、易错自纠4已知 f(x)2x2，x0，x23，x0，若 f(a)2，则 a 的值为()A2 B1 或 2C1 或 2 D1 或 2解析：选 B 当 a0 时，2a22，解得 a
6、2；当 a0 时，a232，解得 a1.综上，a 的值为1 或 2.故选 B.5已知函数 f(x)x|x|，若 f(x0)4，则 x0 的值为_解析：当 x0 时，f(x)x2，由 f(x0)4，即 x204，得 x02；当 x0 时，f(x)x2，由 f(x0)4，即x204，无解，所以 x02.答案：26已知函数 f(x)ax32x 的图象过点(1，4)，则 a_解析：由题意知点(1，4)在函数 f(x)ax32x 的图象上，所以 4a2，则 a2.答案：2课 堂 考 点 突 破2考点 函数的概念|题组突破|1若函数 yf(x)的定义域为 Mx|2x2，值域为 Ny|0y2，则函数 yf(
7、x)的图象可能是()解析：选 B A 中函数的定义域不是2，2，C 中图象不表示函数，D 中函数值域不是0，2，故选 B.2下列函数中，与函数 yx1 是相等函数的是()Ay(x1)2By3 x31Cyx2x 1 Dy x21解析：选 B 对于 A，函数 y(x1)2 的定义域为x|x1，与函数 yx1 的定义域不同，不是相等函数；对于 B，定义域和对应关系都相同，是相等函数；对于 C，函数 yx2x 1 的定义域为x|x0，与函数 yx1 的定义域不同，不是相等函数；对于 D，定义域相同，但对应关系不同，不是相等函数3有以下判断：f(x)|x|x 与 g(x)1，x0，1，x0 表示同一函数
8、；f(x)x22x1 与 g(t)t22t1 是同一函数；若 f(x)|x1|x|，则 ff12 0.其中正确判断的序号是_解析：对于，由于函数 f(x)|x|x 的定义域为x|xR 且 x0，而函数 g(x)1，x0，1，x0，x30，解得 x2 且 x3，所以函数 ylog2(2x4)1x3的定义域为(2，3)(3，)，故选 D.(2)由x10，02x2，得 0 x1，即函数 g(x)的定义域是0，1)答案(1)D(2)0，1)命题角度二 已知函数的定义域求参数范围【例 2】(1)若函数 ymx1mx24mx3的定义域为 R，则实数 m 的取值范围是()A.0，34B.0，34C.0，34
9、D.0，34(2)若函数 f(x)ax2abxb的定义域为x|1x2，则 ab 的值为_解析(1)要使函数的定义域为 R，则 mx24mx30 恒成立，当 m0 时，显然满足条件；当 m0 时，由(4m)24m30，得 0m34，由得 0m34.(2)函数 f(x)的定义域是不等式 ax2abxb0 的解集 不等式 ax2abxb0 的解集为x|1x2，所以a0，12b，12ba，解得a32，b3，所以 ab32392.答案(1)D(2)92名师点津(1)求给定函数的定义域往往转化为解不等式(组)的问题，可借助于数轴，注意端点值的取舍(2)求抽象函数的定义域：若 yf(x)的定义域为(a，b)
10、，则解不等式 ag(x)0，x11，解得10 恒成立，得 a0 或a0，（4a）24a20，解得 0a0，所以 t1 且 x 2t1，所以 f(t)lg 2t1，即 f(x)lg 2x1(x1)(3)(待定系数法)设 f(x)ax2bxc(a0)，又 f(0)c3.所以 f(x)ax2bx3，所以 f(x2)f(x)a(x2)2b(x2)3(ax2bx3)4ax4a2b4x2.所以4a4，4a2b2，所以a1，b1，所以所求函数的解析式为 f(x)x2x3.(4)(解方程组法)因为 2f(x)f(x)2x，将 x 换成x 得 2f(x)f(x)2x，由2消去 f(x)，得 3f(x)6x，所以
11、 f(x)2x.答案(1)f(x)x22(x2 或 x2)(2)f(x)lg 2x1(x1)(3)f(x)x2x3(4)f(x)2x名师点津 求函数解析式的 4 种方法|跟踪训练|4(一题多解)已知二次函数 f(2x1)4x26x5，则 f(x)_解析：解法一(换元法)：令 2x1t，则 xt12，所以 f(t)4t1226t12 5t25t9，所以 f(x)x25x9.解法二(配凑法)：因为 f(2x1)4x26x5(2x1)210 x4(2x1)25(2x1)9，所以 f(x)x25x9.解法三(待定系数法)：因为 f(x)是二次函数，所以设 f(x)ax2bxc(a0)，则 f(2x1)
12、a(2x1)2b(2x1)c4ax2(4a2b)xabc.因为 f(2x1)4x26x5，所以4a4，4a2b6，abc5，解得a1，b5，c9，所以 f(x)x25x9.答案：x25x95设 yf(x)是二次函数，方程 f(x)0 有两个相等的实根，且 f(x)2x2，则 f(x)的解析式为 f(x)_解析：设 f(x)ax2bxc(a0)，则 f(x)2axb2x2，所以 a1，b2，所以 f(x)x22xc.又因为方程 f(x)0 有两个相等的实根，所以 44c0，解得 c1，故 f(x)x22x1.答案：x22x1考点三 分段函数 命题角度一 求分段函数的函数值【例 4】(1)(201
13、9 届合肥一检)已知函数 f(x)x 1x2，x2，x22，x2，则 ff(1)()A12B2C4 D11(2)(2019 届石家庄模拟)已知 f(x)log3x，x0，axb，x0(0a1)，且 f(2)5，f(1)3，则 ff(3)()A2 B2C3 D3解析(1)因为 f(1)1223，所以 ff(1)f(3)3 1324.故选 C.(2)由题意得，f(2)a2b5，f(1)a1b3，联立，结合 0a0，12x1，x0，则 f(3)12319，所以 ff(3)f(9)log392，故选 B.答案(1)C(2)B命题角度二 分段函数与方程、不等式问题【例 5】(1)(2019 届安徽安庆二
14、模)已知函数 f(x)x1，1x0，2x，x0，若实数 a 满足 f(a)f(a1)，则 f1a()A2 B4C6 D8(2)(2019 届郑州第一中学联合质量测评)已知函数 f(x)log2x，x1，11x，x0.当 0a1 时，由 f(a)f(a1)，得 2a a，解得 a14，则 f1a f(4)8；当 a1 时，由 f(a)f(a1)，得 2a2(a1)，不成立故选 D.(2)当 x1 时，不等式 f(x)1 为 log2x1，即 log2xlog22，1x2.当 x1(舍去)，f(x)1 的解集是(，01，2故选 D.答案(1)D(2)D名师点津 分段函数问题的求解策略(1)分段函数
15、的求值问题，首先确定自变量的值属于哪个区间，然后选定相应的解析式代入求解(2)对求含有参数的自变量的函数值，如果不能确定自变量的范围，那么应采取分类讨论(3)解由分段函数构成的不等式，一般要根据分段函数的不同分段区间进行分类讨论|跟踪训练|6(2019 届江西南昌一模)设函数 f(x)x22x（x0），f（x3）（x0），则 f(5)的值为()A7 B1C0 D.12解析：选 D f(5)f(53)f(2)f(23)f(1)(1)22112.故选 D.7(2019 届广东潮州期末)已知函数 f(x)log3（xm）1，x0，12 019，x0的图象经过点(3，0)，则 ff(2)()A2 01
16、9 B.12 019C2 D1解析：选 B 因为函数 f(x)的图象过点(3，0)，所以 log3(3m)10，解得 m0，所以 f(2)log3210，所以 ff(2)12 019，故选 B.8(2019 届安徽皖南八校第三次联考)已知函数 f(x)log2（x1），x1，1，x1，则满足f(2x1)f(3x2)的实数 x 的取值范围是()A(，0 B(3，)C1，3)D(0，1)解析：选 B 由 f(x)log2（x1），x1，1，x1，可得当 x1 时，f(x)1；当 x1 时，函数 f(x)在1，)上单调递增，且 f(1)log221.要使得 f(2x1)f(3x2)，则2x11，解得
17、 x3，即不等式 f(2x1)f(3x2)的解集为(3，)，故选 B.考点 函数的新定义问题【例】(2019 届深圳 3 月模拟)在平面直角坐标系中，横坐标、纵坐标均为整数的点称为整点，若函数 f(x)的图象恰好经过 n(nN*)个整点，则称函数 f(x)为 n 阶整点函数给出下列函数：f(x)sin 2x；g(x)x3；h(x)13x；(x)ln x.其中是一阶整点函数的是()ABCD解析 对于函数 f(x)sin 2x，它的图象(图略)只经过一个整点(0，0)，所以它是一阶整点函数，排除 D；对于函数 g(x)x3，它的图象(图略)经过整点(0，0)，(1，1)，所以它不是一阶整点函数，排
18、除 A；对于函数 h(x)13x，它的图象(图略)经过整点(0，1)，(1，3)，所以它不是一阶整点函数，排除 B.故选 C.答案 C名师点津 本题意在考查考生的数学抽象、逻辑推理、数学运算、直观想象等核心素养，破解新定义函数题的关键是：紧扣新定义的函数的含义，学会语言的翻译、新旧知识的转化，便可使问题顺利获解如本例，若能把新定义的一阶整点函数转化为函数 f(x)的图象恰好经过 1 个整点，问题便迎刃而解|跟踪训练|1若一系列函数的解析式相同，值域相同，但定义域不同，则称这些函数为“同族函数”，则函数解析式为 yx21，值域为1，3的同族函数有()A1 个B2 个C3 个D4 个解析：选 C
19、由 x211 得 x0，由 x213 得 x 2，所以函数的定义域可以是0，2，0，2，0，2，2，故值域为1，3的同族函数共有 3 个2(2019 届石家庄第一次模拟)若定义在 R 上的函数 f(x)当且仅当存在有限个非零自变量 x，使得 f(x)f(x)，则称 f(x)为“类偶函数”，则下列函数中为类偶函数的是()Af(x)cos xBf(x)sin xCf(x)x22xDf(x)x32x解析：选 D A 中，函数为偶函数，则在定义域内均满足 f(x)f(x)，不符合题意；B 中，当 xk(kZ)时，满足 f(x)f(x)，不符合题意；C 中，由 f(x)f(x)，得 x22xx22x，解得 x0，不符合题意；D 中，由 f(x)f(x)，得 x32xx32x，解得 x0 或 x 2，符合题意，故选 D.点此进入该word板块课 时 跟 踪 检 测3谢 谢 观 看 THANKS
