1、专题4.2 相似三角形（全章分层练习）（基础练）一、 单选题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）1（2022秋四川资阳九年级统考期末）下列说法错误的是（）A位似图形一定是相似图形B顶角相等的两个等腰三角形不一定相似C两个相似三角形的周长比是，则其面积的比是D中，点D、E分别是边AB、AC的中点，则四边形与的面积之比是2（2022秋四川资阳九年级校考阶段练习）下列平行线分线段的作图中，不能得到的是（ ）A BC D3（2023秋九年级课时练习）如图，根据图中给出的数据，一定能得到（）A B C D 4（2023秋全国九年级专题练习）如图是老师画出的，已标出三边的长度下面四位同学画出的三角形
2、与老师画出的不一定相似的是（）A B C D5（2023春安徽六安八年级统考期中）在一次数学活动课上，小颖发现：将三角板的直角顶点放在长方形纸片的边上移动，恰好存在两直角边分别经过点，情形（如图）如果，则的长应为（）A1或9 B2或8 C3或7 D4或66（2022春四川达州九年级专题练习）如图，在RtABC中，ACBC，CDAB于点D，E为BC中点，CD、AE交于点G，则下列结论中不一定正确的是（）AAG2EG BC DADG的面积和四边形BEGD的面积相等7（2022秋四川九年级校考期末）如图，在两个等腰直角ABC和ADE中，DAE=BAC=90，已知AC=5，AD=3，DE交AB于点P，
3、当时，则SAEP：SBDP的值为（）A B C D8（2022秋四川绵阳九年级校考阶段练习）如图，四边形是菱形，延长至点，延长至点，使得经过点，若，则的长为（）A B C D9（2023四川九年级专题练习）在方格图中，以格点为顶点的三角形叫做格点三角形在如图所示的平面直角坐标系中，格点成位似关系，则位似中心的坐标为（）A B C D10（2022秋四川攀枝花九年级校联考期末）如图，ABC三边AB、AC、BC的中点分别D、E、F，连接得四边形DEFB，它的面积记作为S1，取EFC三边中点D1、E1、F1，连接得四边形D1E1F1F，它的面积记作S2，取E1F1C三边的中点，D2、E2、F2，连接
4、得四边形D2E2F2F1，它的面积记作S3，按规律依次作图，若ABC的面积为1，则四边形D5E5F5F4的面积S6为（）A B C D二、 填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分）11（2022秋四川成都九年级统考期末）已知，则 12（2023春江苏苏州九年级苏州市景范中学校校考阶段练习）已知中，直角边，为斜边上的中线，点为边上任意一点，分别以点、点为圆心，以长和长为半径作弧，两弧交于点，若点恰好落在上，则 13（2022秋四川成都九年级校考期中）如图，在某校的2022年新年晚会中，舞台AB的长为20米，主持人站在点C处自然得体，已知点C是线段AB上靠近点B的黄金分割点，则此时主持人与点
5、A的距离为 米14（2022秋福建泉州九年级统考期末）一张以为边的矩形纸片，边上一点，沿着直线对折，点落在点处，矩形恰好能沿直线和直线剪掉两个直角三角形，剩下的四边形纸片，如图所示，其中，则矩形纸片的边的长为 15（2023广东汕头汕头市金禧中学校考一模）如图，A，B，C，D，E五个顶点均在小正方形组成的网格的格点上若于点F，且，则的长为 16（2023春江苏南京九年级校联考阶段练习）如图，将等边折叠，折痕为，使点落在边上得到点若，则 17（2023秋山西吕梁九年级校考期末）如图，点C，E在线段上，都是等边三角形，其边长分别是3，2，1，连接，分别交于点M，N，则的长为 18（2021四川成都
6、三模）在平面内，先将一个多边形以点O为位似中心放大或缩小，使所得多边形与原多边形对应的线段的比值为k，逆时针旋转一个角度，这种经过相似和旋转变化的图形变换叫做旋转相似变换（k，），O为旋转相似中心，k为相似比，ABC是边长为1cm的等边三角形，将它作旋转相似变化A（，90），则BD长 cm三、解答题（本大题共6小题，共58分）19（8分）（2023春宁夏银川九年级银川市第三中学校考阶段练习）如图，在正方形ABCD中，点E、F、G 分别在AB、BC、CD上，且于F（1）求证：BEFCFG；（2）若AB=12，AE=3，CF=4，求CG的长20（8分）（2023春安徽安庆九年级校考阶段练习）如图，
7、为内一点，过点作，的平行线分别交于点，连接并延长交于点（1）求证：（2）若，求证：21（10分）（2023上海九年级假期作业）如图，和中，AD和BE是的高，和是的高，且，求证：22（10分）（2022春九年级课时练习）如图，在RtABC中，BAC90，ABAC在平面内任取一点D，连结AD（ADAB），将线段AD绕点A逆时针旋转90，得到线段AE，连结DE，CE，BD（1）直线BD和CE的位置关系是 ；（2）猜测BD和CE的数量关系并证明；（3）设直线BD，CE交于点P，把ADE绕点A旋转，当EAC90，AB2，AD1时，直接写出PB的长23（10分）（2022秋辽宁沈阳八年级沈阳市实验学校校考
8、期中）如图，在平面直角坐标系中，直线过点，与轴相交于点，与直线相交于点，点的横坐标为，点为轴上一动点，横坐标为 （1）求直线的表达式；（2）过作轴的平行线，分别交直线，直线于点，连接，当时，求的长；当时，请直接写出的值；（3）若点在线段上，当为等腰三角形时，请直接写出点的坐标24（12分）（2023秋四川成都九年级统考期末）坐落于天府新区兴隆湖的湖畔书店被喻为成都最美水下书店，像一本从天上掉下的书，书店由水下和水上两个部分组成阳阳想要测出水上部分的高度，则在书房水上部分的底端B的同水平面C处放置了一面镜子，当他站在离镜子C处的E处时，看到书房顶端A在镜子中的像与标记C重合已知B，C，E在同一直
9、线上，阳阳的眼睛离地面的高度，求书房水上部分的高度参考答案1B【分析】根据位似图形的前提就是相似，等腰三角形顶角相等，则底角一定相等，相似三角形的周长比等于相似比，面积比等于相似比的平方，进行判断即可解：A位似图形一定是相似图形，故选项正确，不符合题意；B顶角相等的两个等腰三角形一定相似，故选项错误，符合题意；C两个相似三角形的周长比是，则其面积的比是，故选项正确，不符合题意；D中，点D、E分别是边AB、AC的中点，则四边形与的面积之比是，故选项正确，不符合题意故选：B【点拨】本题考查了相似三角形的判定和性质，位似图形和相似图形的关系，熟练掌握相似的判定和性质是解决此题的关键2A【分析】由平行
10、线分线段成比例可以写出比例式，转化为等积式判断即可解：A.由作图可知，即，符合题意；B.由作图可知，即，不符合题意；C.由作图可知，即，不符合题意；D.由作图可知，即，不符合题意故选A【点拨】本题考查平行线分线段成比例，理解平行线所截线段的对应关系是解题的关键3C【分析】先根据题意，推出，再根据相似三角形的判定条件即可得到答案解：， ，故选：C【点拨】本题考查了相似三角形的判定，熟练掌握相似三角形的判定条件是解题关键4C【分析】根据两个三角形相似的判定方法进行判定即可解：A、由有两个角对应相等的三角形相似即可判定这两个三角形相似；B、由于，且夹角相等，所以这两个三角形相似；C、不能判定相似；D
11、、由有两个角对应相等的三角形相似即可判定这两个三角形相似；故选：C【点拨】本题考查了两个三角形相似的判定，掌握相似三角形判定的方法是关键5B【分析】根据得出，再根据长方形的性质证得，从而得到，最后根据相似三角形的对应边成比例即可求出的长解：由题意知，四边形为长方形，设，则，整理得，解得，即的长应为2或8，故选：B【点拨】本题考查了相似三角形的应用，解题的关键是熟练掌握相似三角形的判定与性质6D【分析】连接，证明，即可判断A、B选项，根据直角三角形斜边上的中线可得，然后判断C选项，根据三角形中线的性质即可判断D选项解：如图，连接， ACBC，CDAB于点D， E为BC中点， AG2EG故A选项正
12、确，故B选项正确在RtABC中，ACBC，CDAB故C选项正确ADG的面积和BED的面积相等，故D选项不正确，符合题意，故选：D【点拨】本题考查了相似三角形的性质与判定，等腰直角三角形的性质，三角形中线的性质，掌握相似三角形的性质与判定是解题的关键7D【分析】先根据题意得到AB=AC=5，ADE=AED=45，AE=AD=3，再证明AEPBDP，根据平行线的性质推出ADB=90，由勾股定理求出BD的长即可得到答案解：ABC和ADE都是等腰直角三角形，DAE=BAC=90，AB=AC=5，ADE=AED=45，AE=AD=3，AEPBDP，BDP=AED=45，ADB=90，故选D【点拨】本题主
13、要考查了等腰直角三角形的性质，相似三角形的性质与判定，勾股定理，平行线的性质，熟知相关知识是解题的关键8C【分析】由菱形的性质可得，可得，根据相似三角形的性质即可求解解：四边形是菱形，,，故选：C【点拨】本题考查了菱形的性质，相似三角形的判定和性质，熟练掌握这些知识点是解题的关键9A【分析】根据题意确定直线的解析式为：，由位似图形的性质得出所在直线与BE所在直线x轴的交点坐标即为位似中心，即可求解解：由图得：，设直线的解析式为：，将点代入得：，解得：，直线的解析式为：，所在直线与BE所在直线x轴的交点坐标即为位似中心，当时，位似中心的坐标为，故选：A【点拨】题目主要考查位似图形的性质，求一次函
14、数的解析式，理解题意，掌握位似图形的特点是解题关键10D【分析】如图所示，连接AF，过点D作DPBC于P， 证明BPDBFA，得到，则S1CBAF，同理得到，S2；从而推出Sn由此即可得到答案解：如图所示，过A作AFBC于F，过点D作DPBC于P， DE、EF是ABC的中位线，ABC面积为1，BFBC，AFBC，BPDBFA，S1CBAFSABC=；同理可得，S2；Sn ；S6故选：D【点拨】本题主要考查了三角形中位线定理，等边三角形的性质，相似三角形的性质与判定等等，正确作出辅助线构造相似三角形是解题的关键11/0.2【分析】由比例的基本性质得：，把x的代数式代入即可求得值解：由条件得：，则
15、，故答案为：【点拨】本题考查了比例的基本性质及求代数式的值，运用比例的基本性质是关键12【分析】由勾股定理求出的长，过点作于，求出，连接，交于点，由作图可知，求出的长，证明，得出，求出的长，由勾股定理可得出答案解：，为斜边上的中线，如图所示，过点作于，连接，交于点，由作图可知，垂直平分，故答案为：【点拨】本题考查了直角三角形的性质，等腰三角形的性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理，熟练掌握勾股定理是解题的关键13【分析】根据黄金分割比例进行求解即可解：C是线段AB靠近B的黄金分割点，米，故答案为：【点拨】本题主要考查了黄金分割比例，熟知黄金分割比例是解题的关键14/1.6/【分析】根据相似三
16、角形的性质和判定即可求得的长解：如图所示，根据题意可得：，故答案为：【点拨】本题考查了相似三角形的性质和判定，根据题意找出线段之间的数量关系是解题的关键15【分析】设，根据勾股定理计算出，证明，根据相似三角形对应边成比例可得，代入计算即可解：由图可知，设，则，又，即，解得，故答案为：【点拨】本题考查勾股定理、相似三角形的判定与性质，解题的关键是证明16【分析】由等边三角形的性质得到，由折叠的性质得到，设，则，然后求出的周长，再证明，根据相似三角形周长之比等于相似比进行求解即可解：是等边三角形，由折叠的性质可得，设，则，故答案为：【点拨】本题主要考查了等边三角形的性质，折叠的性质，相似三角形的性
17、质与判定，熟知相似三角形的周长之比对应相似比是解题的关键17/【分析】过点A作，利用等边三角形的性质求出，证明，求出，再证明，求出，利用线段的和差即可求出结果解：如图，过点A作，是等边三角形， ，【点拨】本题考查了等边三角形的性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理，解题的关键是通过相似三角形的性质，找到线段的关系，以此求解182【分析】已知ABC旋转相似变换A（，90），得到ADE，可推出BAD90，利用勾股定理可求出BD的值解：将ABC作旋转相似变换A（，90），则cm，BAD=90，由勾股定理得：BD2（cm）故答案为：2【点拨】本题考查了旋转的性质、相似三角形的性质及勾股定理，理解题目中
18、的旋转相似是解题的关键19（1）见分析（2）【分析】（1）证明BEF=CFG，结合B=C=可证得BEFCFG；（2）由BEFCFG，可得，代入数据可得CG解：（1）ABCD是正方形，于FB=C=EFG= BEF+BFE=BFE+CFG=BEF=CFGBEFCFG（2）解：BEFCFG 【点拨】本题考查了在正方形中进行一线三角形相似的证明，并利用相似进行线段长度的计算，熟知以上模型是解题的关键20（1）见分析；（2）见分析【分析】（1）根据两直线平行，同位角相等，以及两组对应角对应相等的三角形相似，即可得证；（2）证明，得到，利用，推出，即可得证解：（1）证明：，；（2）证明：，【点拨】本题考查
19、相似三角形的判定和性质熟练掌握相似三角形的判定方法，证明三角形相似，是解题的关键21见分析【分析】根据， ，得出，再根据，得出，最后根据相似三角形的性质，即可得出结论解：证明：， ，又，又、分别是、的高，【点拨】本题考查相似三角形的判定和性质的综合运用，解题的关键掌握两边成比例，夹角相等的两个三角形相似；相似三角形高的比等于相似比22（1）BDCE；（2）BDCE，证明见分析；（3）或【分析】（1）依据等腰三角形的性质得到ABAC，ADAE，依据同角的余角相等得到DABCAE，然后依据SAS可证明ADBAEC，最后，依据全等三角形的性质可得到结论；（2）根据全等三角形的性质即可得到结论；（3）
20、分为点E在AB上和点E在BA的延长线上两种情况画出图形，然后再证明BPEBAD，最后依据相似三角形的性质进行证明即可解：（1）BDCE，理由：延长CE交BD于P，将线段AD绕点A逆时针旋转90，得到线段AE，ADAE，DAE90，BAC90，ABAC，DAB+BAECAE+BAE90，DABEAC，DABEAC（SAS），ABDACE，ABC+ACBABP+ABC+PCB90，BPC90，BDCE，故答案为：BDCE；（2）BD和CE的数量是：BDCE；由（1）知ABDACE，BDCE；（3）当点E在AB上时，BEABAE1EAC90，CE，同（1）可证ADBAECAECBEP，BPEEAC9
21、0，PBEABD，BPEBAD，BP当点E在BA延长线上时，BE3，EAC90，CE，由BPEBAD，PB，综上所述，PB的长为或【点拨】本题通过旋转图形的引入，综合考查了三角形全等、三角形相似、直角三角形性质知识点.23（1）直线的解析式为；（2）的长为；的值是或；（3）当为等腰三角形时，点的坐标为或【分析】（1）根据点在直线的图像上，可求出点的坐标，再把点的坐标代入一次函数，即可求解；（2）当时，可得点的横坐标，分别代入直线中可求出点的坐标，由此即可求解；根据题意，设，用含的式子表示的长，根据绝对值的性质即可求解；（3）根据为等腰三角形，分类讨论：第一种情况：当时，为等腰三角形；第二种情况
22、：当时，为等腰三角形；根据等腰三角形的性质，相似三角形的判定和性质即可求解（1）解：点在直线的图像上，点的横坐标为，则，直线过点，点，解得，直线的解析式为（2）解：当时，即点的横坐标为，如图所示，点的横坐标均为，点在直线的图像上，即，点在直线的图像上，即，的长为；点在直线的图像上，点在直线的图像上，且点的横坐标相同，设，整理得，或，或，的值是或（3）解：直线与轴相交于点，令，则，则，点在线段上运动，点的横坐标的取值范围为，如图所示，过点作轴于点，在中，第一种情况：当时，为等腰三角形，如图所示，；第二种情况：当时，为等腰三角形，如图所示，过点作于点，为等腰三角形，是线段的中线，即，点，在中，在中，即，解得，；综上所述，当为等腰三角形时，点的坐标为或【点拨】本题主要考查一次函数与几何图形的综合，掌握待定系数法求一次函数解析式，两直线交点坐标的计算方法，等腰三角形的性质，相似三角形的判定和性质等知识的综合运用是解题的关键24书房水上部分的高度为【分析】由实际应用可得，再根据相似三角形的性质即可得到结论解：， ， ， ， ， ， 书房水上部分的高度为【点拨】本题考查了相似三角形的应用，熟练掌握相似三角形的性质是解题的关键
