1、四川省南充高级中学2020届高三数学4月月考试题 理（含解析）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合，则（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】先求出集合和，进而可求出.【详解】由恒成立，所以.又因为，所以.故选：A.【点睛】本题考查不等式的解法，考查集合的补集，属于基础题.2.已知（），其中为虚数单位，则复数在复平面内对应的点在（ ）A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限【答案】B【解析】【分析】根据复数的运算，结合复数相等，求得参数，写出复数在复平面内对应点的坐标即可判断.【详解
2、】因为，故可得，故可得，则复数在复平面内对应的点为，其位于第二象限.故选：B.【点睛】本题考查复数的运算，涉及复数相等求参数，以及复数在复平面内对应点的考查，属综合基础题.3.在正项等比数列中，若，则（ ）A. B. 2C. 4D. 16【答案】C【解析】【分析】结合等比数列的性质可得，即可求出，从而可求出.【详解】在正项等比数列中，由题意得，.故选：C.【点睛】本题考查等比中项的应用，考查学生的计算求解能力，属于基础题.4.展开式中x3的系数为（ ）A. 5B. 10C. 15D. 20【答案】C【解析】【分析】利用乘法分配律和二项式展开式通项公式，求得的系数.【详解】依题意，展开式中的项为
3、，所以的系数为.故选：C【点睛】本小题主要考查二项式展开式，考查乘法分配律，属于基础题.5.如图所示的程序框图的算法思路源于我国古代数学名著九章算术中的“更相减损术”.执行该程序框图，若输入的分别为135，180，则输出的（ ）A. 0B. 5C. 15D. 45【答案】D【解析】【分析】根据程序框图，列出算法循环的每一步，结合判断条件，可得输出的值.【详解】运行该程序，输入，则，且，可得，；则，且，可得，；则，且，可得，；则，退出循环，输出.故选：D.【点睛】本题考查利用程序框图计算输出结果，对于这类问题，通常利用框图列出算法的每一步，考查学生的计算求解能力，属于基础题.6.已知双曲线：，直
4、线与双曲线的两条渐近线的交点分别为，为坐标原点.若为正三角形，则双曲线的离心率为（ ）A. 2B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】由为正三角形，可得，从而可知双曲线的渐近线为，即可求出的值，再结合离心率可求出答案.【详解】依题意得为正三角形，所以，结合对称性可知，所以双曲线的渐近线为，即，所以离心率.故选：B.【点睛】本题考查双曲线的离心率，考查双曲线的渐近线，考查学生的计算求解能力，属于中档题.7.东京夏季奥运会推迟至2021年7月23日至8月8日举行，此次奥运会将设置4 100米男女混泳接力赛这一新的比赛项目，比赛的规则是：每个参赛国家派出2男2女共计4名运动员参加比赛，按照仰泳蛙
5、泳蝶泳自由泳的接力顺序，每种泳姿100米且由1名运动员完成，且每名运动员都要出场.若中国队确定了备战该项目的4名运动员名单，其中女运动员甲只能承担仰泳或者自由泳，男运动员乙只能承担蝶泳或者蛙泳，剩下2名运动员四种泳姿都可以承担，则中国队参赛的安排共有（ ）A. 144种B. 8种C. 24种D. 12种【答案】B【解析】【分析】由甲只能承担仰泳或者自由泳，可分为两种情况，分别讨论，进而利用分类加法计数原理，可求出答案.【详解】由题意，若甲承担仰泳，则乙运动员有种安排方法，其他两名运动员有种安排方法，共计种方法；若甲承担自由泳，则乙运动员有种安排方法，其他两名运动员有种安排方法，共计种方法.所以
6、中国队参赛共有种不同的安排方法.故选：B【点睛】本题考查排列组合，考查分类加法计数原理的应用，考查学生的推理能力，属于基础题.8.已知直三棱柱玉石，若将此玉石加工成一个球，则此球的最大表面积为（ ）.A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】由，可知为直角三角形，可求得的内切圆的半径，可知，从而将此玉石加工成一个球，此球是该三棱锥的内切球时，球的表面积最大，且内切球半径，求出该球的表面积即可.【详解】在中，则，所以为直角三角形，在中，设内切圆的半径为，则，即，因为，所以将此玉石加工成一个球，要求此球的最大表面积，此球应是直三棱的内切球，球的半径等于底面直角三角形内切圆的半径，即，所以该
7、球的最大表面积为.故选：C.【点睛】本题考查几何体的结构特征、内切球的表面积，考查学生的空间想象能力与计算求解能力，属于中档题.9.已知函数的部分图象如图所示，若将函数的图象向右平移个单位，得到函数的图象，则函数的单调递增区间为（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】由图象可知函数的周期，结合，可求出，再结合函数的图象经过点，可求出，即可得到函数的表达式，进而利用平移变换，可得到的表达式，然后求出单调递增区间即可.【详解】由图象可知，函数的周期，.又函数的图象经过点，又，.令，得，故的单调递增区间为.选择：D.【点睛】本题考查三角函数的解析式、图象的平移变换及单调递增区间，考查
8、学生的计算求解能力，属于中档题.10.定义在上的奇函数在上是增函数，若，则的大小关系为（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】易知在上是增函数，且，进而可判断出，结合函数的单调性可得，即可得出的大小关系.【详解】由是定义域为的奇函数，且在上是增函数，则在上是增函数，所以，又，易知，而，所以.所以，即.故选：A.【点睛】本题考查几个数的大小比较，考查函数的单调性与奇偶性的应用，考查学生的推理能力与计算能力，属于中档题.11.如图，在正方体中，点为的中点，点为上的动点，下列说法中：可能与平面平行；与所成的角的最大值为；与一定垂直； 与所成的最大角的正切值为.其中正确个数为（ ）A.
9、 2B. 3C. 4D. 5【答案】C【解析】【分析】结合空间中线线、线面、面面间的位置关系及正方体的性质，对题中5个说法逐个分析，可选出答案.【详解】对于，当为的中点时，因为且，所以四边形是平行四边形，所以，又因为平面，平面，所以平面，故正确；对于，当为的中点时， ，又，可得，此时与所成的角为，故错误；对于，由，且，可得平面，又平面，故，故正确；对于，当为的中点时，线段的长为两平行线之间的距离，且，故，即正确；对于，如图，点为中点，连结，因为，所以与所成角的正切值即为与所成角的正切值，为，点为上移动，始终为直角三角形，当与或重合时，取得最大值，此时与所成角的正切值最大，且与所成的角也最大，设
10、正方体边长为2，则，所以所成最大角的正切值为，故正确.所以正确的个数为4.故选：C.【点睛】本题考查空间中线线、线面、面面间位置关系及其应用，考查学生的空间想象能力与计算求解能力，属于中档题.12.已知是曲线：上任意一点，点是曲线：上任意一点，则的最小值是（ ）A. B. C. 2D. 【答案】D【解析】【分析】易知在点处切线方程为，且恒成立，在点处的切线方程为，且恒成立，由等于平行线与间的距离，从知.【详解】曲线：，求导得，易知在点处切线方程为.下面证明恒成立.构造函数，求导得，则时，单调递减；时，单调递增.故函数，即恒成立.又：，求导得，当时，且过点，故在点处的切线方程为.下面证明在上恒成
11、立.令，则，当时，单调递减；当时，单调递增，所以，即，则，即在上恒成立.因为，且平行线与之间的距离为，所以的最小值为.故选：D.【点睛】本题考查曲线的切线的应用，考查平行线间距离的计算，考查函数单调性的应用，考查学生的计算求解能力与推理论证能力，属于难题.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.已知向量，且，则向量在向量上的投影为_.【答案】【解析】【分析】由，可求出，进而由向量在上的投影为，求解即可.【详解】因为，解得，所以，所以向量在上的投影为.故答案为：.【点睛】本题考查平面向量的数量积，考查平面向量的投影，考查学生的计算求解能力，属于基础题.14.某省级示范校新校区计划今
12、年九月招生，学校决定面向全国招聘优秀老师，其中数学科今年计划招聘女教师a名，男教师b名.若a，b满足不等式组，若设该校今年计划招聘数学科教师最多z名，则_.【答案】13【解析】【分析】画出约束条件所表示的平面区域，作直线，并平移，结合，可求出的最大值.【详解】如图所示，画出约束条件所表示的平面区域，即可行域，作直线，并平移，结合，可知当，时，取得最大值.故，即.故答案为：13.【点睛】本题考查利用线性规划解决实际问题，考查数形结合的思想在解题中的应用，属于基础题.15.已知A，B是抛物线上的两个动点，为坐标原点且满足，直线与轴交于点，当时，直线斜率为_.【答案】【解析】【分析】设直线的方程为，
13、与抛物线方程联立，得到关于的一元二次方程，设，由，可得，结合韦达定理，可求出，由，可得，进而可求出的值，由，可求出直线的斜率.【详解】由题意，设直线的方程为，联立，得，设，则，因为，所以，即，即，因为，所以，所以，由，可得，所以，解得，所以，即.故答案：.【点睛】本题考查直线与抛物线位置关系的应用，考查韦达定理的应用，及平面向量数量积的应用，考查学生的计算求解能力，属于中档题.16.已知数列满足，且，若对，都有恒成立，则实数m的最小值为_.【答案】【解析】【分析】易知，可得，从而可得数列是等差数列，进而可求出及的表达式，从而可求出的表达式，然后求出的最小值，令，即可求出实数的范围，从而可求出实
14、数m最小值.【详解】，若存在，使得，则，即，显然与矛盾，.，是以1为首项，1为公差的等差数列；，对，都有恒成立，所以，因为时，易知在上是增函数，所以，即，解得，所以实数的最小值为.故答案：.【点睛】本题考查不等式恒成立问题，考查等差数列的证明及通项公式的求法，考查裂项相消求和法的应用，考查学生的计算求解能力与推理论证能力，属于难题.三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第1721题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共60分.17.在中，角所对的边分别为，.（1）若，求角；（2）若的面积为 ，求周长.【答案】（1）；
15、（2）周长为20或【解析】【分析】（1）由正弦定理，可求出，易知，从而可求出角；（2）由，可求出，进而可求出，结合余弦定理，可求出，即可求出的周长.【详解】（1）由已知条件可知，根据正弦定理可得，.（2）因为的面积为，且，.，.若，由余弦定理得，的周长为；若，由余弦定理得，的周长为.综上，周长为20或.【点睛】本题考查正弦、余弦定理在解三角形中的应用，考查三角形面积公式的应用，考查学生的计算求解能力，属于基础题.18.随着时代的发展和社会的进步，“农村淘宝”发展十分迅速，促进“农产品进城”和“消费品下乡”.“农产品进城”很好地解决了农产品与市场的对接问题，使农民收入逐步提高，生活水平得到改善，
16、农村从事网店经营的人收入逐步提高.西凤脐橙是四川省南充市的特产，因果实呈椭圆形、色泽橙红、果面光滑、无核、果肉脆嫩化渣、汁多味浓，深受人们的喜爱.为此小王开网店销售西凤脐橙，每月月初购进西凤脐橙，每售出1吨西凤脐橙获利润800元，未售出的西凤脐橙，每1吨亏损500元.经市场调研，根据以往的销售统计，得到一个月内西凤脐橙市场的需求量的频率分布直方图如图所示.小王为下一个月购进了100吨西凤脐橙，以x（单位：吨）表示下一个月内市场的需求量，y（单位：元）表示下一个月内经销西凤脐橙的销售利润.（1）将y表示为x的函数；（2）根据频率分布直方图估计小王的网店下一个月销售利润y不少于67000元的概率；
17、（3）在直方图的需求量分组中，以各组的区间中点值代表该组的各个值，需求量落入该区间的频率作为需求量取该区间中点值的概率，（例如：若需求量，则取，且的概率等于需求量落入的频率），求小王的网店下一个月销售利润y的分布列和数学期望.【答案】（1）；（2）0.7；（3）见解析，期望为70900元【解析】【分析】（1）分别写出和时，利润的表达式，进而利用分段函数可得到所求函数；（2）结合（1），令，分和两种情况，分布求出对应的范围，结合频率分布直方图，可求出所求概率；（3）由频率分布直方图知，需求量可取75，85，95，105，115，结合（1）可得利润y的所有取值，进而求出对应概率，可求得下一个月销售
18、利润y的分布列和数学期望.【详解】（1）依题意得，表示一个月内的市场需求量，表示一个月内经销西凤脐橙的利润，当时，.当时，.所以.（2）由题意令，当时，由，得，所以.当时，.综上可知，若利润不少于67000元，则.由频率分布直方图可知，需求量的频率为，所以小王的网店下一个月内的利润不少于67000元的概率的估计值为.（3）由频率分布直方图知，需求量可取75，85，95，105，115.当时，；当时，；当时，；当时，；当时，.所以，.故小王的网店下一个月内销售利润的分布列为：（元）475006050073500800000.10.20.30.4（元）.所以小王的网店下一个月内销售利润的期望为70
19、900元.【点睛】本题考查频率分布直方图，考查分段函数的应用，考查分布列及数学期望的求法，考查概率的计算，考查学生的计算求解能力，属于中档题.19.如图，在直角梯形中，为的中点，沿将折起，使得点到点位置，且，为的中点，是上的动点（与点，不重合）.（）证明：平面平面垂直；（）是否存在点，使得二面角的余弦值？若存在，确定点位置；若不存在，说明理由.【答案】（）见解析 （）存在，此时为的中点.【解析】【分析】（）证明平面，得到平面平面，故平面平面，平面，得到答案.（）假设存在点满足题意，过作于，平面，过作于，连接，则，过作于，连接，是二面角的平面角，设，计算得到答案.【详解】（），平面.又平面，平面
20、平面，而平面，平面平面，由，知，可知平面，又平面，平面平面.（）假设存在点满足题意，过作于，由知，易证平面，所以平面，过作于，连接，则（三垂线定理），即是二面角的平面角，不妨设，则，在中，设（），由得，即，得，依题意知，即，解得，此时为的中点.综上知，存在点，使得二面角的余弦值，此时为的中点.【点睛】本题考查了面面垂直，根据二面角确定点的位置，意在考查学生的空间想象能力和计算能力，也可以建立空间直角坐标系解得答案.20.已知椭圆的一个焦点与短轴的两端点组成一个正三角形的三个顶点，且椭圆经过点.（1）求椭圆的方程；（2）设直线与椭圆交于，两点，且以线段为直径的圆过椭圆的右顶点，求面积的最大值.【
21、答案】（1）；（2）【解析】【分析】（1）设椭圆的上下顶点为，左焦点为，则是正三角形，可得，进而将代入椭圆方程，可求出的值，即可得到椭圆的方程；（2）设直线的方程为，与椭圆方程联立，并消去得到关于的一元二次方程，设，由以线段为直径的圆过椭圆的右顶点，可得，将其展开并结合韦达定理，可求得，即直线恒过点，进而，结合韦达定理，求出最大值即可.【详解】（1）根据题意，设椭圆的上下顶点为，左焦点为，则是正三角形，所以，则椭圆方程为.将代入椭圆方程，可得，解得，.故椭圆的方程为.（2）由题意，设直线的方程为，联立，消去得.设，则有，因为以线段为直径的圆过椭圆的右顶点，所以，由，则，将，代入上式并整理得，则
22、，化简得，解得或，因为直线不过点，所以，故.所以直线恒过点.故，设，则在上单调递增，当时，所以面积的最大值为.【点睛】本题考查椭圆方程的求法，考查直线与椭圆位置关系的应用，考查三角形的面积的计算，考查学生分析问题、解决问题的能力，属于难题.21.已知函数.（1）求的单调递增区间； （2）若函数有两个极值点且恒成立，求实数的取值范围.【答案】（1）见解析；（2）【解析】【分析】（1）的定义域为，对求导，分、和三种情况，分别讨论，可求得函数的单调递增区间；（2）由（1）知有两个极值点时，等价于方程有两个不等正根，可求得，及，由恒成立，可得恒成立，构造函数，求导并判断单调性可知，令即可.【详解】（1
23、）的定义域为，求导得，令，得，若时，在上恒成立，单调递增；若时，方程的两根为，.当时，则时，故在单调递增；当时，则或时，故在和上单调递增.综上，当时，的单调递增区间为；当时，的单调递增区间为，；当时，的单调递增区间为.（2）由（1）知有两个极值点时，等价于方程的有两个不等正根，此时不等式恒成立，等价于对恒成立，可化为恒成立，令，则，在恒成立，在上单调递减，.故实数的取值范围是.【点睛】本题考查函数的单调性，考查利用导数解决不等式恒成立问题，考查学生的计算求解能力与推理能力，属于难题.（二）选考题：共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分.【选修44：坐标系
24、与参数方程】22.已知在平面直角坐标系中，曲线（t为参数），在以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴的极坐标系中，曲线的极坐标方程为.（1）写出曲线的极坐标方程和的直角坐标方程；（2）已知，曲线，相交于A，B两点,试求点M到弦AB的中点N的距离.【答案】（1），；（2）【解析】【分析】（1）消去参数得到，再利用极坐标公式化简得到答案.（2）根据直线过圆心得到，计算得到答案.【详解】（1）曲线（t为参数），消去参数t，得，其极坐标方程为，即.，即，所以曲线的直角坐标方程为.（2）由题意及（1）知直线过圆的圆心，则点N的坐标为，又，所以.【点睛】本题考查了参数方程，极坐标方程的转化，线段长度，意在考查学生的计算能力.【选修45：不等式选讲】23.选修4-5：不等式选讲设函数.（1）求不等式的解集；（2）已知关于的不等式在上有解，求实数的取值范围.【答案】(1) (2) 【解析】【分析】（1）零点分段去绝对值解不等式即可（2）由题在上有解，去绝对值分离变量a即可.【详解】（1）不等式，即等价于 或或 解得 ，所以原不等式的解集为； （2）当时，不等式，即，所以在上有解 即在上有解， 所以，【点睛】本题考查绝对值不等式解法，不等式有解求参数，熟记零点分段，熟练处理不等式有解问题是关键，是中档题.