1、专题39 重要的几何模型之中点模型（二）中点模型是初中数学中一类重要模型，它在不同的环境中起到的作用也不同，主要是结合三角形、四边形、圆的运用，在各类考试中都会出现中点问题，有时甚至会出现在压轴题当中，我们不妨称之为“中点模型”，它往往涉及到平分、平行、垂直等问题，因此探寻这类问题的解题规律对初中几何的学习有着十分重要的意义。常见的中点模型：垂直平分线模型；等腰三角形“三线合一”模型；“平行线+中点”构造全等或相似模型（与倍长中线法类似）；直角三角形斜边中点模型；中位线模型；中点四边形模型。本专题就中点模型的后三类模型进行梳理及对应试题分析，方便掌握。模型1：直角三角形斜边中线模型定理：直角三
2、角形斜边上的中线等于斜边的一半如图1，若AD为斜边上的中线，则：（1）；（2），为等腰三角形；（3）， 图1 图2拓展：如图2，在由两个直角三角形组成的图中，M为中点，则（1）；（2）模型运用条件：连斜边上的中线（出现斜边上的中点时）例1（2023江苏盐城统考中考真题）如图，在Rt中，为斜边上的中线，若，则 例2（2023江苏扬州统考中考真题）如图，在中，点D是的中点，过点D作，垂足为点E，连接，若，则 例3（2023河南新乡统考三模）如图，点O为菱形的对角线的交点，过点C作于点E，连接，若，则菱形的面积为 例4（2023上四川成都九年级校考期中）如图，四边形中，连接是的中点，连接若，则的面积
3、为 例5（2023江苏常州中考真题）如图，是的弦，点C是优弧上的动点（C不与A、B重合），垂足为H，点M是的中点若的半径是3，则长的最大值是（）A3B4C5D6例6（2023辽宁鞍山校考三模）如图，在中，将绕点C顺时针旋转得到，点A，B的对应点分别是D，E，点F是边的中点，连接，则下列说法不正确的是（）A B C D四边形是平行四边形模型2：中位线模型三角形的中位线定理：三角形的中位线平行于三角形的第三边，并且等于第三边的一半。如图，在三角形ABC的AB，AC边的中点分别为D、E，则DE/BC且，ADEABC。中点三角形：三角形三边中点的连线组成的三角形，其周长是原三角形周长的一半，面积是原三
4、角形面积的四分之一。模型运用条件：构造中位线（出现多个中点时）。例1（2023浙江金华统考中考真题）如图，把两根钢条的一个端点连在一起，点分别是的中点若，则该工件内槽宽的长为 例2（2023四川泸州统考中考真题）如图，的对角线，相交于点，的平分线与边相交于点，是中点，若，则的长为（）A1B2C3D4例3（2022湖北荆州统考中考真题）如图，已知矩形ABCD的边长分别为a，b，进行如下操作：第一次，顺次连接矩形ABCD各边的中点，得到四边形；第二次，顺次连接四边形各边的中点，得到四边形；如此反复操作下去，则第n次操作后，得到四边形的面积是（）ABCD例4（2022浙江台州统考中考真题）如图，在中
5、，分别为，的中点若的长为10，则的长为 例5（2023广西统考中考真题）如图，在边长为2的正方形中，E，F分别是上的动点，M，N分别是的中点，则的最大值为 例6（2023江苏镇江统考中考真题）【发现】如图1，有一张三角形纸片，小宏做如下操作：（1）取，的中点D，E，在边上作；（2）连接，分别过点D，N作，垂足为G，H；（3）将四边形剪下，绕点D旋转至四边形的位置，将四边形剪下，绕点E旋转至四边形的位置；（4）延长，交于点F小宏发现并证明了以下几个结论是正确的：点Q，A，T在一条直线上；四边形是矩形；四边形与的面积相等【任务1】请你对结论进行证明【任务2】如图2，在四边形中，P，Q分别是，的中点
6、，连接求证：【任务3】如图3，有一张四边形纸，小丽分别取，的中点P，Q，在边上作，连接，她仿照小宏的操作，将四边形分割、拼成了矩形若她拼成的矩形恰好是正方形，求的长模型3：中点四边形模型中点四边形：依次连接四边形四边中点连线的四边形得到中点四边形。中点四边形是中点模型中比较经典的应用。中点四边形不仅结合了常见的特殊四边形的性质，而且还会涉及中位线这一重要知识点，总体来说属于比较综合的几何模块。结论1：顺次连结任意四边形各边中点组成的四边形是平行四边形如图1，已知点M、N、P、Q是任意四边形ABCD各边中点，则四边形MNPQ为平行四边形。 图1 图2结论2：顺次连结对角线互相垂直四边形各边中点组
7、成的四边形是矩形（特例：筝形与菱形）如图2，已知点M、N、P、Q是四边形ABCD各边中点，ACDB，则四边形MNPQ为矩形。结论3：顺次连结对角线相等四边形各边中点组成的四边形是菱形（特例：等腰梯形与矩形）如图3，已知点M、N、P、Q是四边形ABCD各边中点，AC=DB，则四边形MNPQ为菱形。 图3 图4结论4：顺次连结对角线相等且垂直的四边形各边中点组成的四边形是正方形如图4，已知点M、N、P、Q是四边形ABCD各边中点，AC=DB，ACDB，则四边形MNPQ为正方形。推广与应用1）中点四边形的周长：中点四边形的周长等于原四边形对角线之和。2）中点四边形的面积：中点四边形的面积等于原四边形
8、面积的。例1（2023广东阳江统考二模）若顺次连接四边形各边的中点所得的四边形是菱形，则四边形的两条对角线，一定是（）A互相平分B互相平分且相等C互相垂直D相等例2（2023江苏南通统考二模）如图，四边形ABCD中，E，F分别是边AD，BC的中点，G，H分别是对角线BD，AC的中点，若四边形EGFH为矩形，则四边形ABCD需满足的条件是（）AACBD BACBD CABDC DABDC例3（2023辽宁抚顺中考模拟）如图，是四边形的对角线，点，分别是，的中点，点，分别是，的中点，连接，要使四边形为正方形，则需添加的条件是（ ）A， B， C， D，例4（2023云南昆明统考二模）如图，在任意四
9、边形中，分别是，上的点，对于四边形的形状，某班学生在一次数学活动课中，通过动手实践，探索出如下结论，其中错误的是（）A当，是各边中点，且时，四边形为菱形B当，是各边中点，且时，四边形为矩形C当，不是各边中点时，四边形可以为平行四边形D当，不是各边中点时，四边形不可能为菱形例5（2023内蒙古统考中考真题）如图，在菱形中，顺次连接菱形各边中点、，则四边形的周长为（）ABCD例6（2023上广东佛山九年级校考阶段练习）定义：对于一个四边形，我们把依次连接它的各边中点得到的新四边形叫做原四边形的“中点四边形”如果原四边形的中点四边形是个正方形，我们把这个原四边形叫做“中方四边形”【概念理解】：（1）
10、下列四边形中一定是“中方四边形”的是_A平行四边形B矩形C菱形D正方形【性质探究】：（2）如图1，四边形是“中方四边形”，观察图形，直接写出四边形的对角线，的关系；【问题解决】：（3）如图2以锐角的两边，为边长，分别向外侧作正方形和正方形，连接，求证：四边形是“中方四边形”；【拓展应用】：如图3，已知四边形是“中方四边形”，M，N分别是，的中点（4）试探索与的数量关系，并说明理由（5）若，求的最小值课后专项训练1（2023河北石家庄校考模拟预测）如图，在中，是边上的中线，若，则的值为（）ABCD2（2023黑龙江哈尔滨统考三模）如图，在中，点D、E分别是边、的中点，点F在边上运动（不与B、C重
11、合），交于点G，则下列等式错误的是（）ABCD3（2023海南海口校联考模拟预测）如图，在平行四边形中，对角线、相交于点，点是的延长线上一动点，连接交于点，若，则的长为（）ABCD4（2023河南周口校联考三模）如图，在边长为 的正方形中，连接， 分别是，的中点，连接，则的长为（）ABCD5（2023陕西统考中考真题）如图，在ABCD中，AB5，BC8E是边BC的中点，F是ABCD内一点，且BFC90连接AF并延长，交CD于点G若EFAB，则DG的长为（）ABC3D26（2023陕西西安校考模拟预测）如图，在菱形中，对角线与交于点O，若，点E是边的中点，则的长为（）A5B4C6D87（2022
12、四川德阳统考中考真题）如图，在四边形中，点，分别是，边上的中点，则下列结论一定正确的是（）A四边形是矩形B四边形的内角和小于四边形的内角和C四边形的周长等于四边形的对角线长度之和D四边形的面积等于四边形面积的8（2023下福建福州八年级校考阶段练习）如图，E，F，G，H分别是，的中点，且，下列结论：四边形是菱形；若，则；其中正确的个数是（）A1个B2个C3个D4个9（2023山东临沂统考一模）四边形的对角线，交点，点，分别为边， ，的中点有下列四个推断，对于任意四边形，四边形可能不是平行四边形；若，则四边形一定是菱形；若，则四边形一定是矩形；若四边形是菱形，则四边形也是菱形所有正确推断的序号是
13、 10（2023下江苏南京八年级校考期中）点A，B，C为平面内不在同一直线上的三点点D为平面内一个动点（不与A，B，C重合）线段，的中点分别为M，N，P，Q在点D的运动过程中，有下列结论：存在无数个中点四边形是平行四边形；存在无数个中点四边形是菱形；存在无数个中点四边形是矩形；存在一个中点四边形是正方形所有正确结论的序号是 11（2023广东深圳校考模拟预测）如图，在矩形中，为边上一动点，为中点，为上一点，则的最小值为 12（2023江西上饶校联考二模）在中，是的中点，是上的动点，若点到的一边的距离为2，则的长为 13（2023广东广州校考三模）如图，中，是的中线，是边上一动点，将沿折叠，点落
14、在点处，交线段于点，当是直角三角形时，则 14（2023陕西西安校考模拟预测）在四边形中，对角线平分，、分别为、中点，连接交于，交于，若，且，则= 15（2023河南周口校联考三模）如图，在矩形中，点E为的中点，将绕点D旋转得到，连接，G为的中点，连接，若， ，当时，的长为 16（2023安徽校联考二模）如图，在中，延长到点D，点E是的中点，交于点F，则的面积为 17（2023江苏南通统考一模）如图，是四边形的对角线，点在边上，连接交于，取的中点若，则的最小值为 18（2023浙江模拟预测）如图，已知，绕着斜边AB的中点D旋转，DE、DF分别交AC、BC所在的直线于点P、Q当为等腰三角形时，A
15、P的长为 19（2023下山西临汾八年级统考期中）综合与探究：如图1，四边形中，、分别是、的中点，顺次连接、(1)猜想四边形的形状是_（直接回答，不必说明理由）(2)如图2，在四边形内一点，使，其他条件不变，试探究四边形的形状，并说明理由(3)在（2）的条件下，求四边形的面积20（2023下河北石家庄八年级统考期中）四边形ABCD中，点E、F、G、H分别为AB、BC、CD、DA边的中点，顺次连接各边中点得到的新四边形EFGH称为中点四边形（1）我们知道：无论四边形ABCD怎样变化，它的中点四边形EFGH都是平行四边形特殊的：当对角线时，四边形ABCD的中点四边形为_形；当对角线时，四边形ABC
16、D的中点四边形是_形（2）如图：四边形ABCD中，已知，且，请利用（1）中的结论，判断四边形ABCD的中点四边形EFGH的形状并进行证明21（2023广东深圳深圳市海湾中学校考三模）类比探究【问题背景】已知D、E分别是的边和边上的点，且，则把绕着A逆时针方向旋转，连接和如图2，找出图中的另外一组相似三角形_若，则_【迁移应用】在中，D、E、M分别是、中点，连接和如图3，写出和的数量关系_；如图4，把绕着点A逆时针方向旋转，当D落在上时，连接和，取中点N，连接，若，求的长【创新应用】如图5：，是直角三角形，将绕着点A旋转，连接，F是上一点，且，连接，请直接写出的取值范围22（2022黑龙江齐齐哈
17、尔统考中考真题）综合与实践：数学是以数量关系和空间形式为主要研究对象的科学数学实践活动有利于我们在图形运动变化的过程中去发现其中的位置关系和数量关系，让我们在学习与探索中发现数学的美，体会数学实践活动带给我们的乐趣如图，在矩形ABCD中，点E、F、G分别为边BC、AB、AD的中点，连接EF、DF，H为DF的中点，连接GH将BEF绕点B旋转，线段DF、GH和CE的位置和长度也随之变化当BEF绕点B顺时针旋转90时，请解决下列问题：(1)图中，AB=BC，此时点E落在AB的延长线上，点F落在线段BC上，连接AF，猜想GH与CE之间的数量关系，并证明你的猜想；(2)图中，AB=2，BC=3，则 ；(
18、3)当AB=m , BC=n时 (4)在（2）的条件下，连接图中矩形的对角线AC，并沿对角线AC剪开，得ABC（如图)点M、N分别在AC、BC上，连接MN，将CMN沿 MN翻折，使点C的对应点P落在AB的延长线上，若PM平分APN，则CM长为 23（2023河南新乡联考二模）【教材呈现】如图是华师版九年级上册数学教材第77页的部分内容如图23.4.2，在中，点D、E分别是与的中点根据画出的图形，可以猜想：，且，对此，我们可以用演绎推理给出证明【定理证明】请根据教材内容，结合图1，写出证明过程【定理应用】如图2，在矩形中，点O为的中点，点M为边上一动点，点N为的中点，连接、（1）当时，与的数量关系是_，的值为_；（2）如图3，在平行四边形中，点E为边上一点，连接，点P在上，点G是的中点，连接交于点F，若点F为的中点，连接求的度数；直接写出的值
