1、专题37 因式分解一、十字相乘【学霸笔记】利用十字交叉线来分解系数，将二次三项式分解因式的方法叫做十字相乘法，主要分为以下两类：1.二次项系数是1的二次三项式的十字相乘法对首项是1的二次三项式的十字相乘法主要就是要能够运用公式进行因式分解.对于二次三项式，若存在则，即把常数项分解成两个数的积，且其和刚好等于一次项系数.技巧1：在对分解因式时，先从常数项c的正负入手：若，则、同号，若，则、异号，然后根据一次项系数的正负进一步确定、的符号；技巧2：若中的b、c为整数时，要先将c分解成两个整数的积，然后再考虑这两个整数和能否等于一次项系数（再分解时，要考虑分解的多种可能，直至凑对为止）.2.二次项系
2、数不为1的十字相乘在二次三项式中，如果二次项系数a可以分解成两个因数的积，常数项c也可以分解成两个因数的积，即，将、按照以下进行排列：按照斜线交叉相乘，再相加，得到，若它正好等于二次三项式一次项系数b，即，那么二次三项式就可以分解成两个因式与之积，即.PS：若二次项系数是负数，可以先提个负号，分解括号里面的二次三项式，最后结果不要忘记添上负号.【典例】若能分解成两个一次因式的积，则的值为（ ）A. 1B. C. D. 2【解答】C【解析】，可分解成或，分以下两种情况考虑：由可得m1，由可得，故选C.【巩固】求证：若是7的倍数，其中x、y都是整数，则是49的倍数.二、利用因式分解计算求值【典例】
3、已知x、y是二元一次方程组x-2y=32x+4y=5的解，则代数式x24y2的值为 【解答】解：x-2y=32x+4y=5，2得8y1，y=-18，把y=-18代入得2x-12=5，x=114，x24y2（114）2-4(-18)2=152，故答案为：152【巩固】设a=20042-2003(20042+2005)2003(20022-2001)-20023，b=20053-2004(20052+2006)2004(20032-2002)-20033，则a、b的大小关系是（）AabBabCabD无法确定三、利用因式分解证明【典例】求证：当n为整数时，多项式（2n+1）2（2n1）2一定能被8整
4、除【解答】证明：原式（2n+1+2n1）（2n+12n+1）24n8n，n为整数，8n被8整除，即多项式（2n+1）2（2n1）2一定能被8整除【巩固】（1）证明：199920002001200320042005+36是一个完全平方数；（2）证明：98n+478n+4能被8整除（n为正整数）巩固练习1已知x2m+n+2和xm+2n时，多项式x2+4x+6的值相等，且mn+20，则当x3（m+n+1）时，多项式x2+4x+6的值等于（）A7B9C3D52已知a+b+c3，a2+b2+c23，则a2017+b2018+c2019的值是 3已知：x28x30，则（x1）（x3）（x5）（x7）的值是
5、 4设实数a，b满足：3a210ab+8b2+5a10b0，求u9a2+72b+2的最小值5已知a2019x+2016，b2019x+2017，c2019x+2018，求多项式a2+b2+c2abbcac的值6已知n是正整数，且n416n2+100是质数，求n的值7设k为正整数，证明：（1）如果k是两个连续正整数的乘积，那么25k+6也是两个连续正整数的乘积；（2）如果25k+6是两个连续正整数的乘积，那么k也是两个连续正整数的乘积8已知关于x、y的二次式x2+7xy+ay25x45y24可分解为两个一次因式的乘积，求a的值9已知四个实数a，b，c，d，且ab，cd若四个关系式：a2+ac4，
6、b2+bc4，c2+ac8，d2+ad8同时成立，试求a，c的值10已知a，b，c为正数，满足如下两个条件：a+b+c32 b+c-abc+c+a-bca+a+b-cab=14是否存在以a，b，c为三边长的三角形？如果存在，求出三角形的最大内角11对于一个各个数位上的数字均不为零的三位正整数n，如果它的百位数字、十位数字、个位数字是由依次增加相同的非零数字组成，则称这个三位数为“递增数”，记为D（n），把这个“递增数”的百位数字与个位数字交换位置后，得到321，即E（123）321，规定F（n）=E(n)-D(n)198，如F（123）=321-123198=1（1）计算：F（159），F（246）；（2）若D（s）是百位数字为1的数，D（t）是个位数字为9的数，且满足F（s）+F（t）5，记k=2D(s)+D(t)9，求k的最大值
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