1、甘肃省兰州市第四片区2020-2021学年高一数学上学期期末考试试题（含解析）一、选择题（共12小题）1. 设全集为，集合，则（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】先求出，再利用交集的运算法则计算即可.【详解】因为，所以，所以故选：D2. 下列函数中，既是奇函数又在定义域上是增函数的为（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】选项，在定义域上是增函数，但是是非奇非偶函数，故错；选项，是偶函数，且在上是增函数，在上是减函数，故错；选项，是奇函数且在和上单调递减，故错；选项，是奇函数，且在上是增函数，故正确综上所述，故选3. 若经过,两点直线的倾斜角为,则A. B. C.
2、D. 【答案】C【解析】【分析】【详解】由题意可得，即，解得，故选C.4. 函数的零点所在的一个区间是（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】根据函数是连续函数，利用零点存在定理判断.【详解】函数是连续函数，由零点判定定理可知函数的零点在故选：B5. ，是空间两条不同的直线，是两个不同的平面，则下列命题中正确的是（ ）A. 若，则B. 若，则C. 若，则D. 若，则【答案】D【解析】【分析】由，可得m与n平行或相交或异面，即可判断A；画出图形可判断BC；由线面垂直性质可判断D.【详解】对于A，若，则m与n平行或相交或异面，故A错误；对于B，如图，但m与n不垂直，故B错误；对于C
3、，如图，满足，但与不垂直，故C错误；对于D，若，则，又，则，故D正确.故选：D.【点睛】本题考查线面关系，面面关系的有关命题的判断，属于基础题.6. 某几何体的三视图如图所示（其中俯视图中的曲线是圆弧），则该几何体的表面积为（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】由三视图可知该几何体为圆柱体的一半，结合表面积公式可得结果.【详解】该几何体为一个圆柱体的一半，所以表面积.【点睛】本题主要考查根据几何体的三视图求几何体的表面、体积问题，属于基础题型.7. 函数的零点个数是（ ）A. 0B. 1C. 2D. 3【答案】C【解析】【分析】函数的零点，即方程的根，也就是两个函数与的交点的
4、横坐标，画出两函数的图象，数形结合得答案【详解】由，得，作出函数与的图形如图，由图可知，函数的零点个数是2故选：C【点睛】本题考查函数零点与方程的根，与两个函数图象交点横坐标之间的转化关系，关键是准确作出函数的图象，考查数形结合思想、转化与化归思想的应用.8. 用与球心距离为1的平面去截面面积为，则球的体积为A. B. C. D. 【答案】D【解析】截面半径，所以，所以体积，故选D9. 在中，若使该三角形绕直线旋转一周，则所形成的几何体的体积是（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】分析：首先确定空间几何体的结构特征，然后结合体积公式整理计算即可求得最终结果.详解：如图所示，ABC中，
5、绕直线BC旋转一周，则所形成的几何体是以ACD为轴截面的圆锥中挖去了一个以ABD为轴截面的小圆锥后剩余的部分.由于，则，结合三棱锥的体积公式可得：以ACD为轴截面的圆锥的体积：，以ABD为轴截面的小圆锥的体积：，则所形成的几何体的体积是.本题选择A选项.点睛：本题主要考查椎体的体积公式，学生的空间想象能力，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.10. 如图，在正方体中，直线 与平面所成的角的大小是（ ）A. 90B. 60C. 45D. 30【答案】D【解析】【详解】【分析】试题分析：如图，连接,连接,因为,所以平面,所以即为所求角，并且,所以,故选D. 考点：线面角11. 直三棱柱中，若，则
6、异面直线与所成的角等于A. 30B. 45C. 60D. 90【答案】C【解析】【分析】【详解】本试题主要考查异面直线所成的角问题，考查空间想象与计算能力延长B1A1到E，使A1E=A1B1，连结AE，EC1，则AEA1B，EAC1或其补角即为所求，由已知条件可得AEC1为正三角形，EC1B为，故选C12. 已知正四棱锥的底面是边长为的正方形，若一个半径为的球与此四棱锥所有面都相切，则该四棱锥的高是（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】因为球O与正四棱锥所有面都相切，于是由等体积法知.故选B二、填空题（共4小题，每小题5分，共20分）13. 如果三个球的表面积之比是，那么它们的体积之
7、比是_【答案】【解析】三个球的表面积之比是，三个球的半径之比是，三个球的体积之比是14. 正方体ABCDA1B1C1D1 中，O是上底面ABCD的中心，若正方体的棱长为a，则三棱锥OAB1D1的体积为_【答案】【解析】试题分析：考点：棱锥体积15. 已知一个正方体的所有顶点在一个球面上，若这个正方体的表面积为18，则这个球的体积为_.【答案】【解析】设正方体边长 ，则 ，外接球直径为.【考点】 球【名师点睛】求多面体的外接球的面积和体积问题常用方法有（1）三条棱两两互相垂直时，可恢复为长方体，利用长方体的体对角线为外接球的直径，求出球的半径；（2）直棱柱的外接球可利用棱柱的上下底面平行，借助球
8、的对称性，球心为上下底面外接圆的圆心连线的中点，再根据勾股定理求球的半径；（3）如果设计几何体有两个面相交，可过两个面的外心分别作两个面的垂线，垂线的交点为几何体的球心，本题就是第三种方法.16. 定义在R上的奇函数，当时，则不等式的解集是_.【答案】【解析】【分析】当时，解不等式即可得结果，当时，根据为奇函数，可得在解析式，结合题意，即可得结果.【详解】当时，因为，所以，解得；当时，因为为奇函数，所以，所以当时，所以，解得.综上的解集是，故答案为：【点睛】本题考查函数的奇偶性的应用，对数的计算，考查计算化简的能力，属基础题.三解答题（共6小题，共70分）17. 已知：函数，（1）求函数f（x
9、）的定义域；判断函数f（x）的奇偶性并说明理由；（2）判断函数f（x）在（0，+）上的单调性，并用定义加以证明【答案】（1）（，0）（0，+），奇函数，理由见解析；（2）增函数，证明见解析【解析】【分析】（1）使函数表达式有意义即可求出定义域；由函数的奇偶性定义即可判断；（2）由函数单调性定义即可证明.详解】（1）定义域：（，0）（0，+），定义域关于原点对称，f（x）xxf（x），函数f（x）是奇函数；（2）判断：函数f（x）在（0，+）上是增函数，证明：任取x1，x2（0，+）且x1x2，f（x1）f（x2）（）（x1x2）（1），x1x2，x1，x2（0，+），x1x20，10，f（x1
10、）f（x2）0，f（x1）f（x2），函数f（x）在（0，+）上是增函数【点睛】本题考查了函数的定义域、奇偶性以及单调性，注意在判断单调性时，首先判断定义域是否关于原点对称，此题属于基础题.18. 如图，是正方形，直线底面，是的中点.（1）证明：直线平面；（2）求直线与平面所成角的正切值.【答案】（1）证明见解析；（2）；【解析】【分析】（1）连接，由三角形中位线可证得，根据线面平行判定定理可证得结论；（2）根据线面角定义可知所求角为，且，由长度关系可求得结果.【详解】（1）连接，交于，连接四边形为正方形 为中点，又为中点 平面，平面 平面（2）平面 直线与平面所成角即为 设，则 【点睛】本题
11、考查立体几何中线面平行关系的证明、直线与平面所成角的求解；证明线面平行关系常采用两种方法：（1）在平面中找到所证直线的平行线；（2）利用面面平行的性质证得线面平行.19. 如图，在四边形中，求四边形绕直线旋转一周所成几何体的表面积及体积.【答案】，.【解析】【分析】可得四边形绕直线旋转一周所成几何体为一个圆台挖去一个圆锥，分别求出表面积和体积即可.【详解】可得四边形绕直线旋转一周所成几何体为一个圆台挖去一个圆锥，则是等腰直角三角形，.20. 已知幂函数在为减函数，且对数函数满足（1）求、的解析式（2）若实数a满足，求实数a的取值范围【答案】（1）；（2）【解析】【分析】（1）根据幂函数的定义与
12、性质，列出不等式组，求出m的值即可.根据是对数函数，由，利用图象关于x=m的值求解.（2）根据的单调性，由求解.【详解】（1）因为幂函数在为减函数，解得，；又是对数函数，且，设，即，解得，；（2）实数a满足，且在上单调递增，解得；即，实数a的取值范围是21. 如图，在三棱锥PABC中，PAAB，PABC，ABBC，PAABBC2，D为线段AC的中点，E为线段PC上一点.(1)求证：PABD；(2)求证：平面BDE平面PAC；(3)当PA平面BDE时，求三棱锥EBCD的体积【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）【解析】试题分析：（）要证明线线垂直，一般转化为证明线面垂直；（）要证明面
13、面垂直，一般转化为证明线面垂直、线线垂直；（）由即可求解.试题解析:（I）因为，所以平面，又因为平面，所以.（II）因为，为中点，所以，由（I）知，所以平面.所以平面平面.（III）因为平面，平面平面，所以.因为为的中点，所以，.由（I）知，平面，所以平面.所以三棱锥的体积.【名师点睛】线线、线面的位置关系以及证明是高考的重点内容，而其中证明线面垂直又是重点和热点，要证明线面垂直，根据判定定理可转化为证明线与平面内的两条相交直线垂直，也可根据性质定理转化为证明面面垂直.22. 如图：在四棱锥中，底面是边长为2的正方形，其它四个侧面都是侧棱长为的等腰三角形.（1）求二面角的平面角的大小；（2）求
14、四棱锥的体积.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）取的中点，的中点，连， 由正方形的性质可得由等腰三角形的性质可得 ，是二面角的平面角 ，证明是正三角形即可得结果；（2）由（1）知平面 可得平面平面，过作, 则平面，利用棱锥的体积公式可得结果.【详解】（1）取的中点，的中点，连， 是边长为2的正方形 又 是二面角的平面角 在中，同理是正三角形 ，（2）由（1）知平面 所以平面平面过作, 则平面 ，所以，.【点睛】本题主要考查锥体的体积公式、二面角的求法，属于难题.求二面角的大小既能考查线线垂直关系，又能考查线面垂直关系，同时可以考查学生的计算能力，是高考命题的热点，求二面角的方法通常有两个思路：一是利用空间向量，建立坐标系，这种方法优点是思路清晰、方法明确，但是计算量较大；二是传统方法，求出二面角平面角的大小，这种解法的关键是找到平面角.
