专题35 最值问题篇（解析版）.docx

1、专题35 最值问题考点一：利用对称求最值问题知识回顾1. 基本知识点： 两点之间线段最短；点到直线的距离最短。2. 求最值问题的类型问题基本图形解题图形解题思路与步骤如图：如图，存在直线l以及直线外的点P和点Q，直线上存在一点M，使得MPMQ的值最小。解题思路：找点作对称解题步骤：从问题中确定定点与动点。作其中一个定点关于动点所在直线的对称点。通常情况下其中一个定点的关于动点所在直线的对称点存在，找出即可。连接对称点与另一个定点。与动点所在直线的交点即是动点的位置。然后解题。如图：如图，已知MON以及角内一点P，角的两边OM与ON上存在点A与点B，使得PAB的周长最小。如图：如图：已知AOB以

2、及角内两点点P与点Q，角的两边上分别存在M、N使得四边形PQMN的周长最小。微专题1（2022德州）如图，正方形ABCD的边长为6，点E在BC上，CE2点M是对角线BD上的一个动点，则EM+CM的最小值是（）A6B3C2D4【分析】要求ME+MC的最小值，ME、MC不能直接求，可考虑通过作辅助线转化ME，MC的值，从而找出其最小值求解【解答】解：如图，连接AE交BD于M点，A、C关于BD对称，AE就是ME+MC的最小值，正方形ABCD中，点E是BC上的一定点，且BEBCCE624，AB，AE2，ME+MC的最小值是2故选：C2（2022资阳）如图，正方形ABCD的对角线交于点O，点E是直线BC

3、上一动点若AB4，则AE+OE的最小值是（）A4B2+2C2D2【分析】本题为典型的将军饮马模型问题，需要通过轴对称，作点A关于直线BC的对称点A，再连接AO，运用两点之间线段最短得到AO为所求最小值，再运用勾股定理求线段AO的长度即可【解答】解：如图所示，作点A关于直线BC的对称点A，连接AO，其与BC的交点即为点E，再作OFAB交AB于点F，A与A关于BC对称，AEAE，AE+OEAE+OE，当且仅当A，O，E在同一条线上的时候和最小，如图所示，此时AE+OEAE+OEAO，正方形ABCD，点O为对角线的交点，A与A关于BC对称，ABBA4，FAFB+BA2+46，在RtOFA中，故选：D

4、3（2022菏泽）如图，在菱形ABCD中，AB2，ABC60，M是对角线BD上的一个动点，CFBF，则MA+MF的最小值为（）A1BCD2【分析】当MA+MF的值最小时，A、M、F三点共线，即求AF的长度，根据题意判断ABC为等边三角形，且F点为BC的中点，根据直角三角形的性质，求出AF的长度即可【解答】解：当A、M、F三点共线时，即当M点位于M时，MA+MF的值最小，由菱形的性质可知，ABBC，又ABC60，ABC为等边三角形，F点为BC的中点，AB2，AFBC，CFFB1，在RtABF中，AF故选：C4（2022广安）如图，菱形ABCD的边长为2，点P是对角线AC上的一个动点，点E、F分别

5、为边AD、DC的中点，则PE+PF的最小值是（）A2BC1.5D【分析】如图，取AB的中点T，连接PT，FT首先证明四边形ADFT是平行四边形，推出ADFT2，再证明PE+PFPT+PF，由PF+PTFT2，可得结论【解答】解：如图，取AB的中点T，连接PT，FT四边形ABCD是菱形，CDAB，CDAB，DFCF，ATTB，DFAT，DFAT，四边形ADFT是平行四边形，ADFT2，四边形ABCD是菱形，AEDE，ATTB，E，T关于AC对称，PEPT，PE+PFPT+PF，PF+PTFT2，PE+PF2，PE+PF的最小值为2故选：A5（2022赤峰）如图，菱形ABCD，点A、B、C、D均在

6、坐标轴上ABC120，点A（3，0），点E是CD的中点，点P是OC上的一动点，则PD+PE的最小值是（）A3B5C2D【分析】根据题意得，E点关于x轴的对称点是BC的中点E，连接DE交AC与点P，此时PD+PE有最小值，求出此时的最小值即可【解答】解：根据题意得，E点关于x轴的对称点是BC的中点E，连接DE交AC与点P，此时PD+PE有最小值为DE，四边形ABCD是菱形，ABC120，点A（3，0），OAOC3，DBC60，BCD是等边三角形，DEOC3，即PD+PE的最小值是3，故选：A6（2022安顺）已知正方形ABCD的边长为4，E为CD上一点，连接AE并延长交BC的延长线于点F，过点D

7、作DGAF，交AF于点H，交BF于点G，N为EF的中点，M为BD上一动点，分别连接MC，MN若，则MC+MN的最小值为 【分析】由正方形的性质，可得A点与C点关于BD对称，则有MN+CMMN+AMAN，所以当A、M、N三点共线时，MN+CM的值最小为AN，先证明DCGFCE，再由，可知，分别求出DE1，CE3，CF12，即可求出AN【解答】解：如图，连接AM，四边形ABCD是正方形，A点与C点关于BD对称，CMAM，MN+CMMN+AMAN，当A、M、N三点共线时，MN+CM的值最小，ADCF，DAEF，DAE+DEH90，DGAF，CDG+DEH90，DAECDG，CDGF，DCGFCE，正

8、方形边长为4，CF12，ADCF，DE1，CE3，在RtCEF中，EF2CE2+CF2，EF3，N是EF的中点，EN，在RtADE中，EA2AD2+DE2，AE，AN，MN+MC的最小值为，故答案为：，7（2022内江）如图，矩形ABCD中，AB6，AD4，点E、F分别是AB、DC上的动点，EFBC，则AF+CE的最小值是 【分析】延长BC到G，使CGEF，连接FG，则四边形EFGC是平行四边形，得CEFG，则AF+CEAF+FG，可知当点A、F、G三点共线时，AF+CE的值最小为AG，利用勾股定理求出AG的长即可【解答】解：延长BC到G，使CGEF，连接FG，EFCG，EFCG，四边形EFG

9、C是平行四边形，CEFG，AF+CEAF+FG，当点A、F、G三点共线时，AF+CE的值最小为AG，由勾股定理得，AG10，AF+CE的最小值为10，故答案为：108（2022贺州）如图，在矩形ABCD中，AB8，BC6，E，F分别是AD，AB的中点，ADC的平分线交AB于点G，点P是线段DG上的一个动点，则PEF的周长最小值为 【分析】如图，在DC上截取DT，使得DTDE，连接FT，过点T作THAB于点H利用勾股定理求出FT，EF5，证明PE+PFPF+PTFT，可得结论【解答】解：如图，在DC上截取DT，使得DTDE，连接FT，过点T作THAB于点H四边形ABCD是矩形，AADT90，AH

10、T90，四边形AHTD是矩形，AEDEAD3AFFBAB4，AHDT3，HFAFAH431，HTAD6，FT，DG平分ADC，DEDT，E、T关于DG对称，PEPT，PE+PFPF+PTFT，EF5，EFP的周长的最小值为5+，故答案为：5+9（2022娄底）菱形ABCD的边长为2，ABC45，点P、Q分别是BC、BD上的动点，CQ+PQ的最小值为 【分析】连接AQ，作AHBC于H，利用SAS证明ABQCBQ，得AQCQ，当点A、Q、P共线，AQ+PQ的最小值为AH的长，再求出AH的长即可【解答】解：连接AQ，作AHBC于H，四边形ABCD是菱形，ABCB，ABQCBQ，BQBQ，ABQCBQ

11、（SAS），AQCQ，当点A、Q、P共线，AQ+PQ的最小值为AH的长，AB2，ABC45，AH，CQ+PQ的最小值为，故答案为：10（2022眉山）如图，点P为矩形ABCD的对角线AC上一动点，点E为BC的中点，连接PE，PB，若AB4，BC4，则PE+PB的最小值为 【分析】作点B关于AC的对称点B，交AC于点F，连接BE交AC于点P，则PE+PB的最小值为BE的长度；然后求出BB和BE的长度，再利用勾股定理即可求出答案【解答】解：如图，作点B关于AC的对称点B，交AC于点F，连接BE交AC于点P，则PE+PB的最小值为BE的长度，四边形ABCD为矩形，ABCD4，ABC90，在RtABC

12、中，AB4，BC4，tanACB，ACB30，由对称的性质可知，BB2BF，BBAC，BFBC2，CBF60，BB2BF4，BEBF，CBF60，BEF是等边三角形，BEBFBF，BEB是直角三角形，BE6，PE+PB的最小值为6，故答案为：611（2022滨州）如图，在矩形ABCD中，AB5，AD10若点E是边AD上的一个动点，过点E作EFAC且分别交对角线AC、直线BC于点O、F，则在点E移动的过程中，AF+FE+EC的最小值为 【分析】如图，过点E作EHBC于点H利用相似三角形的性质求出FH，EF，设BFx，则DE10xx，因为EF是定值，所以AF+CE的值最小时，AF+EF+CE的值最

13、小，由AF+CE+，可知欲求AF+CE的最小值相当于在x轴上找一点P（x，0），使得P到A（0，5），B（，5）的距离和最小，如图1中，作点A关于x轴的对称点A，连接BA交x轴于点P，连接AP，此时PA+PB的值最小，最小值为线段AB的长，由此即可解决问题【解答】解：如图，过点E作EHBC于点H四边形ABCD是矩形，BBADBHE90，四边形ABHE是矩形，EHAB5，BCAD10，AC5，EFAC，COF90，EFH+ACB90，BAC+ACB90，EFHBAC，EHFCBA，FH，EF，设BFx，则DE10xx，EF是定值，AF+CE的值最小时，AF+EF+CE的值最小，AF+CE+，欲求

14、AF+CE的最小值相当于在x轴上找一点P（x，0），使得P到A（0，5），B（，5）的距离和最小，如图1中，作点A关于x轴的对称点A，连接BA交xz轴于点P，连接AP，此时PA+PB的值最小，最小值为线段AB的长，A（0，5），B（，5），AB，AF+CE的最小值为，AF+EF+CE的最小值为+解法二：过点C作CCEF，使得CCEF，连接CFEFCC，EFCC，四边形EFCC是平行四边形，ECFC，EFAC，ACCC，ACC90，AC，AF+ECAF+FCAC，AF+EF+CE的最小值为+故答案为：+12（2022自贡）如图，矩形ABCD中，AB4，BC2，G是AD的中点，线段EF在边AB上左

15、右滑动，若EF1，则GE+CF的最小值为 【分析】解法一：利用已知可以得出GC，EF长度不变，求出GE+CF最小时即可得出四边形CGEF周长的最小值，利用轴对称得出E，F位置，即可求出解法二：设AEx，则BF3x，根据勾股定理可得：EG+CF+，由勾股定理构建另一矩形EFGH，根据线段的性质：两点之间线段最短可得结论【解答】解：解法一：如图，作G关于AB的对称点G，在CD上截取CH1，然后连接HG交AB于E，在EB上截取EF1，此时GE+CF的值最小，CHEF1，CHEF，四边形EFCH是平行四边形，EHCF，GHEG+EHEG+CF，AB4，BCAD2，G为边AD的中点，DGAD+AG2+1

16、3，DH413，由勾股定理得：HG3，即GE+CF的最小值为3解法二：AGAD1，设AEx，则BFABEFAE4x13x，由勾股定理得：EG+CF+，如图，矩形EFGH中，EH3，GH2，GQ1，P为FG上一动点，设PGx，则FP3x，EP+PQ+，当E，P，Q三点共线时，EP+PQ最小，最小值是3，即EG+CF的最小值是3故答案为：313（2022泰州）如图，正方形ABCD的边长为2，E为与点D不重合的动点，以DE为一边作正方形DEFG设DEd1，点F、G与点C的距离分别为d2、d3，则d1+d2+d3的最小值为（）AB2C2D4【分析】连接AE，那么，AECG，所以这三个d的和就是AE+E

17、F+FC，所以大于等于AC，故当AEFC四点共线有最小值，最后求解，即可求出答案【解答】解：如图，连接AE，四边形DEFG是正方形，EDG90，EFDEDG，四边形ABCD是正方形，ADCD，ADC90，ADECDG，ADECDG（SAS），AECG，d1+d2+d3EF+CF+AE，点A，E，F，C在同一条线上时，EF+CF+AE最小，即d1+d2+d3最小，连接AC，d1+d2+d3最小值为AC，在RtABC中，ACAB2，d1+d2+d3最小AC2，故选：C14（2022安徽）已知点O是边长为6的等边ABC的中心，点P在ABC外，ABC，PAB，PBC，PCA的面积分别记为S0，S1，S

18、2，S3若S1+S2+S32S0，则线段OP长的最小值是（）ABC3D【分析】如图，不妨假设点P在AB的左侧，证明PAB的面积是定值，过点P作AB的平行线PM，连接CO延长CO交AB于点R，交PM于点T因为PAB的面积是定值，推出点P的运动轨迹是直线PM，求出OT的值，可得结论【解答】解：如图，不妨假设点P在AB的左侧，SPAB+SABCSPBC+SPAC，S1+S0S2+S3，S1+S2+S32S0，S1+S1+S02，S1S0，ABC是等边三角形，边长为6，S0629，S1，过点P作AB的平行线PM，连接CO延长CO交AB于点R，交PM于点TPAB的面积是定值，点P的运动轨迹是直线PM，O

19、是ABC的中心，CTAB，CTPM，ABRT，CR3，OR，RT，OTOR+TR，OPOT，OP的最小值为，当点P在区域时，同法可得OP的最小值为，如图，当点P在区域时，OP的最小值为，当点P在区域时，最小值为，故选：B考点二：利用确定圆心的位置求最短路径知识回顾1. 解题思路：通过确定圆心的位置，利用定点到圆心的距离加或减半径解题。2. 确定圆心的方法：方法：到定点的距离等于定长确定圆心。通常存在线段旋转。方法：直径所对的圆周角等于90。找90的角所对直线的中点。通常出现两个角相等。微专题15（2022泰安）如图，四边形ABCD为矩形，AB3，BC4，点P是线段BC上一动点，点M为线段AP上

20、一点，ADMBAP，则BM的最小值为（）ABCD2【分析】如图，取AD的中点O，连接OB，OM证明AMD90，推出OMAD2，点M的运动轨迹是以O为圆心，2为半径的O利用勾股定理求出OB，可得结论【解答】解：如图，取AD的中点O，连接OB，OM四边形ABCD是矩形，BAD90，ADBC4，BAP+DAM90，ADMBAP，ADM+DAM90，AMD90，AOOD2，OMAD2，点M的运动轨迹是以O为圆心，2为半径的OOB，BMOBOM2，BM的最小值为2故选：D16（2022黄石）如图，等边ABC中，AB10，点E为高AD上的一动点，以BE为边作等边BEF，连接DF，CF，则BCF ，FB+F

21、D的最小值为 【分析】首先证明BAEBCF（SAS），推出BAEBCF30，作点D关于CF的对称点G，连接CG，DG，BG，BG交CF于点F，连接DF，此时BF+DF的值最小，最小值线段BG的长【解答】解：如图，ABC是等边三角形，ADCB，BAEBAC30，BEF是等边三角形，EBFABC60，BEBF，ABECBF，在BAE和BCF中，BAEBCF（SAS），BAEBCF30，作点D关于CF的对称点G，连接CG，DG，BG，BG交CF的延长线于点F，连接DF，此时BF+DF的值最小，最小值线段BG的长DCFFCG30，DCG60，CDCG5，CDG是等边三角形，DBDCDG，CGB90，B

22、G5，BF+DF的最小值为5，故答案为：30，517（2022柳州）如图，在正方形ABCD中，AB4，G是BC的中点，点E是正方形内一个动点，且EG2，连接DE，将线段DE绕点D逆时针旋转90得到线段DF，连接CF，则线段CF长的最小值为 【分析】连接DG，将DG绕点D逆时针旋转90得DM，连接MG，CM，MF，作MHCD于H，利用SAS证明EDGDFM，得MFEG2，再说明DGCDMH（AAS），得CGDH2，MHCD4，求出CM的长，再利用三角形三边关系可得答案【解答】解：连接DG，将DG绕点D逆时针旋转90得DM，连接MG，CM，MF，作MHCD于H，EDFGDM，EDGFDM，DEDF

23、，DGDM，EDGMDF（SAS），MFEG2，GDCDMH，DCGDHM，DGDM，DGCMDH（AAS），CGDH2，MHCD4，CM2，CFCMMF，CF的最小值为22，故答案为：2218（2022无锡）ABC是边长为5的等边三角形，DCE是边长为3的等边三角形，直线BD与直线AE交于点F如图，若点D在ABC内，DBC20，则BAF ；现将DCE绕点C旋转1周，在这个旋转过程中，线段AF长度的最小值是 【分析】第一个问题证明BCDACE（SAS），推出DBCEAC20，可得BAFBAC+CAE80第二个问题，如图1中，设BF交AC于点T证明BCTAFT60，推出点F在ABC的外接圆上运动，当ABF最小时，AF的值最小，此时CDBD，求出AE，EF可得结论【解答】解：ACB，DEC都是等边三角形，ACCB，DCEC，ACBDCE60，BCDACE，在BCD和ACE中，BCDACE（SAS），DBCEAC20，BAC60，BAFBAC+CAE80如图1中，设BF交AC于点T同法可证BCDACE，CBDCAF，BTCATF，BCTAFT60，点F在ABC的外接圆上运动，当ABF最小时，AF的值最小，此时CDBD，BD4，AEBD4，BDCAEC90，CDCE，CFCF，RtCFDRtCFE（HL），DCFECF30，EFCEtan30，AF的最小值AEEF4，故答案为：80，4