1、专题31 三角形全等模型一、倍长中线【典例】如图，已知在ABC中，AD是BC边上的中线，F是AD上一点，延长BF交AC于E，且AEEF，求证：BFAC【解答】解：如图，延长FD到G，使DGDF，连接CGAD是BC边的中线，BDCD在BDF和CDG中BD=CDBDF=CDGDF=DG，BDFCDG（SAS），BFCG，BFDGAEEF，EAFEFABFD，GCAG，ACCG，BFAC【巩固】（1）方法呈现：如图：在ABC中，若AB6，AC4，点D为BC边的中点，求BC边上的中线AD的取值范围解决此问题可以用如下方法：延长AD到点E，使DEAD，再连接BE，可证ACDEBD，从而把AB、AC，2A
2、D集中在ABE中，利用三角形三边的关系即可判断中线AD的取值范围是 （直接写出范围即可）这种解决问题的方法我们称为“倍长中线法”；（2）探究应用：如图，在ABC中，点D是BC的中点，DEDF于点D，DE交AB于点E，DF交AC于点F，连接EF，判断BE+CF与EF的大小关系，并说明理由；（3）问题拓展：如图，在四边形ABCD中，ABCD，AF与DC的延长线交于点F，点E是BC的中点，若AE是BAF的角平分线，试探究线段AB、AF、CF之间的数量关系，并说明理由二、一线三等角模型【典例】通过对下面数学模型的研究学习，解决下列问题：【模型呈现】（1）如图1，BAD90，ABAD，过点B作BCAC于
3、点C，过点D作DEAC于点E由1+22+D90，得1D又ACBAED90，可以推理得到ABCDAE进而得到AC ，BC 我们把这个数学模型称为“K字”模型或“一线三等角”模型；【模型应用】（2）如图2，BADCAE90，ABAD，ACAE，连接BC，DE，且BCAF于点F，DE与直线AF交于点G求证：点G是DE的中点；如图3，在平面直角坐标系xOy中，点A的坐标为（2，6），点B为平面内任一点若AOB是以OA为斜边的等腰直角三角形，请直接写出点B的坐标【解答】（1）解：1+22+D90，1D，在ABC和DAE中，1=DACB=DEAAB=AD，ABCDAE（SAS），ACDE，BCAE，故答案
4、为：DE，AE；（2）证明：如图2，作DMAF于M，ENAF于N，BCAF，BFAAMD90，BAD90，1+21+B90，B2，在ABF与DAM中，BFAAMD，BFA=AMDB=2AB=AD，ABFDAM（AAS），AFDM，同理，AFEN，ENDM，DMAF，ENAF，GMDGNE90，在DMG与ENG中，DMG=ENGDGM=EGNDM=EN，DMGENG（AAS），DGEG，即点G是DE的中点；解：如图3，ABO和ABO是以OA为斜边的等腰直角三角形，过点B作DCx轴于点C，过点A作DEy轴于点E，两直线交于点D，则四边形OCDE为矩形，DEOC，OECD，由可知，ADBBCO，AD
5、BC，BDOC，BDOCDEAD+2BC+2，BC+BC+26，解得，BC2，OC4，点B的坐标为（4，2），同理，点B的坐标为（2，4），综上所述，AOB是以OA为斜边的等腰直角三角形，点B的坐标为（4，2）或（2，4）【巩固】如图1，ABC中，ABAC，BAC90，AE是过A点的一条直线，且B、C在DE的异侧，BDAE于D，CEAE于E（1）ABD与CAE全等吗？BD与DE+CE相等吗？请说明理由（2）如图2，若直线AE绕点A旋转到图2所示的位置（BDCE）时，其余条件不变，则BD与DE、CE的关系如何？（只需回答结论）（3）如图3，若直线AE绕点A旋转到图3所示的位置（BDCE）时，其余
6、条件不变，则BD与DE、CE的关系如何？（只需回答结论）三、角含半角模型【典例】正方形ABCD中，E，F分别是边BC，CD上的点，且EAF45，将ABE绕点A逆时针旋转90，得到ADG求证：EFBE+DF【解答】证明：如图，由题意得：ABEADG，BAEDAG，AEAG，BEDG；FGBE+DF；BAE+FADFAD+DAG；EAF45，BAD90，BAE+FAD904545，FAG45，EAFFAG；在EAF与GAF中，AE=AGEAF=GAFAF=AF，EAFGAF（SAS），EFFG，而FGBE+DF，EFBE+DF【巩固】如图1，四边形ABCD中，BCCD，BCD120，E、F分别为A
7、B、AD上的点，ECFA60求证：EFBE+DF；如图2，将图1中点E移至BA延长线上，点F移至AD延长线上，其余条件不变，写出EF和BE，DF之间的数量关系并证明；如图3，将图1中点E移至AB延长线上，点F移至DA延长线上，其余条件不变，直接写出EF和BE，DF之间的数量关系为 巩固练习1如图，ABAC，ADAE，BACDAE，125，230，连接BE，点D恰好在BE上，则3（）A60B55C50D无法计算2如图，在ABC与AEF中，ABAE，BCEF，ABCAEF，EAB40，AB交EF于点D，连接EB下列结论：FAC40；AFAC；EFB40；ADAC，正确的个数为（）A1个B2个C3个
8、D4个3如图，在ABC中，ADBC于点D，BEAC于点E，AD，BE交于点F，ADCBDF，若BD4，CD2，则ABC的面积为（）A24B18C12D84如图，方格中ABC的三个顶点分别在正方形的顶点（格点上），这样的三角形叫格点三角形，图中可以画出与ABC全等的格点三角形共有（）个（不含ABC）A28B29C30D315如图，在ABC中，ABC45，CDAB于点D，BE平分ABC，且BEAC于点E，与CD相交于点F，DHBC于点H，交BE于点G下列结论：BDCD；AD+CFBD；CE=12BF；AECF其中正确的是 （填上正确结论的序号）6如图，在ABC中，点D为BC的中点，点E为AB上一点
9、，DFDE交AC于F，延长ED至G，使EDGD（1）求证：BECG；（2）求证：BE+CFEF7如图，点C在线段AB上，DAAB，EBAB，FCAB，且DABC，EBAC，FCAB，AFB51，求DFE度数8如图1，在RtABC中，BAC90，ABAC，D为ABC内一点，将线段AD绕点A逆时针旋转90得到AE，连接CE，BD的延长线与CE交于点F（1）求证：BDCE，BDCE；（2）如图2，连接AF，DC，已知BDC135，判断AF与DC的位置关系，并说明理由9如图（1），AB4cm，ACAB，BDAB，ACBD3cm点P在线段AB上以1cm/s的速度由点A向点B运动，同时，点Q在线段BD上由
10、点B向点D运动它们运动的时间为t（s）（1）若点Q的运动速度与点P的运动速度相等，当t1时，ACP与BPQ是否全等，并判断此时线段PC和线段PQ的位置关系，请分别说明理由；（2）如图（2），将图（1）中的“ACAB，BDAB”改为“CABDBA60”，其他条件不变设点Q的运动速度为xcm/s，是否存在实数x，使得ACP与BPQ全等？若存在，求出相应的x、t的值；若不存在，请说明理由10如图，等腰RtABC中，ABC90，点A、B分别在坐标轴上（1）如图1，若C点的横坐标为5，求B点的坐标；（2）如图2，若BC交x轴于点M，过C点作CDBC交y轴于D点求证：BCCDMC；（3）如图3，若点A的坐标为（4，0），点B是y轴正半轴上的一个动点，分别以OB、AB为直角边在第一、第二象限作等腰RtOBF，等腰RtABE，连接EF交y轴于P点，当点B在y轴上运动时，PB的长度是否发生改变？若不变，求出PB的值；若变化，求PB的取值范围
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