1、中国人民大学附属中学2.5 直线与圆锥曲线我们知道，直线与圆的位置关系有相交、相切、相离三种情况，可以分别由直线与圆有两个不同点公共点、有一个公共点或没有公共点来确定。现在，我们采用同样的方法来研究直线与椭圆、双曲线、抛物线的位置关系。直线与圆的公共点问题可以转化为它们的方程所组成的方程组求解的问题，从而用代数方法来判断直线与圆的位置关系。例1已知直线l：y=2x+m，椭圆C：试问当m取何值时，直线l与椭圆C（1）有两个不重合的公共点；（2）有且仅有一个公共点；（3）没有公共点。22142xy解：直线l与椭圆C的方程联立，得方程组222 1 42yxmxy222 1 42yxmxy将代入，整理
2、得9x2+8mx+2m24=0 这个关于x的一元二次方程的判别式=(8m)249(2m24)=8m2+144，（1）由0，得3 m3 .22于是当3 m3 时，方程有两个不同的实数根，可知原方程组有两个不同的实数解，这时直线l与椭圆C有两个不同的公共点。22（2）由=0，得m=3 ，也就是当m=3 时，方程有两个相同的实数根，可知原方程组有两个相同的实数解，这时直线l与椭圆C有两个互相重合的公共点，它们重合为一点，即直线l与椭圆C有且只有一个公共点；22（3）由0，得m3 ，从而当m3 时，方程没有实数根，可知原方程组没有实数解，这时直线l与椭圆C没有公共点。2222例2已知点A(0，2)和抛
3、物线C：y2=6x，求过点A且与抛物线相切的直线l的方程。解：设直线l的方程为y=kx+2，这个方程与抛物线的方程联立，得方程组226ykxyx当k=0时，由方程组得6x=4，可知此时直线l与抛物线相交于点(，0)，32当k0时，由方程组消去x，得方程ky26y+12=0 关于y的方程的判别式=3648k，由=0，得k=，可知此时直线l与抛物线C有两个重合的公共点，即它们相切，43直线l的方程为y=x+2，即3x4y+8=0.43因此直线l的方程是3x4y+8=0或x=0.圆锥曲线的弦：直线与圆锥曲线相交有两个交点时，这条直线上以这两个交点为端点的线段叫做圆锥曲线的弦，线段的长就是弦长。简单的
4、说，圆锥曲线的弦就是就是连接圆锥曲线上任意两点所得的线段。例3已知斜率为2的直线经过椭圆的右焦点F2，与椭圆相交于A、B两点，求弦AB的长。22154xy解：椭圆的右焦点F2的坐标为(1，0)，直线AB的方程为y=2(x1)，由方程组222(1)154yxxy解得2112503243xxyy 或得弦AB的长因此A(0，2)，B(，)，35432221215 5|()()3ABxxyy例4有一椭圆形溜冰场，长轴长100m，短轴长60m，现在要在这溜冰场上划定一个各顶点都在溜冰场边界上的矩形区域，且使这区域的面积最大，应把这个矩形的顶点定位在何处？这时矩形的周长是多少?解：分别以椭圆的长轴、短轴各
5、自所在的直线为x轴和y轴，建立平面直角坐标系xOy，设矩形ABCD的各顶点都在椭圆上，因为矩形各顶点都在椭圆上，而矩形是中心对称图形，又是以过对称中心且垂直其一边的直线为对称轴的对称图形，所以矩形ABCD关于原点及x轴、y轴都对称。已知椭圆的长轴长2a=100(m)。短轴长2b=60(m)，则椭圆的方程为222215030 xy设顶点A的坐标为(x0，y0)，x00，y00，则22002215030 xy得222200230(50)50yx根据矩形ABCD的对称性，可知它的面积S=4x0y0，2222220000230(50)50 x yxx由于2422002224220230(50)5030
6、5050()5024xxx因此，当时，220502x 达到最大值，同时S=4x0y0也达到最大值.2200 x y这时x0=25 ,y0=15 ，22矩形ABCD的周长为4(x0+y0)=160 .2因此在溜冰场椭圆的短轴两侧分别画一条与短轴平行且与短轴相距25 (约35.35m)的直线，这两条直线与椭圆的交点就是划定的矩形区域的顶点；2这个矩形的周长为160 m约等于226.27m.2例5已知双曲线的中心在原点，过右焦点F(2，0)作斜率为的直线，交双曲线于M、N两点，且|MN|=4，求双曲线的方程。35解：设所求的双曲线的方程为(a0，b0)，12222 byax由右焦点F(2，0)知c=2，b2=4a2，222214xyaa即由直线的点斜式知MN的方程为3(2)5yx联立方程组得22223(2)514xxaa整理得(208a2)x2+12a2x+5a432a2=0，设M(x1，y1)，N(x2，y2)，则有24212122212532,208208aaaxxx xaa所以2212123|1()()45MNxxx x242222812532()445208208aaaaa 解这个方程得a2=1，所以b2=3，因此所求的双曲线的方程是2213yx