1、单元综合检测(八)一、选择题(每小题5分,共50分)1.若点A(4,3),B(5,a),C(6,5)三点共线,则a的值为()A.2B.-2C.-4D.41.D【解析】由已知可得kAC=1,kAB=a-3.由于A,B,C三点共线,所以a-3=1,即a=4.2.(2015哈尔滨模拟)函数y=asin x-bcos x的一条对称轴为x=,则直线l:ax-by+c=0的倾斜角为()A.45B.50C.135D.1502.C【解析】由函数y=f(x)=asin x-bcos x的一条对称轴为x=知,f(0)=f,即-b=a,则直线l的斜率为-1,直线l的倾斜角为135.3.(2015上海奉贤区期末)已知
2、圆C:x2+y2=r2与直线3x-4y+10=0相切,则圆C的半径r=()A.B.2C.2D.43.B【解析】因为直线与圆相切,故d=2=r.4.设双曲线=1的虚轴长为2,焦距为2,则此双曲线的离心率为()A.B.C.2D.4.B【解析】由已知知b=1,c=,所以a=,所以e=.5.已知抛物线y2=2px(p0)的准线与圆(x-3)2+y2=16相切,则p的值为()A.4B.8C.2D.25.D【解析】抛物线y2=2px(p0)的准线方程为x=-,由题意,直线x=-与圆(x-3)2+y2=16相切,所以-=3-4,解得p=2.6.(2015西北师大附中三诊)过x轴正半轴上一点M(x0,0),作
3、圆C:x2+(y-)2=1的两条切线,切点分别为A,B,若|AB|,则x0的最小值为()A.1B.C.2D.36.B【解析】如图,过点M作圆C的两条切线MA,MB,切点为A,B,连接CA,CB,则CAM,CBM为两个全等的直角三角形,BCM=ACM,又CA=CB,CNAB.当|AB|取最小值时,|AN|=,由圆C:x2+(y-)2=1的半径为1,知|CA|=1,|CN|=.在直角三角形CAM中,由射影定理得|CA|2=|CM|CN|,|CM|=2,在直角三角形COM中,|OC|=,|OM|=.x0的最小值为.7.(2015江西八校联考)已知圆C1:x2+2cx+y2=0,圆C2:x2-2cx+
4、y2=0,椭圆C: =1,若圆C1,C2都在椭圆内,则椭圆离心率的范围是()A.B.C.D.7.B【解析】将圆C1化为标准形式程为(x+c)2+y2=c2,圆C2化为标准形式为(x-c)2+y2=c2,因为圆C1,C2都在椭圆内,所以(c,0)到(a,0)的距离大于等于c,则|c-a|c,解得a2c,即e.8.如图,过抛物线y2=2px(p0)的焦点F作倾斜角为60的直线与抛物线交于A,B两点,则|AF|BF|=()A.31B.32C.21D.31或138.A【解析】由题意可知直线AB:y=.联立y2=2px,得3x2-5px+p2=0.设点A(x1,y1),B(x2,y2),得x1+x2=,
5、又x1x2=,可得x1=,x2=,则=3.9.设F1,F2分别是椭圆=1(ab0)的左、右焦点,若在直线x=上存在点P,使PF1F2为等腰三角形,则椭圆的离心率的取值范围是()A.B.C.D.9.C【解析】由已知设点P,得F1P的中点Q的坐标为,=-1,y2=0,2c2-b20,即2c2-(a2-c2)=3c2-a20,e2=,又0e1,e0,b0)的左、右焦点分别为F1,F2,抛物线C2:y2=2px(p0)的焦点与双曲线C1的一个焦点重合,C1与C2在第一象限相交于点P,且|F1F2|=|PF2|,则双曲线的离心率为()A.2+B.C. +1D.2+10.C【解析】由双曲线C1的焦点与抛物
6、线C2的一个焦点重合,得c=.由点P在抛物线C2:y2=2px(p0)上,且|F1F2|=|PF2|=2c=p,则点P到抛物线的准线x=的距离等于p,则xP=,又由点P在抛物线y2=2px上,则可得P,又p=2c,点P在双曲线C1上,故b2c2-4a2c2=a2b2,将b2=c2-a2,e=代入并化简,可得e=+1.二、填空题(每小题5分,共20分)11.(2015马鞍山质检)圆C:x2+y2+2x+2y+1=0被直线l:x+y+1=0截得的劣弧长为.11.【解析】圆C的标准方程为(x+1)2+(y+1)2=1,圆心C(-1,-1)到直线l:x+y+1=0的距离为,所以弦长为,该弦所对的圆心角
7、是90,则劣弧长为.12.(2015扬州月考)已知倾斜角为60的直线l通过抛物线x2=4y的焦点,且与抛物线相交于A,B两点,则弦AB的长为.12.16【解析】设点A(x1,y1),B(x2,y2),则依题意得焦点F(0,1),准线方程是y=-1,直线l:y=x+1,由消去x得y2-14y+1=0,则y1+y2=14,|AB|=|AF|+|BF|=(y1+1)+(y2+1)=(y1+y2)+2=16.13.(2015淮安调研)已知圆O:x2+y2=1.若直线y=x+2上总存在点P,使得过点P的圆O的两条切线互相垂直,则实数k的最小值为.13.1【解析】若直线y=x+2上总存在点P,使得过点P的
8、圆O的两条切线互相垂直,此时OP=,即圆心O到直线y=x+2的距离不大于,即,k+12,解得k1,则实数k的最小值为1.14.如图,正方形ABCD和正方形DEFG的边长分别为a,b(a0)经过C,F两点,则=.14.1+【解析】由题可得C,F,把C代入抛物线方程可得p=a,则有y2=2ax,把F代入并整理可得b2=a2+2ab,即有-1=0,解得=1+ (负值1-舍去).三、解答题(共50分)15.(12分)(2015江西八校联考)已知椭圆C: =1(ab0)的离心率e=,且过点M.(1)求椭圆C的方程;(2)椭圆C长轴两端点分别为A,B,点P为椭圆上异于A,B的动点,定直线x=4与直线PA,
9、PB分别交于M,N两点,又E(7,0),过E,M,N三点的圆是否过x轴上不同于点E的定点?若经过,求出定点坐标;若不经过,请说明理由.15.【解析】(1)由已知可得解得a2=4,b2=3,故椭圆C的方程为=1.(2)不妨设A点为椭圆的左顶点,设直线PA,PB的斜率分别为k1,k2,P(x0,y0),则k1k2=-,则PA:y=k1(x+2),则M(4,6k1),PB:y=k2(x-2),则N(4,2k2),又kEM=-=-2k1,kEN=-,kEMkEN=-1.设圆过定点F(m,0),则=-1,则m=1或m=7(舍).故过E,M,N三点的圆是以MN为直径的圆,且过定点F(1,0).16.(12
10、分)如图,在平面直角坐标系xOy中,椭圆C: =1(ab0)的左、右顶点分别为A1(-,0),A2(,0),若直线3x+4y+5=0上有且仅有一个点M,使得F1MF2=90.(1)求椭圆C的标准方程;(2)设圆T的圆心T(0,t)在x轴上方,且圆T经过椭圆C的两焦点.点P,Q分别为椭圆C和圆T上的动点.当=0时,PQ取得最大值为,求实数t的值.16.【解析】(1)因为椭圆C: =1(ab0)的左、右顶点分别为A1(-,0),A2(,0),所以a2=2.又因为直线3x+4y+5=0上恰存在一个点M,使得F1MF2=90,即以原点O为圆心,半径为r=OF1=c作圆O,使得圆O与直线3x+4y+5=
11、0相切即可.又圆心O到直线3x+4y+5=0的距离d=1,所以c=1,b2=a2-c2=1,所以椭圆C的标准方程为+y2=1.(2)设P(x0,y0),因为点P在椭圆上,所以有=1,且-1y01.因为圆T的圆心T(0,t)在x轴上方,且圆T经过椭圆C的两焦点.所以圆T的方程为x2+(y-t)2=t2+1(t0),由=0,得PQ2=PT2-QT2=+(y0-t)2-(t2+1),又=1,所以PQ2=-(y0+t)2+t2+1,当-t-1,即t1时,当y0=-1时,PQ取得最大值,因为PQ的最大值为,所以,解得t=,又t1,故舍去.当-t-1,即0t1时,当y0=-t时,PQ取最大值,所以,解得t
12、2=.又0tb0)和圆C2:x2+y2=b2,已知椭圆C1过点,焦距为2.(1)求椭圆C1的方程;(2)椭圆C1的下顶点为E,过坐标原点O且与坐标轴不重合的任意直线l与圆C2相交于点A,B,直线EA,EB与椭圆C1的另一个交点分别是点P,M.设PM的斜率为k1,直线l的斜率为k2,求的值.17.【解析】(1)由已知可得解得a2=2,b2=1,椭圆C1的方程为+y2=1.(2)由题意知直线PE,ME的斜率存在且不为0,PEEM,不妨设直线PE的斜率为k(k0),则PE:y=kx-1,由P.同理可得M,则k1=,由A.k2=,.18.(13分)已知ABC的三个顶点A(-1,0),B(1,0),C(
13、3,2),其外接圆为H.(1)若直线l过点C,且被H截得的弦长为2,求直线l的方程;(2)对于线段BH上的任意一点P,若在以C为圆心的圆上都存在不同的两点M,N,使得点M是线段PN的中点,求C的半径r的取值范围.18.【解析】(1)线段AB的垂直平分线方程为x=0,线段BC的垂直平分线方程为x+y-3=0,所以ABC外接圆圆心H(0,3),半径为,圆H的方程为x2+(y-3)2=10.设圆心H到直线l的距离为d,因为直线l被圆H截得的弦长为2,所以d=3.当直线l垂直于x轴时,显然符合题意,即x=3为所求;当直线l不垂直于x轴时,设直线方程为y-2=k(x-3),则=3,解得k=,此时直线l的
14、方程为4x-3y-6=0.综上,直线l的方程为x=3或4x-3y-6=0.(2)直线BH的方程为3x+y-3=0,设P(m,n)(0m1),N(x,y),因为点M是线段PN的中点,所以M,又M,N都在半径为r的圆C上,所以即因为上述关于x,y的方程组有解,即以(3,2)为圆心,r为半径的圆与以(6-m,4-n)为圆心,2r为半径的圆有公共点,所以(2r-r)2(3-6+m)2+(2-4+n)2(r+2r)2,又3m+n-3=0,所以r210m2-12m+109r2对任意m0,1恒成立.而f(m)=10m2-12m+10在0,1上的值域为,所以r2且109r2.又线段BH与圆C无公共点,所以(m-3)2+(3-3m-2)2r2对任意m0,1恒成立,即r2.故圆C的半径r的取值范围为.
