1、专题30 三角形中的边和角一、三角形三边的不等关系【典例】周长为P的三角形中，最长边m的取值范围是（）Ap3mp2Bp3mp2Cp3mp2Dp3mp2【解答】解：三边相等时，m=p3，三边不相等时，最长边mp2，所以，p3mp2故选：A【巩固】已知等腰三角形ABC（1）若其两边长分别为2和3，求ABC的周长；（2）若一腰上的中线将此三角形的周长分为9和18，求ABC的腰长【解答】解：（1）当2为底时，三角形的三边为3，2，3，可以构成三角形，周长为：3+2+38；当3为底时，三角形的三边为3，2，2，可以构成三角形，周长为：3+2+27ABC的周长为8或7（2）设三角形的腰为x，如图：ABC是
2、等腰三角形，ABAC，BD是AC边上的中线，则有AB+AD9或AB+AD18，分下面两种情况解a：x+12x9，x6，三边长分别为6，6，15，6+615，不符合三角形的三边关系，舍去；b：x+12x18，x12，三边长分别为12，12，3综上可知：这个等腰三角形的腰长为12二、三角形的三线【学霸笔记】1.三角形的高：从顶点向它所对的边画垂线段，则顶点到垂足间的线段叫作这条边上的高，且三条高或其延长线相交于同一点，这个点叫作垂心；2.三角形的中线：顶点与对边中点间的线段，且三角形三条中线相交于同一点，这个点叫作重心；3.三角形的角平分线：顶点与角平分线和对边交点间的线段，三角形的三条角平分线相
3、交于同一点，这个点叫作内心.【典例】如图，AD为ABC的中线，BE为ABD的中线若ABC的面积为60，BD5，则BDE的BD边上的高是（）A3B4C5D6【解答】解：AD是ABC的中线，SABC60，SABD=12SABC=126030，BE是ABD的中线，SBDE=12SABD=123015，设BD边上的高为h，BD5，12BDh=125h15，h6故选：D【巩固】如图，ABC三边的中线AD，BE，CF的公共点为G，且AG：GD2：1，若SABC12，则图中阴影部分的面积是【解答】解：ABC的三条中线AD、BE，CF交于点G，AG：GD2：1，AECE，SCGESAGE=13SACF，SBG
4、FSBGD=13SBCF，SACFSBCF=12SABC=12126，SCGE=13SACF=1362，SBGF=13SBCF=1362，S阴影SCGE+SBGF4故答案为：4三、三角形的角平分线【典例】如图，BD和CE分别是ABC和ACB的平分线且DBCECB31求ABC和ACB的度数，它们相等吗？（写出简单过程）【解答】解：相等，由BD与CE分别是ABC和ACB的平分线，可得ABDDBC=12ABC，ACEECB=12ACB，由DBCECB31，可得ABCACB62，ABCACB【巩固】如图，点D是ABC的角平分线上的一点，过点D作EFBC，DGAB（1）若ADBD，BED130，求BAD
5、的度数（2）DO是DEG的角平分线吗？请说明理由【解答】解：（1）EFBC，BEF130，EBC50，AEF50，又BD平分EBC，EBDBDEDBC25，又ADBD，BDA90，BAD902565；（2）DO是DEG的角平分线，理由：EFBC，DGAB，四边形BGDE是平行四边形，EFBC，EDBDBG，BD平分ABC，EBDGBD，EBDEDB，EBED，四边形BGDE是菱形，BD平分EDG，DO是DEG的角平分线巩固练习1已知三角形三边长a，b，c都是整数，并且abc，若b7，那么这样的三角形共有（）个A21B28C49D14【解答】解：根据已知，得a的可能值有1，2，3，4，5，6，7
6、根据三角形的三边关系，得当a1时，则c不存在；当a2时，则c8；当a3时，则c8，9；当a4时，则c8，9，10；当a5时，则c8，9，10，11；当a6时，则c8，9，10，11，12；当a7时，则c8，9，10，11，12，13则这样的三角形有21个故选：A2如图，在ABC中，C90，点D在AC上，DEAB，若CDE160，则B的度数为（）A40B50C60D70【解答】解：CDE160，ADE20，DEAB，AADE20，B180AC180209070故选：D3如图，点D，E分别是ABC的边AC，AB上的点，直线BD与CE交于点F，已知CDF，BFE，BCF的面积分别是3，4，5，则四边
7、形AEFD的面积是 【解答】解：如图，连接AF，CDF，BFE，BCF的面积分别是3，4，5，SABFSADF=BFDF，SBFCSCDF=BFDF=53，SBCFSBEF=54，SAEF+4SAFD=SAEF+SBFESAFD=BFFD=SBCFSCDF=53，SAFD+3SAEF=SAFD+SCDFSAEF=CFFE=SBCFSBEF=54，解得：SAEF=10813，SAFD=9613四边形AEFD的面积是SAEF+SADF=10813+9613=20413，故答案为：204134如图，在锐角ABC中，BACC，BD、BE分别是ABC的高和角平分线，点F在CA的延长线上，FHBE交BD于
8、点G，交BC于点H，下列结论：DBEF；2BEFBAF+C；F=12（BACC）；BGHABD+EBH其中正确的是 （填序号）【解答】解：BDFD，FGD+F90，FHBE，BGH+DBE90，FGDBGH，DBEF，故正确；BE平分ABC，ABECBE，BEFCBE+C，2BEFABC+2C，BAFABC+C，2BEFBAF+C，故正确；ABD90BACDBEABEABDABE90+BACCBDDBE90+BAC，CBD90C，DBEBACCDBE，由得，DBEF，FBACCDBE，2FBACC，F=12（BACC），故正确；BGHABD+BTG，CBEABE，BETH，BTG+ABEBHG
9、+CBE90，BTGBHT，显然CBE与BHT不一定相等，故错误，故答案为：5当三角形中一个内角是另外一个内角的12时，我们称此三角形为“友好三角形”，为友好角如果一个“友好三角形”中有一个内角为54，那么这个“友好三角形”的“友好角”的度数为 【解答】解：54角是，则友好角度数为54；54角是，则1254，所以，友好角108；54角既不是也不是，则+54180，所以，+12+54180，解得84，综上所述，友好角度数为54或84或108故答案为：54或84或1086在ABC中，B90，AB8cm，BC6cm，点D是AB的中点，点P从A点出发，沿线段AD以每秒2cm的速度运动到B当点P的运动时
10、间t 秒时，PCD的面积为6cm2【解答】解：点D是AB的中点，ADBD=12AB4cm，又SPCD6cm2，即12PDBC6，解得PD2cm，当点P在点D左侧时，PD2cm，则APADPD422（cm），此时点P的运动时间t1=AP2=1s；当点P在点D右侧时，PD2cm，则APAD+PD4+26（cm），此时点P的运动时间t2=AP2=3s，综上，点P的运动时间为1或3s故答案为：1或37如图1，AD是ABC的角平分线，E是AD延长线上一点，EBC90-12ABC，ECB90-12ACB（1）若BAC78，求BEC的度数；（2）若ABC42，则AEC度，若ACB64，则AEB度；（3）如图
11、2若CF平分ACB交AD于点F，求证：CFCE【解答】解：（1）BAC78，ABC+ACB180BAC102EBC90-12ABC，ECB90-12ACB，BEC180EBCECB180（90-12ABC）（90-12ACB）1809090-12（ABC+ACB）51（2）ABC+BAEBDE，AEC+DCEBDE，ABC+BAEAEC+DCE，AECABC+BAEDCEAD是ABC的角平分线，BAE=12BACECB90-12ACB，ABC42，AECABC+12BAC（90-12ACB）42+12BAC90+12ACB=12（BAC+ACB）+48=12（180ABC）+4821ACB+D
12、ACEDC，EBC+BEAEDC，ACB+DACEBC+BEA，AEBACB+DACEBCAD是ABC的角平分线，DAC=12BACEBC90-12ABC，ACB64，AEBACB+12BAC（90-12ABC）6490+12BAC+12ABC6490+12（180ACB）32故答案为：21，32；（3）CF平分ACB，FCB=12ACBEBC90-12ABC，FCEFCB+ECB=12ABC+（90-12ABC）90，CFCE8如图所示，在ABC中，D是AB边上的一点，E是AC延长线上的一点，连接DE交BC于点M，ADE的平分线与ABC的平分线交于点P，ACB的平分线与DEC的平分线交于点Q
13、，求证：PQ【解答】证明：ADM是BDM 的外角，BMDADMABMADE的平分线与ABC的平分线交于点P，ADP=12ADM，ABP=12ABM，ADP是BDP的外角，PADPABP=12ADM-12ABM=12（ADMABM）=12BMD，同理可得，Q=12CME，又BMDCME，PQ9（1）如图1，BAD的平分线AE与BCD的平分线CE交于点E，ABC60，ADC140，则AEC的大小是 ；（2）如图2，BAD的平分线AE与BCD的平分线CE交于点E，ABC，ADC（），求AEC的大小；（用含，的代数式表示）（3）如图3，在ABC中，ACB，ABC（），AD是ABC的角平分线，点E是AD
14、延长线上一点，作EFBC与点F，请问AEF-的值是否发生变化？若不变，求出其值；若改变，请说明理由【解答】解：（1）如图，延长CD，与AB交于点H，过点E作射线BF，ADCDAH+AHD，ADC140，DAH+AHD140，AHDABC+BCD，ABC+BCD+DAH140，ABC60，BCD+DAH80，BAD的平分线AE与BCD的平分线CE交于点E，BCE+BAE40，CEFCBE+BCE，AEFABE+BAE，AECCEF+AEFBCE+CBE+ABE+AEFABC+BCE+BAE60+40100，故答案为：100；（2）过点C作射线AG，如图，BCDBCG+DCGB+BAC+D+DAC
15、+BAD，BAD的平分线AE与BCD的平分线CE交于点E，BAF=12BAD，BCE=12BCD=12+12+12BAD，BFEB+BAF+12BAD，AECBFEBCE+12BAD（12+12+12BAD）=12(-)；（3）AEF-的值不变，恒为12理由如下：ACB，ABC，BAC180，AD是ABC的角平分线，BADCAD=12BAC90-12-12，EDFB+BAD+90-12-12=90-12+12，EFBC，AEF90EDF=12（），AEF-=12，故AEF-的值不变，恒为1210在RtABC中，C90，D，E分别是ABC边AC，BC上的点，P是一动点，令PDA1，PEB2，DP
16、Ea（1）若点P在线段AB上，如图1，且a40，则1+2 ；（2）若点P在边AB上运动，如图2，则a，1，2之间的关系为 ；（3）若点P运动到边AB的延长线上，如图3，则a，1，2之间有何关系？猜想并说明理由；（4）若点P运动到ABC外部，如图4，则a，1，2之间的关系为 【解答】解：（1）1+CDP180，CDP1801，同理：CEP1802，根据四边形的内角和定理得，CDP+DPE+CEP+C360，C90，1801+1802+90360，1+290+90+40140，故答案为：130；（2）1+CDP180，CDP1801，同理：CEP1802，根据四边形的内角和定理得，CDP+DPE+
17、CEP+C360，C90，1801+1802+90360，1+290+；故答案为：1+290+；（3）如图3，1+CDF180，CDF1801，CFD2+，根据三角形的内角和得，C+CDF+CFD180，90+1801+2+180，190+2+，故答案为：190+2+；（4）如图4，PGDEGC，2CEGC90PGD，PGD290，PDG1801，根据三角形的内角和得，DPG+PDG+PDG180，+1801+290180，290+1故答案是：290+111如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为（0，4），OC4OB（1）若ABC的面积为20，分别求点B、C的坐标；（2）如图，向x轴正方向移动
18、点B，使ABCACB90，作BAC的平分线AD交x轴于点D，求ADO的度数；（3）如图，在（2）的条件下，线段AD上有一动点Q，作DQPAQM，它们的边分别交y、x轴于点P、M两点，作FMGDMQ，试判断FM与PQ的位置关系，并说明理由【解答】解：（1）设OBa，则OC4a，BC5a，由题意得，125a420，解得，a2，则OB2，则OC8，点B的坐标为（2，0），点C的坐标为（8，0）；（2）ABCACB90，ABC90+ACB，ACB+90+ACB+BAC180，BAC180902ACB902ACB，AD是BAC的平分线，DAC=12BAC45ACB，则ADODAC+ACB45ACB+ACB45；（3）FMPQ，理由如下：延长FM交QP于H，设DQPAQMx，FMGDMQy，则DMHFMGy，AQMQMD+QDM，即xy+45，1180DQPADO90y，则2190y，2+DMHy+90y90，MHQ90，即FMPQ
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