1、专题3.8 弧长和扇形面积（知识解读）【学习目标】1. 理解弧长和扇形米娜及公式，并会计算弧长和扇形的面积2. 经历探索弧长及扇形面积计算公式的过程，感受转化、类比的数学思想、培养学生的探索能力；3. 通过弧长及扇形面积公式解决实际问题，让学生体验数学与人类生活的密切联系。【知识点梳理】考点1 扇形的弧长和面积计算扇形：（1）弧长公式：； （2）扇形面积公式： ：圆心角 ：扇形多对应的圆的半径 ：扇形弧长 ：扇形面积注意：(1)对于弧长公式，关键是要理解1的圆心角所对的弧长是圆周长的，即；(2)公式中的表示1圆心角的倍数，故和180都不带单位，R为弧所在圆的半径；(3)弧长公式所涉及的三个量：
2、弧长、圆心角度数、弧所在圆的半径，知道其中的两个量就可以求出第三个量.(4)对于扇形面积公式，关键要理解圆心角是1的扇形面积是圆面积的，即；(5)在扇形面积公式中，涉及三个量：扇形面积S、扇形半径R、扇形的圆心角，知道其中的两个量就可以求出第三个量.考点2 扇形与圆柱、圆锥之间联系1、圆柱： （1）圆柱侧面展开图 =（2） 圆柱的体积：2、圆锥侧面展开图（1）=（2）圆锥的体积：注意：圆锥的底周长=扇形的弧长（）【典例分析】【考点1 弧长的计算】【典例1】（2021梧州）若扇形的半径为3，圆心角为60，则此扇形的弧长是（）ABCD2【变式1-1】（2022香洲区一模）如图，圆形挂钟分针针尖到圆
3、心的距离为10cm，经过20分钟，分针针尖转过的弧长是（）ABCD【变式1-2】（2021道里区一模）已知扇形的弧长为2，半径为8，则此扇形的圆心角为 度【变式1-3】（2021葫芦岛模拟）如图，O的直径AB2，C是半圆上任意一点，BCD60，则劣弧AD的长为 【典例2】（2021娄底）如图所示的扇形中，已知OA20，AC30，40，则【变式2-1】（2021秋奉贤区期末）如图，一把扇形的纸扇完全打开后，两竹条外侧OA和OB的夹角为120，OA长为12cm，贴纸的部分CA长为6cm，则贴纸部分的周长为（）cmA6+12B36+12C18+12D12+12【变式2-2】（2021河南）如图所示的
4、网格中，每个小正方形的边长均为1，点A，B，D均在小正方形的顶点上，且点B，C在上，BAC22.5，则的长为 【典例3】（2020枣庄）在RtABC中，C90，BC4cm，AC3cm把ABC绕点A顺时针旋转90后，得到AB1C1，如图所示，则点B所走过的路径长为（）A5cmBcmCcmD5cm【变式3-1】（2020乌兰察布）如图，一块含有30角的直角三角板ABC，在水平桌面上绕点C按顺时针方向旋转到ABC的位置若BC15cm，那么顶点A从开始到结束所经过的路径长为（）A10cmB30cmC15cmD20cm【变式3-2】（2020禹会区一模）如图，一块等边三角形的木板，边长为1，现将木板沿水
5、平线翻滚，那么B点从开始至结束所走过的路径长度为 【变式3-3】（2020营口）在如图的方格纸中，每个小方格都是边长为1个单位的正方形，ABC的三个顶点都在格点上（每个小方格的顶点叫格点）（1）画出ABC向下平移3个单位后的A1B1C1；（2）画出ABC绕点O顺时针旋转90后的A2B2C2，并求点A旋转到A2所经过的路线长【考点2 扇形面积的计算】【典例4】（2020福建）一个扇形的圆心角是90，半径为4，则这个扇形的面积为（结果保留）【变式4-1】（2022启东市模拟）一个扇形的弧长为6，圆心角为120，则此扇形的面积为 【变式4-2】（2021凉山州）将ABC绕点B逆时针旋转到ABC，使A
6、、B、C在同一直线上，若BCA90，BAC30，AB4cm，则图中阴影部分面积为cm2【典例5】（2021秋南昌县期末）如图，AB是O的直径，点C是O上一点，连接BC，AC，点E是BC的中点，连结并延长OE交圆于点D（1）求证：ODAC（2）若DE2，BE2，求阴影部分的面积【变式5】（2022石家庄模拟）如图，RtABC中ACB90，AC4，且BCAC，以边AC为直径的O交斜边AB于D，AD2，点E为AC左侧半圆上一点，连接AE，DE，CD（1）求AED的度数（2）求DB的长（3）求图中阴影部分的面积【考点3 与圆柱、圆锥有关的计算】【典例6】（2020兰州）如图，现有一圆心角为90，半径为
7、8cm的扇形纸片，用它恰好围成一个圆锥的侧面（接缝忽略不计），则该圆锥底面圆的半径为（）A4cmB3cmC2cmD1cm【变式6-1】（2020海南）一个圆锥的侧面展开图形是半径为8cm，圆心角为120的扇形，则此圆锥的底面半径为（）A cmBcmC3cmDcm【变式6-2】（2021山西）如图，有一圆心角为120，半径长为6cm的扇形，若将OA、OB重合后围成一圆锥侧面，那么圆锥的高是（）A4cmBcmC2cmD2cm【变式6-3】（2021呼和浩特）已知圆锥的母线长为10，高为8，则该圆锥的侧面展开图（扇形）的弧长为 （用含的代数式表示），圆心角为 度专题3.8 正多边形和圆（知识解读）【
8、学习目标】4. 理解弧长和扇形米娜及公式，并会计算弧长和扇形的面积5. 经历探索弧长及扇形面积计算公式的过程，感受转化、类比的数学思想、培养学生的探索能力；6. 通过弧长及扇形面积公式解决实际问题，让学生体验数学与人类生活的密切联系。【知识点梳理】考点1 扇形的弧长和面积计算扇形：（1）弧长公式：； （2）扇形面积公式： ：圆心角 ：扇形多对应的圆的半径 ：扇形弧长 ：扇形面积注意：(1)对于弧长公式，关键是要理解1的圆心角所对的弧长是圆周长的，即；(2)公式中的表示1圆心角的倍数，故和180都不带单位，R为弧所在圆的半径；(3)弧长公式所涉及的三个量：弧长、圆心角度数、弧所在圆的半径，知道其
9、中的两个量就可以求出第三个量.(4)对于扇形面积公式，关键要理解圆心角是1的扇形面积是圆面积的，即；(5)在扇形面积公式中，涉及三个量：扇形面积S、扇形半径R、扇形的圆心角，知道其中的两个量就可以求出第三个量.考点2 扇形与圆柱、圆锥之间联系1、圆柱： （1）圆柱侧面展开图 =（3） 圆柱的体积：2、圆锥侧面展开图（1）=（2）圆锥的体积：注意：圆锥的底周长=扇形的弧长（）【典例分析】【考点1 弧长的计算】【典例1】（2021梧州）若扇形的半径为3，圆心角为60，则此扇形的弧长是（）ABCD2【答案】B【解答】解：一个扇形的半径长为3，且圆心角为60，此扇形的弧长为故选：B【变式1-1】（20
10、22香洲区一模）如图，圆形挂钟分针针尖到圆心的距离为10cm，经过20分钟，分针针尖转过的弧长是（）ABCD【答案】B【解答】解：l（cm）故选：B【变式1-2】（2021道里区一模）已知扇形的弧长为2，半径为8，则此扇形的圆心角为度【答案】45【解答】解：设圆心角为n由题意，2，解得n45，故答案为：45【变式1-3】（2021葫芦岛模拟）如图，O的直径AB2，C是半圆上任意一点，BCD60，则劣弧AD的长为 【答案】【解答】解：由圆周角定理得，BOD2BCD120，AOD180BOD60，劣弧AD的长，故答案为：【典例2】（2021娄底）如图所示的扇形中，已知OA20，AC30，40，则【
11、答案】【解答】解：设AOBn由题意40，n360，100，故答案为：100【变式2-1】（2021秋奉贤区期末）如图，一把扇形的纸扇完全打开后，两竹条外侧OA和OB的夹角为120，OA长为12cm，贴纸的部分CA长为6cm，则贴纸部分的周长为（）cmA6+12B36+12C18+12D12+12【答案】D【解答】解：OA的长为12cm，贴纸部分的宽AC为6cm，OCOAAC6cm，又OA和OB的夹角为120，4，8，贴纸部分的周长为4+8+2612+12故选：D【变式2-2】（2021河南）如图所示的网格中，每个小正方形的边长均为1，点A，B，D均在小正方形的顶点上，且点B，C在上，BAC22
12、.5，则的长为 【答案】【解答】解：如图，圆心为O，连接OA，OB，OC，ODOAOBOD5，BOC2BAC45，的长故答案为：【典例3】（2020枣庄）在RtABC中，C90，BC4cm，AC3cm把ABC绕点A顺时针旋转90后，得到AB1C1，如图所示，则点B所走过的路径长为（）A5cmBcmCcmD5cm【答案】C【解答】解：在RtABC中，AB5，lABcm，故点B所经过的路程为cm故选：C【变式3-1】（2020乌兰察布）如图，一块含有30角的直角三角板ABC，在水平桌面上绕点C按顺时针方向旋转到ABC的位置若BC15cm，那么顶点A从开始到结束所经过的路径长为（）A10cmB30c
13、mC15cmD20cm【答案】D【解答】解：20cm，故选：D【变式3-2】（2020禹会区一模）如图，一块等边三角形的木板，边长为1，现将木板沿水平线翻滚，那么B点从开始至结束所走过的路径长度为 【答案】【解答】解：从图中发现：B点从开始至结束所走过的路径长度为两段弧长即第一段，第二段故B点从开始至结束所走过的路径长度+【变式3-3】（2020营口）在如图的方格纸中，每个小方格都是边长为1个单位的正方形，ABC的三个顶点都在格点上（每个小方格的顶点叫格点）（1）画出ABC向下平移3个单位后的A1B1C1；（2）画出ABC绕点O顺时针旋转90后的A2B2C2，并求点A旋转到A2所经过的路线长【
14、答案】（1）略 （2）【解答】解：（1）画出A1B1C1；（2）画出A2B2C2连接OA，OA2，点A旋转到A2所经过的路线长为【考点2 扇形面积的计算】【典例4】（2020福建）一个扇形的圆心角是90，半径为4，则这个扇形的面积为（结果保留）【答案】4【解答】解：S扇形4，故答案为：4【变式4-1】（2022启东市模拟）一个扇形的弧长为6，圆心角为120，则此扇形的面积为 【答案】27【解答】解：一个扇形的弧长为6，圆心角为120，6，解得，r9，扇形的面积是：27，故答案为：27【变式4-2】（2021凉山州）将ABC绕点B逆时针旋转到ABC，使A、B、C在同一直线上，若BCA90，BAC
15、30，AB4cm，则图中阴影部分面积为cm2【答案】4【解答】解：BCA90，BAC30，AB4cm，BC2，AC2，ABA120，CBC120，阴影部分面积（SABC+S扇形BAA）S扇形BCCSABC（4222）4cm2故答案为：4【典例5】（2021秋南昌县期末）如图，AB是O的直径，点C是O上一点，连接BC，AC，点E是BC的中点，连结并延长OE交圆于点D（1）求证：ODAC（2）若DE2，BE2，求阴影部分的面积【解答】（1）证明：AB是O的直径，C90，点E是BC的中点，BECE，ODBC，BEO90，CBEO，ODAC；（2）解：连接OC，设OBODr，DE2，OEr2，BE2+
16、OE2BO2，（2）2+（r2）2r2，解得：r4，OBOD4，OE2，OEOB，B30，AOC60，阴影部分的面积S扇形AOCSAOC424【变式5】（2022石家庄模拟）如图，RtABC中ACB90，AC4，且BCAC，以边AC为直径的O交斜边AB于D，AD2，点E为AC左侧半圆上一点，连接AE，DE，CD（1）求AED的度数（2）求DB的长（3）求图中阴影部分的面积【解答】解：（1）AC为直径，ADC90，AD2，AC4，sinACD，ACD30，AEDACD30；（2）ADC90，ACD30，CAB60，在RtABC中，cosCAB，即cos60AB8，DBABAD826；（3）连接O
17、D，OCOD，ACD30，ODCACD30，COD120，AD2，AC4，CD2，SOCDSACD，S阴影S扇形OCDSOCD【考点3 与圆柱、圆锥有关的计算】【典例6】（2020兰州）如图，现有一圆心角为90，半径为8cm的扇形纸片，用它恰好围成一个圆锥的侧面（接缝忽略不计），则该圆锥底面圆的半径为（）A4cmB3cmC2cmD1cm【答案】C【解答】解：弧长：4（cm），圆锥底面圆的半径：r2（cm）故选：C【变式6-1】（2020海南）一个圆锥的侧面展开图形是半径为8cm，圆心角为120的扇形，则此圆锥的底面半径为（）B cmBcmC3cmDcm【答案】A【解答】解：设此圆锥的底面半径为
18、r，根据圆锥的侧面展开图扇形的弧长等于圆锥底面周长可得：2r，rcm故选：A【变式6-2】（2021山西）如图，有一圆心角为120，半径长为6cm的扇形，若将OA、OB重合后围成一圆锥侧面，那么圆锥的高是（）A4cmBcmC2cmD2cm【答案】A【解答】解：由圆心角为120、半径长为6cm，可知扇形的弧长为4cm，即圆锥的底面圆周长为4cm，则底面圆半径为2cm，已知OA6cm，由勾股定理得圆锥的高是4cm故选：A【变式6-3】（2021呼和浩特）已知圆锥的母线长为10，高为8，则该圆锥的侧面展开图（扇形）的弧长为 （用含的代数式表示），圆心角为 度【答案】12，216【解答】解：设底面圆的半径为rcm，由勾股定理得：r6，2r2612，根据题意得26，解得n216，即这个圆锥的侧面展开图的圆心角为216故答案为：12，216
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