1、专题3.7 切线长定理（能力提升）一、选择题。1（2021秋中山市期末）如图，O内切于四边形ABCD，AB10，BC7，CD8，则AD的长度为（）A8B9C10D112（2021秋上思县期末）如图，P为O外一点，PA、PB分别切O于A、B，CD切O于点E，分别交PA、PB于点C、D，若PA5，则PCD的周长为（）A5B7C8D103（2020秋樊城区期末）如图，PA，PB切O于A、B两点，CD切O于点E，交PA，PB于C，D若PCD的周长等于3，则PA的值是（）ABCD4（2022拱墅区模拟）如图，AB、AC、BD是O的切线，切点分别是P、C、D若AB10，AC6，则BD的长是（）A3B4C5
2、D65（2021秋高阳县期末）如图，ABC是一张周长为17cm的三角形的纸片，BC5cm，O是它的内切圆，小明准备用剪刀在O的右侧沿着与O相切的任意一条直线MN剪下AMN，则剪下的三角形的周长为（）A12cmB7cmC6cmD随直线MN的变化而变化6（2021柯桥区模拟）如图，ABC中，A60，BC6，它的周长为16若O与BC，AC，AB三边分别切于E，F，D点，则DF的长为（）A2B3C4D67（2020永州）如图，已知PA，PB是O的两条切线，A，B为切点，线段OP交O于点M给出下列四种说法：PAPB；OPAB；四边形OAPB有外接圆；M是AOP外接圆的圆心其中正确说法的个数是（）A1B2
3、C3D48（2021东港区校级一模）如图，是用一把直尺、含60角的直角三角板和光盘摆放而成，点A为60角与直尺交点，点B为光盘与直尺唯一交点，若AB3，则光盘的直径是（）A6B3C6D39（2021秋西岗区期末）如图，P为O外一点，PA、PB分别切O于点A、B，CD切O于点E，分别交PA、PB于点C、D，若PA8，则PCD的周长为（）A8B12C16D2010（2020河北模拟）如图，O内切于正方形ABCD，O为圆心，作MON90，其两边分别交BC，CD于点N，M，若CM+CN4，则O的面积为（）AB2C4D0.5二、填空题。11（2022南安市一模）如图，PA、PB是O的两条切线，A、B是切
4、点，若APB60，PO2，则O的半径等于 12（2021雁塔区校级模拟）如图，圆O是四边形ABCD的内切圆，连接AO、BO、CO、DO，记AOD、AOB、COB、DOC的面积分别为S1、S2、S3、S4，则S1、S2、S3、S4的数量关系为 13（2022秋南岗区校级月考）如图，分别过O上A、B、C三点作O切线，切线两两交于P、M、N，PA9，则PMN的周长为 14（2022相城区校级自主招生）一直角三角形的斜边长为c，它的内切圆的半径是r，则内切圆的面积与三角形的面积的比是 15（2021秋金川区校级期中）如图，PA、PB切O于点A、B，PA6，CD切O于点E，交PA、PB于C、D两点，则P
5、CD的周长是 16（2021秋原州区期末）如图，PA、PB、DE分别切O于A、B、C，DE分别交PA，PB于D、E，已知P到O的切线长为8cm，那么PDE的周长为 17（2021秋兴化市月考）如图，以正方形ABCD的AB边为直径作半圆O，过点C作直线切半圆于点F，交AD边于点E，若CDE的周长为12，则直角梯形ABCE周长为 18（2021哈尔滨模拟）如图，切线PA、PB分别与O相切于点A、B，切线EF与O相切于点C，且分别交PA、PB于点E、F，若PEF的周长为6，则线段PA的长为 三、解答题。19如图，PA、PB分别与O相切于点A、B，PO的延长线交O于点C，连接BC，OA（1）求证：PO
6、A2PCB；（2）若OA3，PA4，求tanPCB的值20如图所示，PA，PB是O的切线，切点分别是点A，B点Q为AB上一点过点Q作O的切线，分别交PA，PB于E，F两点已知PA12cm，P56（1）求PEF的周长；（2）求EOF的度数21（2021秋无为市校级月考）如图，PA和PB是O的两条切线，A，B是切点C是弧AB上任意一点，过点C画O的切线，分别交PA和PB于D，E两点，已知PAPB5cm，求PDE的周长22（2019秋增城区期中）如图，PA，PB分别与O相切于点A，B，AC为弦，BC为O的直径，若P60，PB2cm（1）求证：PAB是等边三角形；（2）求AC的长23已知正方形ABCD
7、的边长为2，点M是BC的中点，P是线段MC上的一个动点，P不与M和C重合，以AB为直径作O，过点P作O的切线交AD于点F，切点为E求四边形CDFP的周长24如图，PA，PB分别为O的切线，切点分别为A、B，P60，PA10cm，那么AB的长为 cm25（2021滨海县一模）如图，PA、PB是O的切线，CD切O于点E，PCD的周长为12，APB60求：（1）PA的长；（2）COD的度数26如图，PA、PB是O的切线，A、B为切点，AC是O的直径，BAC20，求P的度数专题3.7 切线长定理（能力提升）一、选择题。1（2021秋中山市期末）如图，O内切于四边形ABCD，AB10，BC7，CD8，则
8、AD的长度为（）A8B9C10D11【答案】D。【解答】解：O内切于四边形ABCD，AD+BCAB+CD，AB10，BC7，CD8，AD+710+8，解得：AD11故选：D2（2021秋上思县期末）如图，P为O外一点，PA、PB分别切O于A、B，CD切O于点E，分别交PA、PB于点C、D，若PA5，则PCD的周长为（）A5B7C8D10【答案】D。【解答】解：PA、PB为圆的两条相交切线，PAPB，同理可得：CACE，DEDBPCD的周长PC+CE+ED+PD，PCD的周长PC+CA+BD+PDPA+PB2PA，PCD的周长10，故选：D3（2020秋樊城区期末）如图，PA，PB切O于A、B两
9、点，CD切O于点E，交PA，PB于C，D若PCD的周长等于3，则PA的值是（）ABCD【答案】A。【解答】解：PA，PB切O于A、B两点，CD切O于点E，交PA，PB于C，D，ACEC，DEDB，PAPBPCD的周长等于3，PA+PB3，PA故选：A4（2022拱墅区模拟）如图，AB、AC、BD是O的切线，切点分别是P、C、D若AB10，AC6，则BD的长是（）A3B4C5D6【答案】B。【解答】解：AC、AP为O的切线，ACAP6，BP、BD为O的切线，BPBD，BDPBABAP1064故选：B5（2021秋高阳县期末）如图，ABC是一张周长为17cm的三角形的纸片，BC5cm，O是它的内切
10、圆，小明准备用剪刀在O的右侧沿着与O相切的任意一条直线MN剪下AMN，则剪下的三角形的周长为（）A12cmB7cmC6cmD随直线MN的变化而变化【答案】B。【解答】解：设E、F分别是O的切点，ABC是一张三角形的纸片，AB+BC+AC17cm，O是它的内切圆，点D是其中的一个切点，BC5cm，BD+CEBC5cm，则AD+AE7cm，故DMMF，FNEN，AM+AN+MNAD+AE7（cm）故选：B6（2021柯桥区模拟）如图，ABC中，A60，BC6，它的周长为16若O与BC，AC，AB三边分别切于E，F，D点，则DF的长为（）A2B3C4D6【答案】A。【解答】解：O与BC，AC，AB三
11、边分别切于E，F，D点，ADAF，BEBD，CECF，BCBE+CE6，BD+CF6，ADAF，A60，ADF是等边三角形，ADAFDF，AB+AC+BC16，BC6，AB+AC10，BD+CF6，AD+AF4，ADAFDF，DFAFAD42，故选：A7（2020永州）如图，已知PA，PB是O的两条切线，A，B为切点，线段OP交O于点M给出下列四种说法：PAPB；OPAB；四边形OAPB有外接圆；M是AOP外接圆的圆心其中正确说法的个数是（）A1B2C3D4【答案】C。【解答】解：PA，PB是O的两条切线，A，B为切点，PAPB，所以正确；OAOB，PAPB，OP垂直平分AB，所以正确；PA，
12、PB是O的两条切线，A，B为切点，OAPA，OBPB，OAPOBP90，点A、B在以OP为直径的圆上，四边形OAPB有外接圆，所以正确；只有当APO30时，OP2OA，此时PMOM，M不一定为AOP外接圆的圆心，所以错误故选：C8（2021东港区校级一模）如图，是用一把直尺、含60角的直角三角板和光盘摆放而成，点A为60角与直尺交点，点B为光盘与直尺唯一交点，若AB3，则光盘的直径是（）A6B3C6D3【答案】A。【解答】解：设三角板与圆的切点为C，连接OA、OB，由切线长定理知ABAC3，OA平分BAC，OAB60，在RtABO中，OBABtanOAB3，光盘的直径为6，故选：A9（2021
13、秋西岗区期末）如图，P为O外一点，PA、PB分别切O于点A、B，CD切O于点E，分别交PA、PB于点C、D，若PA8，则PCD的周长为（）A8B12C16D20【答案】C。【解答】解：PA、PB分别切O于点A、B，CD切O于点E，PAPB6，ACEC，BDED，PC+CD+PDPC+CE+DE+PDPA+AC+PD+BDPA+PB8+816，即PCD的周长为16故选：C10（2020河北模拟）如图，O内切于正方形ABCD，O为圆心，作MON90，其两边分别交BC，CD于点N，M，若CM+CN4，则O的面积为（）AB2C4D0.5【答案】C。【解答】解：设O与正方形ABCD的边CD切于E，与BC
14、切于F，连接OE，OF，则四边形OECF是正方形，CFCEOEOF，OEMOFNEOF90，MON90，EOMFON，OEMOFN（ASA），EMNF，CM+CNCE+CF4，OE2，O的面积为4，故选：C二、填空题。11（2022南安市一模）如图，PA、PB是O的两条切线，A、B是切点，若APB60，PO2，则O的半径等于1【答案】1。【解答】解：PA、PB是O的两条切线，APOBPOAPB，PAO90APB60，APO30，PO2，AO1故答案为：112（2021雁塔区校级模拟）如图，圆O是四边形ABCD的内切圆，连接AO、BO、CO、DO，记AOD、AOB、COB、DOC的面积分别为S1
15、、S2、S3、S4，则S1、S2、S3、S4的数量关系为 S1+S3S2+S4【答案】S1+S3S2+S4。【解答】解：如图设切点分别为E、F、G、H，由切线性质可知，OEAD，OFCD，OGBCOHAB，OEOFOGOHr，设DEDFa，AEAHb，BHBGc，CGCFd，S1r（a+b），S2r （b+c），S3 r（c+d），S4r（a+d），S1+S3r（a+b）+ r（c+d）r（a+b+c+d），S2+S4r（a+d）+r （b+c）r（a+b+c+d），S1+S3S2+S4故答案为S1+S3S2+S413（2022秋南岗区校级月考）如图，分别过O上A、B、C三点作O切线，切线两两
16、交于P、M、N，PA9，则PMN的周长为 18【答案】18。【解答】解：PA、PB、MN分别与O切于A、B、C，PAPB，MAMC，NBNC，PMN的周长PM+MN+PNPM+MC+CN+PNPM+MA+NB+PNPA+PB9+918，故答案为：1814（2022相城区校级自主招生）一直角三角形的斜边长为c，它的内切圆的半径是r，则内切圆的面积与三角形的面积的比是【答案】。【解答】解：设直角三角形的两条直角边是a，b，则有：S，又r，a+b2r+c，直角三角形的面积是r（r+c）又内切圆的面积是r2，它们的比是故答案是：15（2021秋金川区校级期中）如图，PA、PB切O于点A、B，PA6，C
17、D切O于点E，交PA、PB于C、D两点，则PCD的周长是12【答案】12。【解答】解：PA，PB切O于A、B两点，CD切O于点E，PBPA6，CACE，DBDE，PCD的周长PC+CE+PDPC+CE+DE+PCPC+CA+DB+PDPA+PB12故答案为：1216（2021秋原州区期末）如图，PA、PB、DE分别切O于A、B、C，DE分别交PA，PB于D、E，已知P到O的切线长为8cm，那么PDE的周长为16cm【答案】16cm。【解答】解：PA、PB、DE分别切O于A、B、C，PAPB，DADC，ECEB；CPDEPD+DE+PEPD+DA+EB+PEPA+PB8+816cm；PDE的周长
18、为16cm故答案为16cm17（2021秋兴化市月考）如图，以正方形ABCD的AB边为直径作半圆O，过点C作直线切半圆于点F，交AD边于点E，若CDE的周长为12，则直角梯形ABCE周长为 14【答案】14。【解答】解：设AE的长为x，正方形ABCD的边长为a，CE与半圆O相切于点F，AEEF，BCCF，EF+FC+CD+ED12，AE+ED+CD+BC12，ADCDBCAB，正方形ABCD的边长为4；在RtCDE中，ED2+CD2CE2，即（4x）2+42（4+x）2，解得：x1，AE+EF+FC+BC+AB14，直角梯形ABCE周长为14故答案为：1418（2021哈尔滨模拟）如图，切线P
19、A、PB分别与O相切于点A、B，切线EF与O相切于点C，且分别交PA、PB于点E、F，若PEF的周长为6，则线段PA的长为3【答案】3。【解答】解：EA，EC都是圆O的切线，ECEA，同理FCFB，PAPB，PEF的周长PF+PE+EFPF+PE+EA+FBPA+PB2PA6，PA3；故答案为：3三、解答题。19如图，PA、PB分别与O相切于点A、B，PO的延长线交O于点C，连接BC，OA（1）求证：POA2PCB；（2）若OA3，PA4，求tanPCB的值【解答】证明：（1）连接OB，PA、PB分别与O相切于点A、B，PAPB，OBPOAP90，在RtPOA和RtPOB中，RtPOARtPO
20、B（HL），POAPOB，POB2PCB，POA2PCB；（2）过B作BEPC于E，PBPA4，OBOA3，PO5，POBEOBPB，BE，由勾股定理得：OE，CEOC+OE3+，在RtOBE中，tanPCB20如图所示，PA，PB是O的切线，切点分别是点A，B点Q为AB上一点过点Q作O的切线，分别交PA，PB于E，F两点已知PA12cm，P56（1）求PEF的周长；（2）求EOF的度数【解答】解：（1）PA，PB是O的切线，过点Q作O的切线，PA12cm，EAEQ，FQFB，PAPB12cm，PEF的周长PE+EQ+FQ+PFPA+PB24（cm）；（2）PA，PB是O的切线，切点分别是点A
21、，B，PAOPBO90，P56，AOB124，PA，PB是O的切线，过点Q作O的切线，AEOQEO，QFOBFO，EAOEQO90，FQOFBO90，AOEQOE，QOFFOB，EOFAOB6221（2021秋无为市校级月考）如图，PA和PB是O的两条切线，A，B是切点C是弧AB上任意一点，过点C画O的切线，分别交PA和PB于D，E两点，已知PAPB5cm，求PDE的周长【解答】解：PA和PB是O的两条切线，PAPB，同理可得：DADC，EBEC，PDE的周长PD+DE+PEPD+DC+EC+PEPD+DA+EB+PEPA+PB10（cm）22（2019秋增城区期中）如图，PA，PB分别与O相
22、切于点A，B，AC为弦，BC为O的直径，若P60，PB2cm（1）求证：PAB是等边三角形；（2）求AC的长【解答】解：（1）PA，PB分别与O相切于点A，B，PAPB，且P60，PAB是等边三角形；（2）PAB是等边三角形；PBAB2cm，PBA60，BC是直径，PB是O切线，CAB90，PBC90，ABC30，tanABC，AC2cm23已知正方形ABCD的边长为2，点M是BC的中点，P是线段MC上的一个动点，P不与M和C重合，以AB为直径作O，过点P作O的切线交AD于点F，切点为E求四边形CDFP的周长【解答】解：四边形ABCD是正方形，AB90，OAAD，OBBC，OA，OB是半径，A
23、F、BP都是O的切线，又PF是O的切线，FEFA，PEPB，四边形CDFP的周长为AD+DC+CB23624如图，PA，PB分别为O的切线，切点分别为A、B，P60，PA10cm，那么AB的长为10cm【解答】解：PA，PB分别为O的切线，PAPB，P60，PAB为等边三角形，ABPA，PA10cm，AB10cm故答案为：1025（2021滨海县一模）如图，PA、PB是O的切线，CD切O于点E，PCD的周长为12，APB60求：（1）PA的长；（2）COD的度数【解答】解：（1）CA，CE都是圆O的切线，CACE，同理DEDB，PAPB，三角形PCD的周长PD+CD+PCPD+PC+CA+BDPA+PB2PA12，即PA的长为6；（2）P60，PCE+PDE120，ACD+CDB360120240，CA，CE是圆O的切线，OCEOCAACD；同理：ODECDB，OCE+ODE（ACD+CDB）120，COD1801206026如图，PA、PB是O的切线，A、B为切点，AC是O的直径，BAC20，求P的度数【解答】解：根据切线的性质得：PAC90，所以PAB90BAC902070，根据切线长定理得PAPB，所以PABPBA70，所以P18070240
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