1、专题3.4 确定圆的条件（知识解读）【直击考点】 【学习目标】1. 了解点与圆的三种位置关系，能够用数量关系来判断点与圆的位置关系。2. 掌握不在一条直线上的三点确定一个圆,掌握不在同一直线上的三个点作圆的方法。 3. 能画出三角形的外接圆,了解三角形的外心。【知识点梳理】考点1 点与圆的位置关系设O的半径是r，点P到圆心O的距离为d，则有：dr点P在O外。考点2 过三点的圆 1、 过三点的圆不在同一直线上的三个点确定一个圆。2、 三角形的外接圆经过三角形的三个顶点的圆叫做三角形的外接圆。3、三角形的外心三角形的外接圆的圆心是三角形三条边的垂直平分线的交点，它叫做这个三角形的外心。【典例分析】
2、【考点1 点与圆的位置关系】【典例1】（2021秋兴山县期末）已知O的半径是4，OP7，则点P与O的位置关系是（）A点P在圆内B点P在圆上C点P在圆外D不能确定【变式1-1】（2021秋兴山县期末）已知O的半径是4，OP7，则点P与O的位置关系是（）A点P在圆内B点P在圆上C点P在圆外D不能确定【变式1-2】（2021秋永年区期末）已知O的半径为3，点P在O外，则OP的长可以是（）A1B2C3D4【变式1-3】（2021秋越秀区期末）在平面直角坐标系xOy中，已知点A（4，3），以点A为圆心，4为半径画A，则坐标原点O与A的位置关系是（）A点O在A内B点O在A外C点O在A上D以上都有可能【典例
3、2】（2022常州模拟）如图，A，B，C是某社区的三栋楼，若在AC中点D处建一个5G基站，其覆盖半径为300m，则这三栋楼中在该5G基站覆盖范围内的是（）AA，B，C都不在B只有BC只有A，CDA，B，C【变式2-1】（2021秋定州市期末）如图，已知RtABC中，C90，A30，AC6，以点B为圆心，3为半径作B，则点C与B的位置关系是（）A点C在B内B点C在B上C点C在B外D无法确定【变式2-2】（2021秋越秀区期末）在平面直角坐标系xOy中，已知点A（4，3），以点A为圆心，4为半径画A，则坐标原点O与A的位置关系是（）A点O在A内B点O在A外C点O在A上D以上都有可能【变式2-3】（
4、2021秋鼓楼区校级期末）在RtABC中，C90，AC2，AB4，如果以点A为圆心，AC为半径作A，那么斜边AB的中点D在A（填“内”、“上”或者“外”）【典例3】（2021秋大石桥市期末）已知O的半径为5cm，点P在O外，则OP的长（）A小于5cmB大于5cmC小于10cmD不大于10cm【变式3-1】（2022南山区模拟）一个点到圆的最小距离为3cm，最大距离为6cm，则该圆的直径是（）A1.5cmB1.5cm或4.5cmC4.5cmD3cm或9cm【变式3-2】（2017南通一模）一个点到圆的最小距离为6cm，最大距离为9cm，则该圆的半径是（）A1.5cmB7.5cmC1.5cm或7.
5、5cmD3cm或15cm【变式3-3】（2021秋宁波期末）在同一平面上，O外有一点P到圆上的最大距离是8cm，最小距离为2cm，则O的半径为 cm【考点2 确定圆的条件】【典例4】（2022石家庄模拟）下列条件中不能确定一个圆的是（）A圆心与半径B直径C三角形的三个顶点D平面上的三个已知点【变式4-1】（2019秋东台市期中）如图，点A、B、C在同一条直线上，点D在直线AB外，过这四个点中的任意3个，能画的圆有（）A1 个B2个C3个D4 个【变式4-2】（2019吴兴区校级一模）平面上有四个点，过其中任意3个点一共能确定圆的个数为（）A0或3或4B0或1或3C0或1或3或4D0或1或4【典
6、例5】（2021秋西城区期末）如图，在平面直角坐标系xOy中，点A，B，C的横、纵坐标都为整数，过这三个点作一条圆弧，则此圆弧的圆心坐标为 【变式5-1】（2021秋龙凤区期末）小明不慎把家里的圆形镜子打碎了，其中四块碎片如图所示，为了配到与原来大小一样的圆形镜子，小明带到商店去的一块碎片应该是（）A第一块B第二块C第三块D第四块【变式5-2】（2021秋甘州区校级期末）已知直线a和直线外的两点A、B，经过A、B作一圆，使它的圆心在直线a上【变式5-3】（2021秋任城区校级月考）将图中的破轮子复原，已知弧上三点A，B，C（1）画出该轮的圆心；（2）若ABC是等腰三角形，底边BC16cm，腰A
7、B10cm，求圆片的半径R【考点3 三角形的外接圆与圆心】【典例6】（2022沈河区校级模拟）如图，ABC是O的内接三角形，C45，AB6，则O的半径长为（）AB2C3D4【变式6-1】（2021醴陵市模拟）如图，ABC内接于O，A50ODBC，垂足为E，连接BD，则CBD的大小为（）A50B60C25D30【变式6-2】（2021江干区模拟）如图，O是等边ABC的外接圆，点D是弧BC上的点，且CAD20，则ACD的度数为（）A70B80C90D100【变式6-3】（2021秋无锡期末）如图，在平面直角坐标系中，A（0，3），B（2，1），C（2，3）则ABC的外心坐标为（）A（0，0）B（1
8、，1）C（2，1）D（2，1）【例7】（2022宣州区一模）如图，O是ABC的外接圆，B60，OPAC于点P，则O的直径为（）ABC6D12【变式7-1】（2019秋相城区期中）如图，O的半径为5，ABC是O的内接三角形，过点C作CD垂直AB于点D若CD3，AC6，则BC长为（）A3B5C3D6【变式7-2】（2019南岗区校级开学）如图，O是ABC的外接圆，B60，OPAC于点P，OP2，则AC的长为（）A4BCD【变式7-3】（2021秋通州区期末）如图，O是等边三角形ABC的外接圆，若O的半径为2，则ABC的面积为（）ABCD专题3.4 确定圆的条件（知识解读）【直击考点】 【学习目标】
9、4. 了解点与圆的三种位置关系，能够用数量关系来判断点与圆的位置关系。5. 掌握不在一条直线上的三点确定一个圆,掌握不在同一直线上的三个点作圆的方法。 6. 能画出三角形的外接圆,了解三角形的外心。【知识点梳理】考点1 点与圆的位置关系设O的半径是r，点P到圆心O的距离为d，则有：dr点P在O外。考点2 过三点的圆 3、 过三点的圆不在同一直线上的三个点确定一个圆。4、 三角形的外接圆经过三角形的三个顶点的圆叫做三角形的外接圆。3、三角形的外心三角形的外接圆的圆心是三角形三条边的垂直平分线的交点，它叫做这个三角形的外心。【典例分析】【考点1 点与圆的位置关系】【典例1】（2021秋兴山县期末）
10、已知O的半径是4，OP7，则点P与O的位置关系是（）A点P在圆内B点P在圆上C点P在圆外D不能确定【答案】C【解答】解：OP7，r4，OPr，则点P在O外，故选：C【变式1-1】（2021秋兴山县期末）已知O的半径是4，OP7，则点P与O的位置关系是（）A点P在圆内B点P在圆上C点P在圆外D不能确定【答案】C【解答】解：OP7，r4，OPr，则点P在O外，故选：C【变式1-2】（2021秋永年区期末）已知O的半径为3，点P在O外，则OP的长可以是（）A1B2C3D4【答案】D【解答】解：O的半径为3，点P在O外，OP的长大于3故选：D【变式1-3】（2021秋越秀区期末）在平面直角坐标系xOy
11、中，已知点A（4，3），以点A为圆心，4为半径画A，则坐标原点O与A的位置关系是（）A点O在A内B点O在A外C点O在A上D以上都有可能【答案】B【解答】解：圆心A（4，3）到原点O的距离OA5，OA5r4，点O在A外，故选：B【典例2】（2022常州模拟）如图，A，B，C是某社区的三栋楼，若在AC中点D处建一个5G基站，其覆盖半径为300m，则这三栋楼中在该5G基站覆盖范围内的是（）AA，B，C都不在B只有BC只有A，CDA，B，C【答案】D【解答】解：AB300cm，BC400cm，AC500cm，AB2+BC2AC2，ABC是直角三角形，ABC90，点D是斜边AC的中点，ADCD250cm
12、，BDAC250cm，250300，点A、B、C都在圆内，这三栋楼中在该5G基站覆盖范围内的是A，B，C故选：D【变式2-1】（2021秋定州市期末）如图，已知RtABC中，C90，A30，AC6，以点B为圆心，3为半径作B，则点C与B的位置关系是（）A点C在B内B点C在B上C点C在B外D无法确定【答案】C【解答】解：RtABC中，C90，A30，AC6，BCAC2，以点B为圆心，3为半径作B，Rd，点C在B外故选：C【变式2-2】（2021秋越秀区期末）在平面直角坐标系xOy中，已知点A（4，3），以点A为圆心，4为半径画A，则坐标原点O与A的位置关系是（）A点O在A内B点O在A外C点O在A
13、上D以上都有可能【答案】B【解答】解：圆心A（4，3）到原点O的距离OA5，OA5r4，点O在A外，故选：B【变式2-3】（2021秋鼓楼区校级期末）在RtABC中，C90，AC2，AB4，如果以点A为圆心，AC为半径作A，那么斜边AB的中点D在A（填“内”、“上”或者“外”）【答案】上【解答】解：C90，AC2，AB4，AD2，A半径为2，斜边AB的中点D在A上，故答案是：上【典例3】（2021秋大石桥市期末）已知O的半径为5cm，点P在O外，则OP的长（）A小于5cmB大于5cmC小于10cmD不大于10cm【答案】B【解答】解：O的半径为5cm，点P在O外，OP5cm，故选：B【变式3-
14、1】（2022南山区模拟）一个点到圆的最小距离为3cm，最大距离为6cm，则该圆的直径是（）A1.5cmB1.5cm或4.5cmC4.5cmD3cm或9cm【答案】D【解答】解：当点在圆外，则该圆的直径6cm3cm3cm；当点在圆内，则该圆的直径6cm+3cm9cm，即该圆的直径为3cm或9cm故选：D【变式3-2】（2017南通一模）一个点到圆的最小距离为6cm，最大距离为9cm，则该圆的半径是（）A1.5cmB7.5cmC1.5cm或7.5cmD3cm或15cm【答案】C【解答】解：分为两种情况：当点P在圆内时，最近点的距离为6cm，最远点的距离为9cm，则直径是15cm，因而半径是7.5
15、cm；当点P在圆外时，最近点的距离为6cm，最远点的距离为9cm，则直径是3cm，因而半径是1.5cm故选：C【变式3-3】（2021秋宁波期末）在同一平面上，O外有一点P到圆上的最大距离是8cm，最小距离为2cm，则O的半径为 cm【答案】3【解答】解：如图，PA的长是P到O的最长距离，PB的长是P到O的最短距离，圆外一点P到O的最长距离为8cm，最短距离为2cm，圆的直径是826（cm），圆的半径是3cm故答案为：3【考点2 确定圆的条件】【典例4】（2022石家庄模拟）下列条件中不能确定一个圆的是（）A圆心与半径B直径C三角形的三个顶点D平面上的三个已知点【答案】D【解答】解：A、已知圆
16、心和半径能确定一个圆；B、已知直径能确定一个圆；C、已知三角形的三个顶点，可以确定一个圆；D、平面上的三个已知点不能确定一个圆故选：D【变式4-1】（2019秋东台市期中）如图，点A、B、C在同一条直线上，点D在直线AB外，过这四个点中的任意3个，能画的圆有（）A1 个B2个C3个D4 个【答案】C【解答】解：点A、B、C在同一条直线上，经过点A、B、D，或点A、C、D，或点B、C、D分别能画一个圆，故选：C【变式4-2】（2019吴兴区校级一模）平面上有四个点，过其中任意3个点一共能确定圆的个数为（）A0或3或4B0或1或3C0或1或3或4D0或1或4【答案】C【解答】解：如图，当四点在同一
17、条直线上时，不能确定圆，当四点共圆时，只能作一个圆，当三点在同一直线上时，可以作三个圆，当四点不共圆时，且没有三点共线时，能确定四个圆故选：C【典例5】（2021秋西城区期末）如图，在平面直角坐标系xOy中，点A，B，C的横、纵坐标都为整数，过这三个点作一条圆弧，则此圆弧的圆心坐标为 【答案】（2，1）【解答】解：从图形可知：A点的坐标是（0，2），B点的坐标是（1，3），C点的坐标是（3，3），连接AB，作线段AB和线段BC的垂直平分线MN、EF，两线交于Q，则Q是圆弧的圆心，如图，Q点的坐标是（2，1），故答案为：（2，1）【变式5-1】（2021秋龙凤区期末）小明不慎把家里的圆形镜子打碎
18、了，其中四块碎片如图所示，为了配到与原来大小一样的圆形镜子，小明带到商店去的一块碎片应该是（）A第一块B第二块C第三块D第四块【答案】A【解答】解：第块出现一段完整的弧，可在这段弧上任做两条弦，作出这两条弦的垂直平分线，两条垂直平分线的交点就是圆心，进而可得到半径的长故选：A【变式5-2】（2021秋甘州区校级期末）已知直线a和直线外的两点A、B，经过A、B作一圆，使它的圆心在直线a上【答案】略【解答】解：作图如右：【变式5-3】（2021秋任城区校级月考）将图中的破轮子复原，已知弧上三点A，B，C（1）画出该轮的圆心；（2）若ABC是等腰三角形，底边BC16cm，腰AB10cm，求圆片的半径
19、R【答案】（1）略 （2）Rcm【解答】解：（1）如图所示：分别作弦AB和AC的垂直平分线交点O即为所求的圆心；（2）连接AO，OB，BC，BC交OA于DBC16cm，BD8cm，AB10cm，AD6cm，设圆片的半径为R，在RtBOD中，OD（R6）cm，R282+（R6）2，解得：Rcm，圆片的半径R为cm【考点3 三角形的外接圆与圆心】【典例6】（2022沈河区校级模拟）如图，ABC是O的内接三角形，C45，AB6，则O的半径长为（）AB2C3D4【答案】C【解答】解：如图，连接OA，OB，ACB45，AOB2ACB90，OAOB，AOB是等腰直角三角形，在RtOAB中，OA2+OB2A
20、B2，AB6，2OA236，OA3，即O的半径是3，故选：C【变式6-1】（2021醴陵市模拟）如图，ABC内接于O，A50ODBC，垂足为E，连接BD，则CBD的大小为（）A50B60C25D30【答案】C【解答】解：连接CD，四边形ABDC是圆内接四边形，A50，CDB+A180，CDB180A130，ODBC，E是边BC的中点，BDCD，CBDBCD（180CDB）（180130）25，故选：C【变式6-2】（2021江干区模拟）如图，O是等边ABC的外接圆，点D是弧BC上的点，且CAD20，则ACD的度数为（）A70B80C90D100【答案】D【解答】解：ABC是等边三角形，ACBA
21、BCBAC60，CAD20，BADBACCAD40，BCDBAD40，ACDACB+BCD100，故选：D【变式6-3】（2021秋无锡期末）如图，在平面直角坐标系中，A（0，3），B（2，1），C（2，3）则ABC的外心坐标为（）A（0，0）B（1，1）C（2，1）D（2，1）【答案】D【解答】解：如图，根据网格点O即为所求ABC的外心即是三角形三边垂直平分线的交点，EF与MN的交点O即为所求的ABC的外心，ABC的外心坐标是（2，1）故选：D【例7】（2022宣州区一模）如图，O是ABC的外接圆，B60，OPAC于点P，则O的直径为（）ABC6D12【答案】B【解答】解：B60，AOC2B
22、120，又OAOC，OACOCA30，OPAC，APO90，在RtAOP中，OP2，OAC30，OA2OP4，圆O的直径为8故选：B【变式7-1】（2019秋相城区期中）如图，O的半径为5，ABC是O的内接三角形，过点C作CD垂直AB于点D若CD3，AC6，则BC长为（）A3B5C3D6【答案】B【解答】解：连接OC，OB，CD垂直AB，ADC90，CD3，AC6，CDAC，A30，O60，OCOB，OBC是等边三角形，BCOB，O的半径为5，BC5，故选：B【变式7-2】（2019南岗区校级开学）如图，O是ABC的外接圆，B60，OPAC于点P，OP2，则AC的长为（）A4BCD【答案】C【解答】解：B60，AOC2B120，OAOC，OACOCA30，OPAC，APCP，OA2OP4，AP2，AC2AP4，故选：C【变式7-3】（2021秋通州区期末）如图，O是等边三角形ABC的外接圆，若O的半径为2，则ABC的面积为（）ABCD【答案】D【解答】解：连接OB，OC，过点O作ODBC于D，BC2BD，O是等边ABC的外接圆，BOC360120，OBOC，OBCOCB30，O的半径为2，OB2，BDOBcosOBD2cos302，ODOB1，BC2等边ABC的面积为3SBCO3BCOD313故选：D
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