1、山西省新绛县第二中学2020-2021学年高二数学10月月考试题 文 一、 选择题 （本题共计 12 小题 ，每题 5 分 ，共计60分 ， ） 1. 过点且与直线平行的直线方程是( ) A.B.C.D.2. 若圆的圆心到直线的距离为，则的值为( ) A.或B.或C.或D.或3. 下列说法正确的是（） A.平行于同一平面的两条直线平行 B.垂直于同一直线的两条直线垂直C.与某一平面所成角相等的两条直线平行 D.垂直于同一条直线的两个平面平行4. 若圆截直线所得弦长为，则实数的值为( ) A.B.C.D.5. 两圆与的公共弦长等于（） A.B.C.D.6. 已知两条直线，和两个平面，下列命题正确
2、的是 A.若，且，则B.若，且，则C.若，且，则D.若，且，则7. 已知过点的直线与圆交于，两点，则的最小值为（） A.B.C.D.8. 一个空间几何体的三视图如图，则该几何体的表面积为( ) A.B.C.D.9. 将边长为的正方形沿对角线折起，使得，则异面直线和所成角的余弦值为( ) A.B.C.D.10. 如图是某几何体的三视图，图中小方格单位长度为，则该几何体外接球的表面积为 A.B.C.D.11. 已知圆，直线，点在直线上运动，直线，分别与圆相切于点，当切线长最小时，弦的长度为( ) A.B.C.D.12. 直线与圆交于，两点，且（其中为坐标原点），则( ) A.B.C.D.不确定 二
3、、 填空题 （本题共计 4 小题 ，每题 5 分 ，共计20分 ， ） 13. 两条平行直线与的距离是_ 14. 底面半径都是且高都是的圆锥和圆柱的全面积之比为_ 15. 设点和，在直线上找一点，使为最小，则这个最小值为_ 16. 已知正方体的棱长为，是中点，过点作平面，满足平面，则平面与正方体的截面周长为_ 三、 解答题 （本题共计 6 小题 ，共计70分 ， ） 17.(10分) 如图，四棱锥的底面是边长为的菱形，底面 求证：平面； 若，直线，求四棱锥的体积18.(12分) 如图所示，在四棱锥中，底面是正方形，侧棱底面，是的中点，过点作交于点求证： 平面； 平面.19.(12分) 已知直线
4、被两平行直线与所截线段的中点恰在直线上，已知圆. 证明直线与圆恒有两个交点； 求直线被圆截得的弦长最小时的方程20.(12分) 已知圆的圆心为，且直线与圆相切，设直线的方程为，若点在直线上，过点作圆的切线，切点为， 求圆的标准方程； 若，试求点的坐标； 若点的坐标为，过点作直线与圆交于，两点，当时，求直线的方程21.(12分) 已知圆：. 求圆关于直线对称的圆的标准方程； 过点的直线被圆截得的弦长为，求直线的方程； 当为何值时，直线与圆相交弦长最短，并求出最短弦长.22.(12分) 如图，在四棱锥中，平面，且，为的中点 求证：平面； 在线段上是否存在一点，使得直线与平面所成角的正弦值为，若存在
5、，求出的值；若不存在，说明理由参考答案与试题解析一、 选择题 （本题共计 12 小题 ，每题 5 分 ，共计60分 ） 1.【答案】A【解答】解：所求直线与直线平行，故所求直线的斜率又直线过点，利用点斜式得所求直线的方程为，即故选2.【答案】A【解答】解：把圆化为标准方程为：， 圆心坐标为. 圆心到直线的距离为， ，即，可化为或，解得或.故选.3.【答案】D【解答】解：，平行于同一平面的两条直线可能平行，相交，异面，故错误；，垂直于同一直线的两条直线可能平行，相交，异面，故错误；，与某一平面成等角的两直线可能平行，相交，异面，故错误；，垂直于同一直线得两平面平行，故正确.故选.4.【答案】B【
6、解答】解：由圆即， 圆心为， 圆心在直线上， 此圆直径为，则半径为， ， .故选.5.【答案】D【解答】解：公共弦方程为圆的圆心为，半径圆心到公共弦的距离所以弦长为。故正确6.【答案】A【解答】解：若，且，则，故正确；若，且，则与平行或相交，故错误；若，且，则与平行或相交，所以错误；若，则，又由，则，故错误.故选.7.【答案】C【解答】解：圆可化为，圆心为，则，两点距离为，圆的半径为，最小值为.故选.8.【答案】D【解答】解：由三视图可知：该几何体是一个棱长和底面边长都是的正三棱柱砍去一个三棱锥得到的几何体故选9.【答案】A【解答】解：取，中点依次为，连接，则， 为异面直线与所成的角.正方形边
7、长为，则，在等腰直角三角形中， ， . 点为的中点， ，同理可得，. ， 是等腰直角三角形.又 点为的中点， .在中， 是等边三角形， ， .故选.10.【答案】A【解答】解：根据几何体的三视图，得该几何体是三棱锥，还原到长方体中，长方体的长宽高分别为，如图所示，因为长方体的外接球就是三棱锥的外接球，所以外接球的直径为长方体的体对角线的长度为：，所以外接球的半径为，则该几何体外接球的表面积为.故选.11.【答案】B【解答】解：由条件得圆，圆心，半径.因为，所以当取得最小值时，切线长有最小值.易知当时，有最小值为，所以的最小值为，所以.故选.12.【答案】B【解答】解：因为原点在圆上，若，则为圆
8、的直径，所以直线过圆心，故，得故选二、 填空题 （本题共计 4 小题 ，每题 5 分 ，共计20分 ） 13.【答案】【解答】可将直线化为，所以两条平行直线间的距离为，14.【答案】【解答】由题意，圆柱与圆锥的底面半径，圆柱与圆锥的高，则圆锥的母线长为，则圆锥的全面积为：；圆柱的全面积为： 圆锥的全面积与圆柱的全面积之比为：15.【答案】【解答】解：设点关于直线的对称点为，由题意可列得方程组：解得，则的最小值故答案为：16.【答案】【解答】解：取中点，中点，连接，如下图所示：因为为中点，为中点，则，所以，所以，四点共面根据正方形性质可知平面，而平面，所以.易得，可知，而，所以，即.因为，所以平
9、面，而平面，所以.为中点，为中点，由正方形和正方体性质可知，且，所以平面，而平面，所以.又因为，所以平面，即平面为平面与正方体的截面，正方体棱长为，所以的周长为：.故答案为：.三、 解答题 （本题共计 6 小题 ，共计70分 ） 17.【答案】证明：因为四边形是菱形，所以.又因为平面，平面，所以.又，平面，平面，故平面；解：因为，平面，因此.又，所以菱形的面积为，故四棱锥的体积.【解答】证明：因为四边形是菱形，所以.又因为平面，平面，所以.又，平面，平面，故平面；解：因为，平面，因此.又，所以菱形的面积为，故四棱锥的体积.18.【答案】证明：连结、，交于点，连结，底面是正方形， 是中点，点是的
10、中点，.平面，平面， 平面，点是的中点，.底面是正方形，侧棱底面， ，且， 平面， ，又， 平面， ，平面【解答】证明：连结、，交于点，连结，底面是正方形， 是中点，点是的中点，.平面，平面， 平面，点是的中点，.底面是正方形，侧棱底面， ，且， 平面， ，又， 平面， ，平面19.【答案】解：设线段的中点的坐标，由到，的距离相等，得，经整理得，又点在直线上，所以，解方程组得即点的坐标，所以直线恒过点.将点代入圆，可得，所以点在圆内，从而过点的直线与圆恒有两个交点当与直线垂直时，弦长最小，因为，所以直线的斜率为，所以直线的方程为：.【解答】解：设线段的中点的坐标，由到，的距离相等，得，经整理得
11、，又点在直线上，所以，解方程组得即点的坐标，所以直线恒过点.将点代入圆，可得，所以点在圆内，从而过点的直线与圆恒有两个交点当与直线垂直时，弦长最小，因为，所以直线的斜率为，所以直线的方程为：.20.【答案】解：由题得圆的半径为，所以圆的标准方程为. 点在直线上，可设，又，由题可知， ， ，解之得：，故所求点的坐标为或.斜率不存在时，直线的方程为：，此时直线与圆相离，所以舍去；斜率存在时，设直线的方程为：，由题知圆心到直线的距离为，即，解得或，故所求直线的方程为：或.【解答】解：由题得圆的半径为，所以圆的标准方程为. 点在直线上，可设，又，由题可知， ， ，解之得：，故所求点的坐标为或.斜率不存
12、在时，直线的方程为：，此时直线与圆相离，所以舍去；斜率存在时，设直线的方程为：，由题知圆心到直线的距离为，即，解得或，故所求直线的方程为：或.21.【答案】解：圆的方程可化为,圆的圆心为，半径为.设圆的标准方程为，由点与点关于直线对称，得解得：，因此圆的标准方程为.设直线与圆交于，两点.当直线的斜率不存在时，方程为，这时圆心到直线的距离，符合条件；当直线的斜率存在时，设其方程为，即，这时圆心到直线的距离：，因为，所以，解得：，这时直线的方程为,即.因此，直线的方程为或.由题意可知：直线过定点，所以定点在圆内，所以当直线与直线垂直时，弦长最短.因为，由，得，这时圆心到直线的距离即为：，所以弦长为
13、.【解答】解：圆的方程可化为,圆的圆心为，半径为.设圆的标准方程为，由点与点关于直线对称，得解得：，因此圆的标准方程为.设直线与圆交于，两点.当直线的斜率不存在时，方程为，这时圆心到直线的距离，符合条件；当直线的斜率存在时，设其方程为，即，这时圆心到直线的距离：，因为，所以，解得：，这时直线的方程为,即.因此，直线的方程为或.这时直线的方程为,即.因此，直线的方程为或.由题意可知：直线过定点，所以定点在圆内，所以当直线与直线垂直时，弦长最短.因为，由，得，这时圆心到直线的距离即为：，所以弦长为.22.【答案】证明：过作于点，则，以为原点，所在的直线分别为，轴建立如图所示的空间直角坐标系则， 为的中点 ，设平面的法向量为，则令，则， ，即，又平面 平面解：令，设， ， .由知，平面的法向量为. 直线与平面所成角的正弦值为， ，化简得，即， ， ，故【解答】证明：过作于点，则，以为原点，所在的直线分别为，轴建立如图所示的空间直角坐标系则， 为的中点 ，设平面的法向量为，则令，则， ，即，又平面 平面解：令，设， ， .由知，平面的法向量为. 直线与平面所成角的正弦值为， ，化简得，即， ， ，故