1、 专题3.2.2 函数的奇偶性（知识解读）【学习目标】（1） 借助函数图象，会用符号语言表达函数的奇偶性，了解函数奇偶性的概念 和几何意义；（2） 能判断函数是否具有奇偶性，并会用定义证明函数的奇偶性；（3）能利用函数的奇偶性解决一些简单的问题；【知识点梳理】考点1函数奇偶性的定义考点2 函数奇偶性的判定方法1.定义法：若函数的定义域不是关于原点对称，则可判断该函数既不是奇函数也不是偶函数；若函数的定义域是关于原点对称的，再判断与等于0，从而确定奇偶性；即（1）如果或，则函数为偶函数；（2）如果或，则函数为奇函数2. 图像法： 若函数图像关于原点对称，则函数为奇函数；若函数关于y轴对称，则函数
2、为偶函数考点3 用奇偶性求解析式如果已知函数的奇偶性和一个区间a，b上的解析式，想求关于原点的对称区间b，a上的解析式，其解决思路为：(1)“求谁设谁”，即在哪个区间上求解析式，x就应在哪个区间上设(2)要利用已知区间的解析式进行代入(3)利用f(x)的奇偶性写出f(x)或f(x)，从而解出f(x)考点4 奇偶性与单调性（1）若函数f(x)为奇函数，则f(x)在关于原点对称的两个区间a，b和b，a上具有相同的单调性；（2）若函数f(x)为偶函数，则f(x)在关于原点对称的两个区间a，b和b，a上具有相反的单调性【典例分析】【考点1 奇偶性的判断】【典例1】（2021全国高一专题练习）判断下列函
3、数的奇偶性：（1）；（2）；（3）；【变式1-1】（2021年湖南）（多选）下列函数既是偶函数，在上又是增函数的是（ ）ABCD【变式1-2】（2021湖北）（多选）下列函数中是偶函数，且在为增函数的是（ ）ABCD【变式1-3】（2021江苏高一开学考试）（多选）下列函数中，在定义域上既是奇函数，又是减函数的是（ ）ABCD【变式1-4】（2021广东高一期末）（多选）下列函数中，既是奇函数又是增函数的为（ ）ABCD【变式1-5】判断下列函数的奇偶性(1)；(2)；(3)；(4).【考点2 利用奇偶性求值】【典例2】已知函数，若，则的值为（ ）A B C D【变式2-1】已知函数为奇函数，
4、为偶函数，且，则（ ）A3 B4 C5 D6【变式2-1】已知，且，则（ ）A B C D【变式2-3】已知函数是奇函数，则_.【考点3 利用奇偶性求解析式】【典例3】（1）（2021辽宁高一月考）为定义在上的奇函数，当时，则时，（ ）ABCD（2）（2021新疆乌市八中高一月考）已知)是R上的奇函数，且当时，则的解析式_【变式3-1】已知是定义在上的奇函数，当时，则函数的解析式为_.【变式3-2】已知是定义在上的偶函数，且当时，则当时，_【变式3-3】（2021湖南省长沙县第九中学高一期末）已知函数是定义在R上的奇函数，当0时，则函数的解析式为_【考点4 奇偶性与单调性的综合运用】【典例4-
5、1】（2021浙江高一期末）下列函数中既不是奇函数也不是偶函数的是（ ）ABCD【典例4-2】（2021年广东）已知偶函数在区间上单调递增，则下列关系式成立的是（ ）ABCD【典例4-3】（2021辽宁高一期末）奇函数在内单调递减且，则不等式的解集为（ ）A BCD【变式4-1】已知函数f(x)的图象关于y轴对称，且f(x)在(，0上单调递减，则满足的实数x的取值范围是（ ）A B C D【变式4-2】已知函数为偶函数，当时，则的解集是（ ）A B C D【变式4-3】函数在单调递减，且为奇函数.若，则满足的x取值范围是（ ）A B C D【变式4-4】已知奇函数，是减函数，解不等式.【考点5
6、 抽象函数的性质】【典例5】（2021河北高一期中）已知函数对于任意实数总有,当时, .(1)求在上的最大值和最小值.(2)若有成立,求的取值范围.【变式5-1】（2021上海市西南位育中学高一期末）若函数对任意实数xy都有，则称其为“保积函数”.（1）请写出两个“保积函数”的函数解析式；（2）若“保积函数”满足，判断其奇偶性并证明；（3）对于（2）中的“保积函数”，若时，且，试求不等式的解集.【变式5-2】（2021安徽高一期末）已知定义在上的函数，满足：；为奇函数；，；任意的，.（1）判断并证明函数的奇偶性；（2）判断并证明函数在上的单调性.【变式5-3】（2021安徽高一期末）已知定义在
7、上的函数，满足：；任意的，.（1）求的值；（2）判断并证明函数的奇偶性.【变式5-4】（2021吉林高一期末）已知函数是定义在上的减函数，对于任意的都有，（1）求，并证明为上的奇函数；（2）若，解关于的不等式. 专题3.2.2 奇偶性（知识解读）【学习目标】（3） 借助函数图象，会用符号语言表达函数的奇偶性，了解函数奇偶性的概念 和几何意义；（4） 能判断函数是否具有奇偶性，并会用定义证明函数的奇偶性；（3）能利用函数的奇偶性解决一些简单的问题；【知识点梳理】考点1函数奇偶性的定义考点2 函数奇偶性的判定方法1.定义法：若函数的定义域不是关于原点对称，则可判断该函数既不是奇函数也不是偶函数；若
8、函数的定义域是关于原点对称的，再判断与等于0，从而确定奇偶性；即（1）如果或，则函数为偶函数；（2）如果或，则函数为奇函数3. 图像法： 若函数图像关于原点对称，则函数为奇函数；若函数关于y轴对称，则函数为偶函数考点3 用奇偶性求解析式如果已知函数的奇偶性和一个区间a，b上的解析式，想求关于原点的对称区间b，a上的解析式，其解决思路为：(1)“求谁设谁”，即在哪个区间上求解析式，x就应在哪个区间上设(2)要利用已知区间的解析式进行代入(3)利用f(x)的奇偶性写出f(x)或f(x)，从而解出f(x)考点4 奇偶性与单调性（1）若函数f(x)为奇函数，则f(x)在关于原点对称的两个区间a，b和b
9、，a上具有相同的单调性；（2）若函数f(x)为偶函数，则f(x)在关于原点对称的两个区间a，b和b，a上具有相反的单调性【典例分析】【考点1 奇偶性的判断】【典例1】（2021全国高一专题练习）判断下列函数的奇偶性：（1）；（2）；（3）；【答案】（1）非奇非偶函数；（2）奇函数；（3）偶函数【解答】（1）有意义，则，即，解得，所以函数的定义域为，不关于原点对称，因此函数是非奇非偶函数；（2）当时，；当时，.所以函数为奇函数；（3）由题意可得，所以且，所以函数的定义域为关于原点对称，又，所以函数为偶函数；【变式1-1】（2021年湖南）（多选）下列函数既是偶函数，在上又是增函数的是（ ）ABC
10、D【答案】AC【解答】对A， 开口向上，且对称轴为，所以是偶函数，在上是增函数，故A正确；对B，为奇函数，故B错误；对C，为偶函数，当时，为增函数，故C正确；对D，令，为偶函数，当，为减函数，故D错误，故选：AC【变式1-2】（2021湖北）（多选）下列函数中是偶函数，且在为增函数的是（ ）ABCD【答案】ACD【解答】根据题意，依次分析选项：对于，偶函数，且在为增函数，符合题意；对于，不是偶函数，不符合题意；对于，是偶函数，在上为增函数，故在为增函数，符合题意；对于，是偶函数，且在为增函数，符合题意；故选：【变式1-3】（2021江苏高一开学考试）（多选）下列函数中，在定义域上既是奇函数，又
11、是减函数的是（ ）ABCD【答案】AB【解答】因为，定义域为，且，所以函数是奇函数，设，则，所以时，又因为函数是奇函数，所以函数在上单调递减，故选项A正确；由函数的图像可知：函数关于原点对称且单调递减，故选项B正确；而选项中的函数是非奇非偶函数，故选项C错误；对于函数，定义域为，定义域关于原点对称，所以函数是奇函数，设，则，所以时，所以函数在上单调递增，又因为函数是奇函数，所以函数在上也单调递增，但是不满足题意.故选：AB.【变式1-4】（2021广东高一期末）（多选）下列函数中，既是奇函数又是增函数的为（ ）ABCD【答案】AC【解答】A. 因为，所以函数是奇函数，又 ，所以函数是增函数，故
12、正确；B. 由幂函数的性质得是减函数，故错误；C. 因为，所以函数是奇函数，又 都是增函数，所以函数是增函数，故正确；D. 由反比例函数的性质得在是减函数，故错误；故选：AC【变式1-5】判断下列函数的奇偶性(1)；(2)；(3)；(4).【解答】(1) ，定义域为，有，则函数为奇函数，(2)，定义域为，有，则函数为偶函数，(3)因为，所以，则有，解得，则函数定义域为，且，所以和同时成立，故既是奇函数又是偶函数，(4)，其定义域为，其定义域不关于原点对称，则是非奇非偶函数【考点2 利用奇偶性求值】【典例2】已知函数，若，则的值为（ ）A B C D【答案】B【解答】函数的定义域为，函数为奇函数
13、，则.故选：B.【变式2-1】已知函数为奇函数，为偶函数，且，则（ ）A3 B4 C5 D6【答案】A【解答】为奇函数，为偶函数，且，即，则，故选：A.【变式2-1】已知，且，则（ ）A B C D【答案】C【解答】由，得，设，则为奇函数，即，.故选：C【变式2-3】已知函数是奇函数，则_.【答案】【解答】对任意的，故函数的定义域为，因为函数为奇函数，则，解得.故答案为：.【考点3 利用奇偶性求解析式】【典例3】（1）（2021辽宁高一月考）为定义在上的奇函数，当时，则时，（ ）ABCD（2）（2021新疆乌市八中高一月考）已知)是R上的奇函数，且当时，则的解析式_【答案】（1）A（2）【解答
14、】（1）设，则，因为函数为定义在上的奇函数，且时，可得，即当时，.故选：A.（2）由题得，设，则，又是奇函数，故答案为：【变式3-1】已知是定义在上的奇函数，当时，则函数的解析式为_.【答案】【解答】因为是定义在上的奇函数,所以,当时,所以,当时,所以【变式3-2】已知是定义在上的偶函数，且当时，则当时，_【答案】【解答】根据题意，设，则，有，又由为偶函数，则，即【变式3-3】（2021湖南省长沙县第九中学高一期末）已知函数是定义在R上的奇函数，当0时，则函数的解析式为_【答案】【解析】设，所以，因为函数是定义在R上的奇函数，所以，所以.所以函数的解析式为.故答案为：【考点4 奇偶性与单调性的
15、综合运用】【典例4-1】（2021浙江高一期末）下列函数中既不是奇函数也不是偶函数的是（ ）ABCD【答案】D【解析】因为，是奇函数，是偶函数，故排除ABC，的定义域为，故既不是奇函数也不是偶函数，故选：D【典例4-2】（2021年广东）已知偶函数在区间上单调递增，则下列关系式成立的是（ ）ABCD【答案】B【解析】因为为偶函数，所以，又因为且在上单调递增，所以，所以，故选：B.【典例4-3】（2021辽宁高一期末）奇函数在内单调递减且，则不等式的解集为（ ）A BCD【答案】A【解答】因为函数在上单调递减，所以当时，当，又因为是奇函数，图象关于原点对称，所以在上单调递减，所以当时，当时，大致
16、图象如下，由得或，解得，或，或，故选：A.【变式4-1】已知函数f(x)的图象关于y轴对称，且f(x)在(，0上单调递减，则满足的实数x的取值范围是（ ）A B C D【答案】B【解答】由题意是偶函数，且在上单调递增，不等式可变为，解得故选：B【变式4-2】已知函数为偶函数，当时，则的解集是（ ）A B C D【答案】A【解析】当时，由得或，解得或，即所以不等式的解集为.故选：A.【变式4-3】函数在单调递减，且为奇函数.若，则满足的x取值范围是（ ）A B C D【答案】D【解答】为奇函数，.，.故由，得.又在单调递减，.故选：D【变式4-4】已知奇函数，是减函数，解不等式.【答案】【解答】
17、是奇函数由题意可得:，解之得:.不等式的解集为.【考点5 抽象函数的性质】【典例5】（2021河北高一期中）已知函数对于任意实数总有,当时, .(1)求在上的最大值和最小值.(2)若有成立,求的取值范围.【答案】（1）在上的最大值和最小值分别为和（2）【解答】(1)任取且,则,由时,得,由,得,所以在上是减函数；令可得,令可得,令得,解得,令可得,由单调性可得在上的最大值和最小值分别为和.(2)令可得,等价于,由函数的单调性可得,解得.即的取值范围是【变式5-1】（2021上海市西南位育中学高一期末）若函数对任意实数xy都有，则称其为“保积函数”.（1）请写出两个“保积函数”的函数解析式；（2
18、）若“保积函数”满足，判断其奇偶性并证明；（3）对于（2）中的“保积函数”，若时，且，试求不等式的解集.【答案】（1），(答案不唯一)（2）偶函数，证明见解析；（3）.【解答】（1）若，则，可得符合“保积函数”的定义，若，则，可得符合“保积函数”的定义，所以两个“保积函数”的函数解析式可以是，(答案不唯一)（2）函数是偶函数，令，则对任意实数xy都成立，所以“保积函数”满足，则是偶函数；（3），因为所以，设任意的，则，所以，所以，所以在是单调递增函数且是偶函数，所以不等式等价于，可得，解得，所以不等式的解集为【变式5-2】（2021安徽高一期末）已知定义在上的函数，满足：；为奇函数；，；任意的
19、，.（1）判断并证明函数的奇偶性；（2）判断并证明函数在上的单调性.【答案】（1）偶函数，证明见解析；（2）在上单调递增，证明见解析.【解答】（1）依题意，.，又因为的定义域为，所以函数为偶函数.（2）由知，即在上单调递增.【变式5-3】（2021安徽高一期末）已知定义在上的函数，满足：；任意的，.（1）求的值；（2）判断并证明函数的奇偶性.【答案】（1）1；（2）偶函数，证明见解析.【解答】（1）依题意，.（2）由（1）知，即，又因为的定义域为，所以函数为偶函数.【变式5-4】（2021吉林高一期末）已知函数是定义在上的减函数，对于任意的都有，（1）求，并证明为上的奇函数；（2）若，解关于的不等式.【答案】（1），证明见解析；（2）.【解答】（1）令，则有令，则有即所以为上的奇函数（2）令，则有所以不等式化为由于为上的奇函数，所以所以因此不等式进一步化为已知函数是定义在上的减函数所以有，解得因此不等式的解集为
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