1、专题3.19 完全平方公式（知识讲解）【学习目标】1. 掌握平方差公式、完全平方公式的结构特征，并能从广义上理解公式中字母的含义；2. 学会运用平方差公式、完全平方公式进行计算.了解公式的几何意义，能利用公式进行乘法运算；3. 能灵活地运用运算律与乘法公式简化运算.【要点梳理】要点一、完全平方公式完全平方公式：两数和 (差)的平方等于这两数的平方和加上（减去）这两数乘积的两倍.特别说明：公式特点：左边是两数的和（或差）的平方，右边是二次三项式，是这两数的平方和加（或减）这两数之积的2倍.以下是常见的变形： 要点二、添括号法则添括号时，如果括号前面是正号，括到括号里的各项都不变符号；如果括号前面
2、是负号，括到括号里的各项都改变符号.特别说明：添括号与去括号是互逆的，符号的变化也是一致的，可以用去括号法则检查添括号是否正确.要点三、补充公式； ；.【典型例题】类型一、完全平方公式运算化简求值1（2021春八年级课时练习）运用乘法公式计算：（1）；（2）；（3）； （4）【答案】（1）；（2）；（3）；（4）【分析】（1）根据平方差公式，可得答案；（2）根据平方差公式，再根据完全平方公式，可得答案；（3）根据完全平方公式，可得答案；（4）根据平方差公式，再根据完全平方公式，可得答案解：（1）原式（3x5）（2x7）（3x5）（2x7）（3x52x7）（3x52x7）（5x2）（x12）；（
3、2）原式（xy）1（xy）11；（3）原式 6（2xy）9；（4）原式 【点拨】本题考查了完全平方公式，利用了平方差公式，完全平方公式，熟练掌握平方差公式及完全平方公式是解题关键举一反三：【变式1】（2022春八年级课时练习）利用平方差公式或完全平方公式计算：(1) ； (2) 【答案】(1)9801(2)【分析】（1）应用完全平方公式进行计算即可得出答案；（2）应用平方差公式和完全平方公式进行计算即可得出答案解：（1）原式；（2）原式【点拨】本题主要考查了平方差公式和完全平方公式，熟练掌握平方差公式和完全平方公式进行求解是解决本题的关键【变式2】（2022春八年级课时练习）利用平方差公式、完
4、全平方公式计算：(1) ; (2)【答案】(1)9960.04； (2)【分析】（1）将原式变形为完全平方公式求解即可；（2）将原式变形为平方差公式的形式，然后利用平方差公式及完全平方公式求解即可（1）解：；（2）【点拨】题目主要考查利用完全平方公式与平方差公式进行计算，熟练掌握各个运算公式是解题关键类型二、完全平方公式完全平方公式的变形公式运算化简求值2（2022春八年级课时练习）利用完全平方公式，可以解决很多的数学问题例如：若，求的值解：图为，所以，所以所以得根据上面的解题思路与方法，解决下列问题：(1) 若，求的值；(2) 若，求的值【答案】(1)12(2)4046【分析】（1）利用完全
5、平方公式的变形计算求解；（2）设2022-x=a，x-2020=b，然后利用完全平方公式的变形计算求解（1）解：x-y=4，（x-y）2=16，即x2-2xy+y2=16又x2+y2=40，40-2xy=16，解得xy=12，答：xy的值是12；（2）解：设2022-x=a，x-2020=b，则a+b=2（2022-x）（x-2020）=-2021，ab=-2021，把2022-x=a，x-2020=b，a+b=2代入得，（2022-x）2+（x-2020）2=（a+b）2-2ab=22-2（-2021）=4+4042=4046【点拨】本题主要考查完全平方公式的适当变形灵活应用，掌握完全平方公
6、式的结构特点是解题关键举一反三：【变式1】（2022春八年级课时练习）已知mn6，mn4(1) 求m2+n2的值(2) 求（m+2）（n2）的值【答案】(1)44(2)-12【分析】（1）利用完全平方公式变形计算可得；（2）根据多项式乘以多项式法则去括号，再代入计算（1）解：mn6，mn4m2+n2=（m-n）2+2mn=62+24=44；（2）mn6，mn4（m+2）（n2）=mn-2m+2n-4=mn-2（m-n）-4=4-26-4=-12【点拨】此题考查了利用完全平方公式的变形计算，多项式乘以多项式计算法则，正确掌握各计算法则和公式是解题的关键【变式2】（2022春八年级课时练习）已知，
7、求下列式子的值：(1) ； (2) 【答案】(1) (2)【分析】（1）将化为，再代入求值即可；（2）先求的值，再将化简，代入求值即可（1）解：（2）由，可得即【点拨】本题考查了完全平方公式的变形的逆用，解题的关键是不求a，b的值，利用完全平方公式的整体变换求值类型三、完全平方公式完全平方公式参数运算求值3（2021春八年级课时练习）已知是完全平方式，求m的值【答案】【分析】利用完全平方公式化简即可求出m的值解：4x2+mx+9是完全平方式，m=223=12，【点拨】本题考查完全平方式，解题的关键是熟练运用完全平方公式举一反三：【变式1】（2019秋七年级课时练习）已知a2-8a+k是完全平方
8、式，试问k的值.已知x2+mx+9是完全平方式，求m的值.【答案】k=16； m=6.【分析】设m2=k，由a2-8a+k是完全平方式，即可得m=4，进而得到k的值；先根据两平方项确定出这两个数，再根据完全平方公式的乘积二倍项即可确定m的值解：设m2=k；因为a2-8a+k是完全平方式，所以a2-8a+m2=(a-m)2= a2-2ma+m2,所以8a=2ma,解得m=4,所以k=16；因为x2+mx+9是完全平方式，所以x2+mx+9=(x3)2,所以m=6.【点拨】本题主要考查了完全平方式，根据平方项确定出这两个数是解题的关键，也是难点，熟记完全平方公式对解题非常重要【变式2】（2018秋
9、七年级单元测试）如果多项式9x21加上一个单项式M后能成为一个完全平方式，求这个单项式M.【答案】M1或M9x2或M6x或Mx4.【分析】先分完全平方式是单项式还是多项式，再分9x2是平方项与乘积二倍项分情况讨论，根据完全平方公式解答即可解：当这个完全平方式是一个单项式的平方时，则9x21M是一个单项式，所以M1或M9x2.当这个完全平方式是一个二项式的平方时,a.当这个完全平方式形如M9x21时，即9x2为两数乘积为2倍，因为9x22x21，所以Mx4,b.当这个完全平方式形如9x2M1时，即M为两数乘积的2倍，因为9x2(3x)2，所以M23x16x,c.当这个完全平方式形如9x21M时，
10、即1为两数乘积的2倍，此时M不是一个整式，所以这种情况不存在综上所述，M1或M9x2或M6x或Mx4.【点拨】本题是完全平方公式的应用，两数的平方和，再加上或减去它们积的2倍，就构成了一个完全平方式此题解题的关键是要分情况讨论求解类型三、完全平方公式图形问题运算化简求值4（2022春辽宁大连八年级大连市第三十四中学校考期末）图1是一个长为，宽为的长方形，沿图中虚线用剪刀均分成四块小长方形，然后按图2形状拼成一个正方形(1) 图2中阴影部分的正方形的边长是_；（用含a、b的式子表示）(2) 观察图2，用一个等式表示下列三个整式：、ab之间的等量关系；(3) 根据（2）问中的等量关系，解决如下问题
11、：若，求的值【答案】(1) (2) (3) 4或【分析】（1）根据图中给出的数据即可求得图乙中阴影部分正方形边长；（2）用两种不同方式求得阴影部分面积可得关于、ab的等式；（3）根据（2）中结论即可解题解：（1）图中阴影部分边长为，故答案为：；（2）用两种不同的方法表示阴影的面积：方法一：阴影部分为边长的正方形，故面积；方法二：阴影部分面积为边长的正方形面积四个以为长、b为宽的个长方形面积；（3）；，或【点拨】本题考查了完全平方公式的计算，考查了正方形面积计算，本题中求得是解题的关键举一反三：【变式1】（2020春江苏扬州七年级校联考期中）图是一个长为，宽为的长方形，沿图中虚线用剪刀均分成四块
12、小长方形，然后按图的方法拼成一个边长为的正方形(1) 请用两种不同的方法求图中阴影部分的面积方法： ；方法： (2) 观察图写出，三个代数式之间的等量关系： (3) 根据（）中你发现的等量关系，解决如下问题：若，求的值【答案】(1)，(2)(3)【分析】（1）一种方法是先用m、n表示出阴影部分边长，再用正方形面积公式表示；另一种方法是先表示出大正方形面积和四个长方形的面积，用大正方形面积减去四个长方形的面积表示出阴影部分面积；（2），三个代数式别表示大正方形，小正方形和长方形面积，由图知大正方形面积-四个长方形面积=小正方形面积，可得它们之间的关系；（3）由（2）得出的关系式变形，再代入求值即
13、可得结果解：（1）根据图形可得：方法：；方法：故答案为：，（2）由阴影部分的两个面积代数式相等，可得： 故答案为：（3），【点拨】本题主要考查完全平方差公式和完全平方和公式的联系，会用代数式表示图形面积是解决问题的关键；两数的完全平方和比它们的完全平方差多了两数积的4倍，该结论经常用到【变式2】（2022春全国八年级专题练习）数学活动课上，老师准备了若干个如图1的三种纸片，A种纸片是边长为a的正方形，B种纸片是边长为b的正方形，C种纸片是长为a、宽为b的长方形，并用A种纸片一张，B种纸片一张，C种纸片两张拼成如图2的大正方形(1) 观察图2，请你写出下列三个代数式：，之间的等量关系；(2) 若
14、要拼出一个面积为的矩形，则需要A号卡片1张，B号卡片2张，C号卡片_张；(3) 根据（1）题中的等量关系，解决如下问题：已知：，求的值；已知，求的值【答案】(1)；(2) 3；(3) 7；【分析】（1）用两种方法表示拼成的大正方形的面积，即可得出，三者的关系；（2）计算的结果为，因此需要A号卡片1张，B号卡片2张，C号卡片3张；（3）根据题（1）公式计算即可；令，从而得到，代入计算即可（1）解：大正方形的面积可以表示为：，或表示为：；（2）解：，需要A号卡片1张，B号卡片2张，C号卡片3张，故答案为：3；（3）解：，即的值为7；令，【点拨】本题考查完全平方公式的意义和应用，用不同的方法表示面积
15、是得出等量关系的关键中考真题专练【1】（2022浙江金华统考中考真题）如图1，将长为，宽为的矩形分割成四个全等的直角三角形，拼成“赵爽弦图”（如图2），得到大小两个正方形(1) 用关于a的代数式表示图2中小正方形的边长(2) 当时，该小正方形的面积是多少？【答案】(1)(2)36【分析】（1）分别算出直角三角形较长的直角边和较短的直角边，再用较长的直角边减去较短的直角边即可得到小正方形面积；（2）根据（1）所得的小正方形边长，可以写出小正方形的面积代数式，再将a的值代入即可（1）解：直角三角形较短的直角边，较长的直角边，小正方形的边长；（2）解：，当时，【点拨】本题考查割补思想，属性结合思想，
16、以及整式的运算，能够熟练掌握割补思想是解决本题的关键【2】（2018浙江衢州统考中考真题）有一张边长为a厘米的正方形桌面，因为实际需要，需将正方形边长增加b厘米，木工师傅设计了如图所示的三种方案：小明发现这三种方案都能验证公式：a2+2ab+b2=（a+b）2，对于方案一，小明是这样验证的：a2+ab+ab+b2=a2+2ab+b2=（a+b）2请你根据方案二、方案三，写出公式的验证过程方案二：方案三：【答案】见分析【分析】根据题目中的图形可以分别写出方案二和方案三的推导过程，本题得以解决解：由题意可得：方案二：a2+ab+（a+b）b=a2+ab+ab+b2=a2+2ab+b2=（a+b）2，方案三：a2+=a2+2ab+b2=（a+b）2【点拨】本题考查了完全平方公式的几何背景，解答本题的关键是明确题意，写出相应的推导过程【3】（2022湖北荆门统考中考真题）已知x+3，求下列各式的值：(1)（x）2； (2) x4+【答案】(1)5 (2) 47【分析】（1）由、，进而得到4x即可解答；（2）由可得=7，又，进而得到2即可解答（1）解：4x3245（2）解：，+25+27，249247【点拨】本题主要考查通过对完全平方公式的变形求值熟练掌握完全平方公式并能灵活运用是解答本题的关键
