1、专题3.16 平方差公式（知识讲解）【学习目标】1. 掌握平方差公式结构特征，并能从广义上理解公式中字母的含义；2. 学会运用平方差公式进行计算.了解公式的几何意义，能利用公式进行乘法运算；3. 能灵活地运用运算律与乘法公式简化运算.【要点梳理】要点一、平方差公式两个数的和与这两个数的差的积，等于这两个数的平方差.特别说明：在这里，既可以是具体数字，也可以是单项式或多项式. 抓住公式的几个变形形式利于理解公式.但是关键仍然是把握平方差公式的典型特征：既有相同项，又有“相反项”，而结果是“相同项”的平方减去“相反项”的平方.常见的变式有以下类型：（1）位置变化：如利用加法交换律可以转化为公式的标
2、准型（2）系数变化：如（3）指数变化：如（4）符号变化：如（5）增项变化：如（6）增因式变化：如要点二、添括号法则添括号时，如果括号前面是正号，括到括号里的各项都不变符号；如果括号前面是负号，括到括号里的各项都改变符号.特别说明：添括号与去括号是互逆的，符号的变化也是一致的，可以用去括号法则检查添括号是否正确.【典型例题】类型一、平方差公式运算化简求值1（2022春八年级课时练习）计算：（1）； （2）； （3）【答案】（1）； （2）； （3）【分析】（1）、（2）直接根据平方差公式计算求解即可；（3）变形后运用平方差公式求解即可解：（1）原式（2）原式（3）原式【点拨】本题考查平方公式的运
3、用，理解并熟练运用平方差公式是解题关键举一反三：【变式1】（2022春江苏九年级统考期中）已知，求的值【答案】；【分析】先去括号，再合并同类项，然后把代入化简后的式子进行计算即可解答解： ，当时，原式【点拨】本题考查了整式的混合运算化简求值，准确熟练地进行计算是解题的关键【变式2】（2022春上海嘉定七年级统考期中）计算：【答案】【分析】根据平方差公式和单项式乘多项式法则去括号，再合并同类项即可求解解：原式=【点拨】本题主要考查整式的混合运算，掌握平方差公式单项式乘多项式法则，合并同类项法则是关键类型二、平方差公式简便运算化简求值2（2022春八年级课时练习）用乘法公式计算：(1) 4039；
4、 （2）【答案】(1)1599 (2) 2012【分析】（1）根据平方差公式即可化简运算（2）把20132011利用平方差公式计算，再进一步计算化简即可解：（1）4039（40+）（40）16001599；（2）2012【点拨】本题考查了平方差公式的应用，关键是能把原式化成符合平方差公式的形式举一反三：【变式1】（2022春全国八年级专题练习）简便计算：(1) ； （2）【答案】(1)150 (2)【分析】（1）根据平方差公式进行计算即可；（2）根据平方差公式进行计算即可（1）解：；（2）解：【点拨】本题主要考查了利用平方差公式进行计算，解题的关键是熟练掌握平方差公式【变式2】（2022春全国
5、八年级期末）用简便方法计算：(1) ；(2) ；(3) ；【答案】(1) (2) (3)1【分析】（1）将式子运用平方差公式进行变形即可得；（2）先将前两项运用平方差公式进行变形，计算得出结果后再运用平方差公式进行变形计算即可得；（3）先将后两项运用平方差公式进行变形，再计算乘法，进行（1）解：原式=；（2）解：原式=；（3）解：原式=1【点拨】本题考查了简便运算，解题的关键是掌握平方差公式类型三、平方差公式几何图形化简求值3（2022春全国八年级专题练习）探究活动：(1) 如图，可以求出阴影部分的面积是 （写成两数平方差的形式）(2) 如图，若将阴影部分裁剪下来，重新拼成一个长方形，面积是
6、（写成多项式乘法的形式）(3) 比较图、图阴影部分的面积，可以得到公式 【答案】(1) (2) (3)【分析】（1）图的面积为两个正方形的面积差，即；（2）拼成的长方形的长为，宽为，可表示面积；（3）由（1）（2）所表示的面积相等可得等式（1）解：根题意可得，故答案为：；（2）解：根据题意可得，长方形的长为，宽为，故答案为：；（3）解：，即故答案为：【点拨】本题考查平方差公式，掌握平方差公式的结构特征是正确应用的前提举一反三：【变式1】（2022春山西大同八年级大同市第三中学校校考阶段练习）综合与实践如图1所示，边长为的正方形中有一个边长为的小正方形，图2是由图1中阴影部分拼成的一个长方形，设
7、图1中阴影部分面积为，图2中阴影部分面积为(1) 请直接用含和的代数式表示_， _；写出利用图形的面积关系所得到的公式：_（用式子表达）(2) 依据这个公式，康康展示了“计算：”的解题过程解：原式在数学学习中，要学会观察，尝试从不同角度分析问题，请仿照康康的解题过程计算：(3) 对数学知识要会举一反三，请用（1）中的公式证明任意两个相邻奇数的平方差必是8的倍数【答案】(1)； ； (2) (3)证明见详解【分析】（1）根据图形可知，根据两个面积相等即可求解；（2）根据康康的演示，可知将代入，即可求解；（3）根据（1）中结论，即可求解（1）解：根据题意，故答案为：；（2）解：，故答案为：（3）解
8、：设一个奇数为，则另一个相邻的奇数为，任意两个相邻奇数的平方差必是8的倍数【点拨】本题主要考查平方差公式的运算，掌握有理数的加减乘除混合运算法则是解题的关键【变式2】（2022春四川眉山七年级校考期中）如图（1）所示，边长为a的正方形中有一个边长为的小正方形，如图（2）所示是由图（1）中的阴影部分拼成的一个长方形(1) 设图（1）中阴影部分的面积为，图（2）中阴影部分的面积为，请直接用含a，b的式子表示_；_；写出上述过程所揭示的等式：_（用a，b表示）(2) 直接应用：利用这个等式计算：；(3) 拓展应用：试利用这个公式求下面代数式的结果：【答案】(1)，(2)；(3)【分析】（1）分别用代
9、数式表示图1、图2中阴影部分的面积即可；（2）利用平方差公式进行计算即可；（3）配上因式后，连续利用平方差公式进行计算，得出答案（1）解：图（1）中阴影部分的面积可以看作两个正方形的面积差，即，图（2）中阴影部分是长为，宽为的长方形，因此其面积为，由于图1、图2阴影部分的面积相等可得，故答案为：，；（2）解：；（3）解：【点拨】本题考查平方差公式、完全平方公式的几何背景，用代数式表示图1、图2中阴影部分的面积是正确解答的前提类型三、平方差公式应用化简求值4（2022贵州六盘水统考中考真题）如图，学校劳动实践基地有两块边长分别为，的正方形秧田，其中不能使用的面积为(1) 用含，的代数式表示中能使
10、用的面积_；(2) 若，求比多出的使用面积【答案】(1)(2)50【分析】（1）利用正方形秧田的面积减去不能使用的面积即可得；（2）先求出中能使用的面积为，再求出比多出的使用面积为，利用平方差公式求解即可得（1）解：中能使用的面积为，故答案为：（2）解：中能使用的面积为，则比多出的使用面积为，答：比多出的使用面积为50【点拨】本题考查了列代数式、平方差公式与图形面积，熟练掌握平方差公式是解题关键举一反三：【变式1】（2021湖北宜昌统考中考真题）从前，古希腊一位庄园主把一块边长为米（）的正方形土地租给租户张老汉第二年，他对张老汉说：“我把这块地的一边增加6米，相邻的另一边减少6米，变成矩形土地
11、继续租给你，租金不变，你也没有吃亏，你看如何？”如果这样，你觉得张老汉的租地面积会（）A没有变化B变大了C变小了D无法确定【答案】C【分析】分别求出2次的面积，比较大小即可解：原来的土地面积为平方米，第二年的面积为 所以面积变小了，故选C【点拨】本题考查了列代数式，整式的运算，平方差公式，代数式大小的比较，正确理解题意列出代数式并计算是解题的关键【变式2】（2020湖南郴州统考中考真题）如图，将边长为的大正方形剪去一个边长为的小正方形（阴影部分），并将剩余部分沿虚线剪开，得到两个长方形，再将这两个长方形拼成图所示长方形这两个图能解释下列哪个等式（ ）ABCD【答案】B【分析】利用大正方形的面积减去小正方形的面积得到空白部分的面积，然后根据面积相等列出等式即可解：由图可知，图1的面积为：x2-12，图2的面积为：（x+1）（x-1），所以x2-1=（x+1）（x-1）故选：B【点拨】本题考查了平方差公式的几何背景，正确用两种方法表示空白部分的面积是解决问题的关键
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