1、第十二章 复数、算法、推理与证明第四节 直接证明与间接证明栏目导航123课 堂 考 点 突 破课 时 跟 踪 检 测课 前 基 础 巩 固最新考纲考情分析核心素养1.了解直接证明的两种基本方法分析法和综合法；了解分析法和综合法的思考过程和特点.2.了解反证法的思考过程和特点.本节主要内容是直接证明的方法综合法和分析法，间接证明的方法反证法，它常以立体几何中的证明及相关选修内容中平面几何，不等式的证明为载体加以考查，注意提高分析问题、解决问题的能力；在高考中主要以解答题的形式考查，难度中档.逻辑推理课 前 基 础 巩 固 1知识梳理1直接证明内容综合法分析法定义利用已知条件和某些数学定义、公理、
2、定理等，经过一系列的推理论证，最后推导出所要证明的结论成立从要证明的结论出发，逐步寻求使它成立的 1 _条件，直到最后把要证明的结论归结为判定一个明显成立的条件(已知条件、定理、定义、公理等)为止充分内容综合法分析法实质由因导果执果索因框图表示PQ1 Q1Q2 QnQQP1 P1P2 得到一个明显成立的条件 文字语言因为所以或由得要证只需证即证2.间接证明间接证明是不同于直接证明的又一类证明方法，反证法是一种常用的间接证明方法(1)反证法的定义：假设原命题 2 _(即在原命题的条件下，结论不成立)，经过正确的推理，最后得出矛盾，因此说明假设错误，从而证明了 3 _的证明方法(2)用反证法证明的
3、一般步骤：反设假设命题的结论不成立；归谬根据假设进行推理，直到推出矛盾为止；结论断言假设不成立，从而肯定原命题的结论成立不成立原命题成立常用结论1分析法是执果索因，实际上是寻找使结论成立的充分条件；综合法是由因导果，就是寻找已知的必要条件2综合法和分析法都是直接证明的方法，反证法是间接证明的方法3用反证法证题时，首先否定结论，否定结论就是找出结论的反面的情况，然后推出矛盾，矛盾可以与已知、公理、定理、事实或者假设等相矛盾基础自测一、疑误辨析1判断下列结论的正误(正确的打“”，错误的打“”)(1)分析法是从要证明的结论出发，逐步寻找使结论成立的充要条件()(2)用反证法证明结论“ab”时，应假设
4、“ab”()(3)反证法是指将结论和条件同时否定，推出矛盾()(4)在解决问题时，常用分析法寻找解题的思路与方法，再用综合法展现解决问题的过程()解析：(1)分析法是从要证明的结论出发，逐步寻找使结论成立的充分条件(2)应假设“ab”(3)反证法只否定结论 答案：(1)(2)(3)(4)二、走进教材2(选修 12P42 练习 T1 改编)对于任意角，化简 cos4sin4()A2sin B2cos Csin 2Dcos 2解析：选 D 因为 cos4sin4(cos2sin2)(cos2sin2)cos2sin2cos 2.故选 D.3(选修 12P42 练习 T2 改编)若 P a6 a7，
5、Q a8 a5(a0)，则P，Q 的大小关系是()APQBPQCPQ，只需证 P2Q2，即 2a132（a6）（a7）2a132（a8）（a5），只需证（a6）（a7）（a8）（a5），即只需证a213a42a213a40.因为 4240 成立，所以 PQ 成立故选 A.三、易错自纠4设 a，b，c 都是正数，则 a1b，b1c，c1a三个数()A都大于 2 B都小于 2C至少有一个不大于 2 D至少有一个不小于 2解析：选 D 因为a1b b1c c1a a1a b1b c1c 6，当且仅当 abc1 时取等号，所以三个数中至少有一个不小于 2.故选 D.5利用反证法证明“已知 a0，b0，
6、ab2，证明1ba，1ab 中至少有一个小于2”时的假设是_解析：假设1ba，1ab 都不小于 2，则1ba 2 且1ab 2.答案：1ba 2 且1ab 26若用分析法证明“设 abc 且 abc0，求证 b2ac0；ac0；(ab)(ac)0；(ab)(ac)bc 且 abc0，可得 bac，a0，c0，要证 b2ac 3a，只需证(ac)2ac0，即证 a(ac)(ac)(ac)0，即证(ac)(ab)0.答案：课 堂 考 点 突 破2考点 综合法的应用|题组突破|1在平行六面体 ABCDA1B1C1D1 中，AA1AB，AB1B1C1.求证：(1)AB平面 A1B1C；(2)平面 AB
7、B1A1平面 A1BC.证明：(1)在平行六面体 ABCDA1B1C1D1 中，ABA1B1.又 AB平面 A1B1C，A1B1平面 A1B1C，所以 AB平面 A1B1C.(2)在平行六面体 ABCDA1B1C1D1 中，四边形 ABB1A1 为平行四边形又因为 AA1AB，所以四边形 ABB1A1 为菱形，因此 AB1A1B.因为 AB1B1C1，BCB1C1，所以 AB1BC.又因为 A1BBCB，A1B平面 A1BC，BC平面 A1BC，所以 AB1平面 A1BC.因为 AB1平面 ABB1A1，所以平面 ABB1A1平面 A1BC.2(一题多解)在ABC 中，设 a，b，c 分别是内
8、角 A，B，C 所对的边，直线 bxycos Acos B0 与 axycos Bcos A0 平行，求证：ABC 是直角三角形证明：证法一：由两直线平行可知 bcos Bacos A0，由正弦定理可知 sin Bcos Bsin Acos A0，即12sin 2B12sin 2A0，故 2A2B 或 2A2B，即 AB 或 AB2.若 AB，则 ab，cos Acos B，两直线重合，不符合题意，故 AB2，即ABC是直角三角形证法二：由两直线平行可知 bcos Bacos A0，由余弦定理，得 ba2c2b22acab2c2a22bc，所以 a2(b2c2a2)b2(a2c2b2)，所以
9、c2(a2b2)(a2b2)(a2b2)，所以(a2b2)(a2b2c2)0，所以 ab 或 a2b2c2.若 ab，则两直线重合，不符合题意，故 a2b2c2，即ABC 是直角三角形名师点津 综合法的证题思路(1)综合法是“由因导果”的证明方法，它是一种从已知到未知(从题设到结论)的逻辑推理方法，即从题设中的已知条件或已证的真实判断(命题)出发，经过一系列中间推理，最后导出所要求证结论的真实性(2)综合法的逻辑依据是三段论式的演绎推理考点一 分析法【例 1】已知函数 f(x)3x2x，试证：对于任意的 x1，x2R，均有f（x1）f（x2）2fx1x22.证明 要证明f（x1）f（x2）2f
10、x1x22，即证明（3x12x1）（3x22x2）23x1x22 2x1x22，因此只要证明3x13x22(x1x2)3x1x22(x1x2)，即证明3x13x223x1x22，因此只要证明3x13x223x13x2.由于 x1，x2R 时，3x10，3x20，由基本不等式知3x13x223x13x2，显然成立，故原结论成立名师点津 分析法的证题思路先从结论入手，由此逐步推出保证此结论成立的充分条件，而当这些判断恰恰都是已证的命题(定义、公理、定理、法则、公式等)或要证命题的已知条件时命题得证提醒 要注意书写格式的规范性|跟踪训练|1已知ABC 的三个内角 A，B，C 成等差数列，A，B，C
11、的对边分别为 a，b，c.求证：1ab 1bc3abc.证明：要证 1ab 1bc3abc，即证abcab abcbc 3，也就是证 cab abc1，只需证 c(bc)a(ab)(ab)(bc)，需证 c2a2acb2.又ABC 的三内角 A，B，C 成等差数列，故 B60，由余弦定理，得 b2c2a22accos 60，即 b2c2a2ac，故 c2a2acb2 成立于是原等式成立考点二 反证法【例 2】已知等差数列an的前 n 项和为 Sn，a11 2，S393 2.(1)求数列an的通项 an 与前 n 项和 Sn.(2)设 bnSnn(nN*)，求证：数列bn中任意不同的三项都不可能
12、成为等比数列解(1)由已知得a1 21，3a13d93 2，所以 d2，故 an2n1 2，Snn(n 2)(2)证明：由(1)得 bnSnn n 2.假设数列bn中存在三项 bp，bq，br(p，q，rN*，且互不相等)成等比数列，则 b2qbpbr，即(q 2)2(p 2)(r 2)，所以(q2pr)2(2qpr)0.因为 p，q，rN*，所以q2pr0，2qpr0，所以pr22pr，(pr)20，所以 pr.与 pr 矛盾所以数列bn中任意不同的三项都不可能成为等比数列名师点津 1适用范围：当一个命题的结论是以“至多”“至少”“唯一”或以否定形式出现时，宜用反证法来证2关键：在正确的推理下得出矛盾，矛盾可以是与已知条件矛盾，与假设矛盾，与定义、公理、定理矛盾，与事实矛盾等，推导出的矛盾必须是明显的|跟踪训练|2设 a0，b0，ab1a1b.证明：(1)ab2；(2)a2a2 与 b2b0，b0)，得 ab1.(1)由基本不等式及 ab1，得 ab2 ab2，即 ab2.(2)假设 a2a2 与 b2b2 同时成立，则由 a2a0，得 0a1；同理，0b1，从而 ab1，这与 ab1 矛盾故 a2a2 与 b2b2 不可能同时成立点此进入该word板块课 时 跟 踪 检 测3谢 谢 观 看 THANKS