1、专题3.1 函数的概念（知识解读）【学习目标】1 通过现实生活中丰富的实例，让学生了解函数概念产生的背景，进一步体会函数是描述变量之间的依赖关系的重要数学模型，在此基础上学习用集合与对应的语言来刻画函数的概念，掌握函数是特殊的数集之间的对应； 2 了解构成函数的要素，理解函数的定义域、值域的定义，会求一些简单函数的定义域和值域； 3 通过教学，逐步培养学生由具体逐步过渡到符号化，代数式化，并能对以往学习过的知识进行理性化思考，对事物间的联系的一种数学化的思考【知识点梳理】考点1 函数的概念1函数的定义设A、B是非空的数集，如果按照某个确定的对应关系，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有
2、唯一确定的数和它对应，那么就称为从集合A到集合B的一个函数.记作：，2函数的三要素：（1）对应关系：，（2）定义域：x的取值范围A（3）值域.：与x的值相对应函数值的集合，【注意】：（1） A、B集合的非空性；（2） 对应关系的存在性、唯一性、确定性；（3） A中元素的无剩余性；（4） （4）B中元素的可剩余性。3区间的概念(1)区间的分类：开区间、闭区间、半开半闭区间；(2)无穷区间；(3)区间的数轴表示区间表示： ； ； .【解读】(1)对于一元二次不等式的二次项系数为正且存在两个根的情况下，其解集的常用口诀是：大于取两边，小于取中间(2)对于二次项系数是负数(即a0)的不等式，可以先把二
3、次项系数化为正数，再对照上述情况求解考点2 函数的表示法1.函数的三种表示方法：（1）解析法：用数学表达式表示两个变量之间的对应关系 优点：简明，给自变量求函数值.（2）图象法：用图象表示两个变量之间的对应关系 优点：直观形象，反应变化趋势.（3）列表法：列出表格来表示两个变量之间的对应关系 优点：不需计算就可看出函数值.2.分段函数概念：一般地，分段函数就是在函数定义域内，对于自变量x的不同取值范围，有不同的对应关系的函数定义域值域：分段函数是一个函数，其定义域、值域分别是各段函数的定义域、值域的并集；各段函数的定义域的交集是空集考点3 函数定义域的求法确定函数定义域的原则当函数是以解析式的
4、形式给出时，其定义域就是使函数解析式有意义的自变量的取值的集合.具体地讲，就是考虑（1）分母不为零，（2）偶次根号的被开方数、式大于或等于零，（3）零次幂的底数不为零以及我们在后面学习时碰到的所有有意义的限制条件.【注意】：求函数的定义域，一般是转化为解不等式或不等式组的问题，注意定义域是一个集合，其结果必须用集合或区间来表示.【解题思路】【典例分析】【考点1 区间的表示】【典例1】（2021广东湛江）用区间表示下列数集：（1）； （2）；（3）； （4）R；（5）； （6）【变式1-1】（2021安徽）已知为一个确定的区间，则a的取值范围是_.【变式1-2】（2021广东潮州）用区间表示下列
5、集合：（1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）.【考点2 函数的判断】【典例2-1】（2021秋岳阳期中）下列各图中，可表示函数yf（x）的图象的是（）ABCD【典例2-2】（2020秋镇海区校级期末）设Mx|0x2，Ny|0y2，给出下列四个图形，其中能表示从集合M到集合N的函数关系的是（）ABCD【变式2-1】（2022四川南充高一期末）下列各图中，可表示函数的图象的是（）ABCD【变式2-2】（2022全国高一）下列图象中不能作为函数图象的是（ ）ABCD【变式2-3】（2021全国高一课时练习）有对应法则f：（1）A0，2，B0，1，x；（2）A2，0，2，B4，xx2；（3）A
6、R，By|y0，x；（4）AR，BR，x2x1；（5）A(x，y)|x，yR，BR，(x，y)xy.其中能构成从集合A到集合B的函数的有_(填序号)【考点3 函数的定义域】【典例3-1】（2021秋建华区校级期中）函数f（x）的定义域为（）A（，2）（2，+）B（，2）（2，2）C（，2）D（，2）【典例3-2】（2020秋迎江区校级期中）已知函数f（2x）的定义域是0，2，则函数yf（x1）+f（x+1）的定义域是（）A1B1，2C1，3D2，3【典例3-3】（2022全国高一）已知函数的定义域为，则函数的定义域是（）ABCD【变式3-1】（2020秋浙江期中）已知函数，则函数f（2x+1）
7、的定义域为（）ABx|x2Cx|x5D4（2021江苏高一）函数的定义域为（ ）AB，且CD【变式3-2】（2021安徽芜湖市）已知函数，则函数的定义域是（ ）A-5，4B-2，7C-2，1D1，4【变式3-3】（2021上海浦东新区）已知函数的定义域为，则函数的定义域为_.【变式3-4】（2021云南）已知函数的定义域为，则函数的定义域为 【变式3-5】（2020江苏高一课时练习）（1）已知f(x)的定义域为0，2，求y=f(x+1)的定义域；（2）已知y=f(x+1)的定义域为0，2，求f(x)的定义域；（3）已知函数y=f(2x1)的定义域为1，1，求函数y=f(x2)的定义域.【考点4
8、 函数表示方法】【典例4】（2021上海高一专题练习）（1）已知求的解析式.（2）已知函数，求函数，的解析式（3）已知是二次函数，且，求的解析式（4）已知函数满足，则=_【变式4-1】（2021湖北恩施土家族苗族自治州）若一次函数满足，则_【变式4-2】（2021全国高一课时练习）已知，则的解析式为_【变式4-3】（2022江苏高一）设函数，则的表达式为（）ABCD【变式4-2】（2022江苏高一）若函数，则_.【考点5 两个函数相等】【典例5】（2021秋南开区期末）在下列函数中，函数y|x|表示同一函数的（）ABCD【变式5-1】（2021秋林州市期末）下列哪组中的两个函数是同一函数（）A
9、与yxByx0与y1C与yx+1D与y|x|【变式5-2】（2021秋河池月考）下列四组函数中，表示同一函数的是（）A与By1与yx0Cyx+2与st+2D与（多选题）【变式5-3】（2022湖南永州高一期末）下列各组函数中，表示同一函数的是（）A与B与C与D与【变式5-4】（2022全国高一课时练习）给出下列三组函数，其中表示同一函数的是_（填序号）；【考点6 函数值】【典例6】（2022重庆西南大学附中高一期中）函数f(x)=1-的值域为（）ABCD【变式6=1】（2022四川自贡高一期中）函数的值域是（）ABCD【变式6=2】（2022全国高一课时练习）函数的值域为（）ABCD【考点7
10、分段函数】【典例7-1】（1）（2021浙江高一期末）已知则（ ）A7B2C10D12（2）（2021浙江高一期末）设，则（ ）ABCD（3）（2021新疆乌苏市第一中学高一开学考试）已知函数，若，则a的值是（ ）A3或B或4CD3或或4【典例7-2】（2021全国高一课时练习）已知函数f(x)=求：（1）画出函数f(x)的简图(不必列表)；（2）求f(f（3）)的值；（3）当-4x3时，求f(x)取值的集合【变式7-1】（2026（2021秋香坊区校级期中）已知函数，则的值为（）ABCD【变式7-2】（2021春河东区期末）已知f（x）使f（x）1成立的x的取值范围是（）A4，2）B4，2C
11、（0，2D（4，2【变式7-2】全国高一课时练习）设，则的值为（ ）A16B18C21D24【变式7-3】（2021全国高一）已知函数（1）求的值；（2）画出函数的图象 专题3.1 函数的概念（知识解读）【学习目标】4 通过现实生活中丰富的实例，让学生了解函数概念产生的背景，进一步体会函数是描述变量之间的依赖关系的重要数学模型，在此基础上学习用集合与对应的语言来刻画函数的概念，掌握函数是特殊的数集之间的对应； 5 了解构成函数的要素，理解函数的定义域、值域的定义，会求一些简单函数的定义域和值域； 6 通过教学，逐步培养学生由具体逐步过渡到符号化，代数式化，并能对以往学习过的知识进行理性化思考，
12、对事物间的联系的一种数学化的思考【知识点梳理】考点1 函数的概念1函数的定义设A、B是非空的数集，如果按照某个确定的对应关系，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数和它对应，那么就称为从集合A到集合B的一个函数.记作：，2函数的三要素：（1）对应关系：，（2）定义域：x的取值范围A（3）值域.：与x的值相对应函数值的集合，【注意】：（5） A、B集合的非空性；（6） 对应关系的存在性、唯一性、确定性；（7） A中元素的无剩余性；（8） （4）B中元素的可剩余性。3区间的概念(1)区间的分类：开区间、闭区间、半开半闭区间；(2)无穷区间；(3)区间的数轴表示区间表示： ； ；
13、.【解读】(1)对于一元二次不等式的二次项系数为正且存在两个根的情况下，其解集的常用口诀是：大于取两边，小于取中间(2)对于二次项系数是负数(即a0)的不等式，可以先把二次项系数化为正数，再对照上述情况求解考点2 函数的表示法1.函数的三种表示方法：（1）解析法：用数学表达式表示两个变量之间的对应关系 优点：简明，给自变量求函数值.（2）图象法：用图象表示两个变量之间的对应关系 优点：直观形象，反应变化趋势.（3）列表法：列出表格来表示两个变量之间的对应关系 优点：不需计算就可看出函数值.2.分段函数概念：一般地，分段函数就是在函数定义域内，对于自变量x的不同取值范围，有不同的对应关系的函数定
14、义域值域：分段函数是一个函数，其定义域、值域分别是各段函数的定义域、值域的并集；各段函数的定义域的交集是空集考点3 函数定义域的求法确定函数定义域的原则当函数是以解析式的形式给出时，其定义域就是使函数解析式有意义的自变量的取值的集合.具体地讲，就是考虑（1）分母不为零，（2）偶次根号的被开方数、式大于或等于零，（3）零次幂的底数不为零以及我们在后面学习时碰到的所有有意义的限制条件.【注意】：求函数的定义域，一般是转化为解不等式或不等式组的问题，注意定义域是一个集合，其结果必须用集合或区间来表示.【解题思路】【典例分析】【考点1 区间的表示】【典例1】（2021广东湛江）用区间表示下列数集：（1
15、）； （2）；（3）； （4）R；（5）； （6）【答案】（1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）【解答】（1）；（2）；（3）；（4）R=；（5）；（6）【变式1-1】（2021安徽）已知为一个确定的区间，则a的取值范围是_.【答案】.【解答】由为一个确定的区间知，解得，因此a的取值范围是.故答案为：【变式1-2】（2021广东潮州）用区间表示下列集合：（1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）.【答案】（1）；（2）；（3）；（3）；（4）；（5）.【解答】集合中六个集合对应的区间分别为（1），（2），（3），（4），（5），（6）.【考点2 函数的判断】【典例2-1】（2021
16、秋岳阳期中）下列各图中，可表示函数yf（x）的图象的是（）ABCD【答案】D【解答】解：根据函数的定义，任一x都有唯一的y对应，可看出只有选项D符合故选：D【典例2-2】（2020秋镇海区校级期末）设Mx|0x2，Ny|0y2，给出下列四个图形，其中能表示从集合M到集合N的函数关系的是（）ABCD【答案】B【解答】解：从图象可知，A：2找不到对应的元素，故不是从集合M到集合N的函数；B：成立；C：1对应两个元素，故不是从集合M到集合N的函数；D：2对应的元素在集合N外，故不是从集合M到集合N的函数故选：B【变式2-1】（2022四川南充高一期末）下列各图中，可表示函数的图象的是（）ABCD【答
17、案】B【解答】根据函数的定义，对于定义域内的每一个x值对应唯一的y值，可看出只有选项B符合.故选：B.【变式2-2】（2022全国高一）下列图象中不能作为函数图象的是（ ）ABCD【答案】B【解答】本题考查函数的定义和函数图像的含义.能作为函数图象,需满足：按照图像得出的对应关系，对于自变量x的取值范围内的每一个值，按照图像得出的对应关系，都有唯一的一个y值和它对应；从图像直观来看，平行与y轴的直线与图像至多有一个交点.则B不能作为函数图象.故选B【变式2-3】（2021全国高一课时练习）有对应法则f：（1）A0，2，B0，1，x；（2）A2，0，2，B4，xx2；（3）AR，By|y0，x；
18、（4）AR，BR，x2x1；（5）A(x，y)|x，yR，BR，(x，y)xy.其中能构成从集合A到集合B的函数的有_(填序号)【答案】（1）(4)【解答】（1）由函数的定义知，正确； （2）当x0时，B中不存在数值与之对应，故错误；（3）当x0时，B中不存在数值与之对应，故错误；（4）由函数的定义知，正确； （5）因为集合A不是数集，故错误；故答案为：（1）(4)【考点3 函数的定义域】【典例3-1】（2021秋建华区校级期中）函数f（x）的定义域为（）A（，2）（2，+）B（，2）（2，2）C（，2）D（，2）【答案】B【解答】解：由题意可得，解得x2且x2，故函数的定义域为（，2）（2，
19、2），故选：B【典例3-2】（2020秋迎江区校级期中）已知函数f（2x）的定义域是0，2，则函数yf（x1）+f（x+1）的定义域是（）A1B1，2C1，3D2，3【答案】C【解答】解：函数yf（2x）的定义域是0，2，即0x2，02x4，即f（x）的定义域为0，4，yf（x1）+f（x+1）有意义，可得0x14，且0x+14，可得1x3，故函数yf（x1）+f（x+1）的定义域是1，3，故选：C【典例3-3】（2022全国高一）已知函数的定义域为，则函数的定义域是（）ABCD【答案】D【解答】解：由题意得：，解得，由解得，故函数的定义域是.故选：D【变式3-1】（2020秋浙江期中）已知函
20、数，则函数f（2x+1）的定义域为（）ABx|x2Cx|x5D【答案】A【解答】解：函数的定义域为x|x2，则2x+12，解得x即函数f（2x+1）的定义域为x|x，故选：A4（2021江苏高一）函数的定义域为（ ）AB，且CD【答案】C【解答】由题设可得，故或，故选：C.【变式3-2】（2021安徽芜湖市）已知函数，则函数的定义域是（ ）A-5，4B-2，7C-2，1D1，4【答案】D【解答】由，则，解得，所以函数的定义域满足 ，解得，所以函数的定义域为1，4.故选：D【变式3-3】（2021上海浦东新区）已知函数的定义域为，则函数的定义域为_.【答案】【变式3-4】（2021云南）已知函数
21、的定义域为，则函数的定义域为 【答案】【解答】由题函数的定义域为，在中，所以，在中，所以.【变式3-5】（2020江苏高一课时练习）（1）已知f(x)的定义域为0，2，求y=f(x+1)的定义域；（2）已知y=f(x+1)的定义域为0，2，求f(x)的定义域；（3）已知函数y=f(2x1)的定义域为1，1，求函数y=f(x2)的定义域.【答案】（1）1，1；（2）1，3；（3）1，3.【解答】（1）已知f(x)的定义域为0，2，则0x2，由0x+12，得1x1即y=f(x+1)的定义域为1，1；（2）已知y=f(x+1)的定义域为0，2，则0x2，则1x+13，即y=f(x)的定义域为1，3；
22、（3）已知函数y=f(2x1)的定义域为1，1，则1x1，则22x2，32x11由3x21，得1x3，即函数y=f(x2)的定义域为1，3.【考点4 函数表示方法】【典例4】（2021上海高一专题练习）（1）已知求的解析式.（2）已知函数，求函数，的解析式（3）已知是二次函数，且，求的解析式（4）已知函数满足，则=_.【答案】（1），；（2）；（3）；（4）.【解答】（1）令，当时，当且仅当时，等号成立；当时，当且仅当时，等号成立；所以；又，所以，因此，；（2）令，因为，所以，即；所以；（3）设二次函数，因为，所以，即，即，因此，解得，所以；（4）因为函数满足，所以，可得：，整理得.【变式4-
23、1】（2021湖北恩施土家族苗族自治州）若一次函数满足，则_【答案】【解答】设，则，故，故，故，故答案为：.【变式4-2】（2021全国高一课时练习）已知，则的解析式为_【答案】【解析】令，则，故答案为：【变式4-3】（2022江苏高一）设函数，则的表达式为（）ABCD【答案】B【解答】令，则且，所以，因此，.故选：B.【变式4-2】（2022江苏高一）若函数，则_.【答案】【解答】令，则，函数的解析式为.故答案为：.【考点5 两个函数相等】【典例5】（2021秋南开区期末）在下列函数中，函数y|x|表示同一函数的（）ABCD【答案】C【解答】解：对于A，函数yx，x0，与函数y|x|的定义域
24、不同，不是同一函数；对于B，函数yx，xR，与函数y|x|的对应关系不同，不是同一函数；对于C，函数y，与函数y|x|的定义域相同，对应关系也相同，是同一函数；对于D，函数y，与函数y|x|的定义域不同，不是同一函数故选：C【变式5-1】（2021秋林州市期末）下列哪组中的两个函数是同一函数（）A与yxByx0与y1C与yx+1D与y|x|【答案】D【解答】解：对于A，yx，x0，+），与yx，xR的定义域不同，不是同一函数；对于B，yx01，x0，与y1，xR的定义域不同，不是同一函数；对于C，yx+1，x1，与yx+1，xR的定义域不同，不是同一函数；对于D，y|x|，xR，与y|x|，x
25、R的定义域相同，对应关系也相同，是同一函数故选：D【变式5-2】（2021秋河池月考）下列四组函数中，表示同一函数的是（）A与By1与yx0Cyx+2与st+2D与【答案】C【解答】解：A：y|x|，xR，yx，xR，两个函数的解析式不一致，故A中两函数不表示同一函数，B：y1，xR，yx01，x（，0）（0，+），两个函数的定义域不一致，故B中两函数不表示同一函数，C：yx+2，xR，yt+2，tR，两个函数的定义域和解析式均一致，故C中两函数表示同一函数，D：y，x（，0）（0，+），y，x（0，+），两个函数的定义域不一致，故D中两函数不表示同一函数，故选：C（多选题）【变式5-3】（2
26、022湖南永州高一期末）下列各组函数中，表示同一函数的是（）A与B与C与D与【答案】CD【解答】选项A. 函数与的法则不同，故不是同一函数.选项B. 的定义域为xR|x3，的定义域为，他们的定义域不同，故不是同一函数.选项C. 函数与的对应法则和定义域均相同所以他们表示同一函数.选项D. 函数与的对应法则和定义域均相同，所以他们表示同一函数.故选：CD【变式5-4】（2022全国高一课时练习）给出下列三组函数，其中表示同一函数的是_（填序号）；【答案】【解答】对于，与的定义域不同；对于，的对应关系不同；对于，其定义域相同，解析式化简后也相同，值域也相同，故是同一函数.故答案为：【考点6 函数值
27、】【典例6】（2022重庆西南大学附中高一期中）函数f(x)=1-的值域为（）ABCD【答案】A【解答】解：函数f(x)=1-的定义域为，所以，则，所以函数f(x)=1-的值域为，故选：A【变式6=1】（2022四川自贡高一期中）函数的值域是（）ABCD【答案】C【解答】，从而可知函数的值域为.故选：C【变式6=2】（2022全国高一课时练习）函数的值域为（）ABCD【答案】D【解答】函数的定义域是，令，则， ，所以，因为，所以，所以原函数的值域为故选：D.【考点7 分段函数】【典例7-1】（1）（2021浙江高一期末）已知则（ ）A7B2C10D12（2）（2021浙江高一期末）设，则（ ）
28、ABCD（3）（2021新疆乌苏市第一中学高一开学考试）已知函数，若，则a的值是（ ）A3或B或4CD3或或4【答案】（1）D（2）B（3）B【解答】（1）由题意故选：D（2）由题意，故选：B.（3）由函数，当时，解得 ，当 时，解得，综上：或，故选：B【典例7-2】（2021全国高一课时练习）已知函数f(x)=求：（1）画出函数f(x)的简图(不必列表)；（2）求f(f（3）)的值；（3）当-4x3时，求f(x)取值的集合【答案】（1）答案见解析；（2）11；（3）【解答】（1）由分段函数可知，函数f(x)的简图为：（2）因为，所以；（3）当时，当时，当时,，时，取值的集合为【变式7-1】（2026（2021秋香坊区校级期中）已知函数，则的值为（）ABCD【答案】B【解答】解：已知函数，+1故选：B【变式7-2】（2021春河东区期末）已知f（x）使f（x）1成立的x的取值范围是（）A4，2）B4，2C（0，2D（4，2【答案】B【解答】解：f（x）1，或4x0或0x2， 即4x2应选B【变式7-2】全国高一课时练习）设，则的值为（ ）A16B18C21D24【答案】B【解答】因为，所以.故选：B.【变式7-3】（2021全国高一）已知函数（1）求的值；（2）画出函数的图象【答案】（1）；（2）图象见解析.【解答】（1），则；（2）函数的图象如下图所示：
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