1、第2讲匀变速直线运动一、匀变速直线运动1.定义:物体在一条直线上且做加速度不变的运动。2.分类匀加速直线运动:a与v方向相同。匀减速直线运动:a与v方向相反。二、匀变速直线运动的规律1.三个基本公式速度公式:v=v0+at;位移公式:x=v0t+12at2;速度位移关系式:v2-v02=2ax。2.两个有用的推论(1)做匀变速直线运动的物体在一段时间内的平均速度等于这段时间初末时刻速度矢量和的一半,还等于中间时刻的瞬时速度。平均速度公式:v=v0+v2=vt2。(2)任意相邻的两段连续相等的时间(T)内,位移之差是一个恒量,即x=x2-x1=x3-x2=xn-xn-1=aT2。3.初速度为零的
2、匀加速直线运动具备以下几个特点(1)在1T末,2T末,3T末,nT末的瞬时速度之比为v1v2v3vn=123n。(2)在1T内,2T内,3T内,nT内的位移之比为x1x2x3xn=12232n2。(3)第1个T内,第2个T内,第3个T内,第n个T内的位移之比为x1x2x3xn=135(2n-1)。(4)从静止开始通过连续相等的位移所用时间之比为t1t2t3tn=1(2-1)(3-2)(n-n-1)。三、自由落体运动和竖直上抛运动自由落体运动条件只受重力,从静止开始下落特点初速度为0、加速度为g的匀加速直线运动规律速度公式:v=gt位移公式:h=12gt2速度位移关系式:v2=2gh竖直上抛运动
3、特点(1)加速度为g(2)上升阶段做匀减速直线运动,下降阶段做匀加速直线运动规律速度公式:v=v0-gt位移公式:h=v0t-12gt2速度位移关系式:v2-v02=-2gh上升的最大高度:H=v022g上升到最高点所用时间:t=v0g1.关于匀变速直线运动,下列说法正确的是()A.匀变速直线运动是加速度均匀变化的直线运动B.匀变速直线运动的加速度是恒定的,不随时间而改变C.速度随时间不断增加的直线运动叫匀加速直线运动D.匀变速直线运动的位移是均匀增加的答案B匀变速直线运动的加速度不变,速度随时间均匀变化,位移的变化呈现非均匀性。2.汽车关闭发动机后做匀减速直线运动,当它滑行300 m时速度减
4、为初始速度的一半,接着滑了20 s停下来,则汽车关闭发动机后滑行的总距离为() A.400 m B.500 mC.600 m D.650 m答案A设汽车减速时的初速度是v0,加速度为a,则有(v02)2-v02=2ax0-v02=at可得a=-0.5 m/s2v0=20 m/s由02-v02=2ax总,得x总=400 m。3.一个物体从静止开始做匀加速直线运动。它在第1 s内与第2 s 内的位移之比为x1x2,在走完第1 m时与走完第2 m时的速度之比为v1v2。以下说法正确的是()A.x1x2=13,v1v2=12B.x1x2=13,v1v2=12C.x1x2=14,v1v2=12D.x1x
5、2=14,v1v2=12答案B由初速度为0的匀加速直线运动的规律知x1x2=13,由v2=2as,得v1v2=2as12as2=12,B正确。4.(2020东城期末)将小球竖直向上抛出,忽略空气阻力的影响。小球在空中运动过程中,到达最高点前的最后1秒内和离开最高点后的第1秒内()A.位移相同 B.路程不同C.加速度相同 D.速度变化量不同答案C考点一匀变速直线运动的规律和应用一、解决匀变速直线运动问题时的四点注意1.养成根据题意画出物体运动示意图的习惯,尤其是较复杂的运动,画出示意图可以使运动过程直观、清晰。2.匀变速直线运动常可一题多解,解题时要灵活选择合适的公式,筛选最简捷的方法。3.列运
6、动学方程时,方程中每一个物理量均对应同一运动过程。4.使用公式时要注意矢量的方向性。1-1(2019朝阳期中)如图所示,在匀变速直线运动的v-t图像中,我们可以用图线与坐标轴围成的面积表示位移。试通过加速度的定义式,结合v-t图像推导匀变速直线运动的位移公式x=v0t+12at2。答案见解析解析对于匀变速直线运动,加速度的定义式是a=vt-v0t,所以vt=v0+at。在图像中,图线与坐标轴围成的面积表示位移,所以时间t内的位移x=12(v0+vt)t=12v0+(v0+at)t=v0t+12at2。1-2航空母舰简称“航母”,是一种可以供军用飞机起飞和降落的军舰。蒸汽弹射起飞,就是使用一个长
7、平的甲板作为飞机跑道,起飞时一个蒸汽驱动的弹射装置带动飞机在两秒钟内达到起飞速度。某航空母舰上的战斗机,起飞过程中最大加速度a=4.5 m/s2,飞机要达到速度v0=60 m/s才能起飞,航空母舰甲板长L=289 m,为使飞机安全起飞,航空母舰应以一定速度航行以保证起飞安全,求航空母舰的最小速度v的大小。(设飞机起飞对航空母舰的状态没有影响,飞机的运动可以看做匀加速直线运动)答案9 m/s解析解法一若航空母舰匀速运动,以地面为参考系,设在时间t内航空母舰和飞机的位移分别为x1和x2,航母的最小速度为v,由运动学知识得x1=vt,x2=vt+12at2,x2-x1=Lv0=v+at解得v=9 m
8、/s解法二若航空母舰匀速运动,以航空母舰为参考系,则飞机的加速度即飞机相对航空母舰的加速度,当飞机起飞时甲板的长度L即两者的相对位移,飞机相对航空母舰的初速度为零,设航空母舰的最小速度为v,则飞机起飞时相对航空母舰的速度为v0-v,由运动学公式可得(v0-v)2-0=2aL,解得v=9 m/s或v=111 m/s(舍去)。二、两类匀减速运动的分析刹车类匀减速直线运动到速度为零后即停止运动,加速度a突然消失,求解时要注意先确定其实际运动时间双向可逆类如沿光滑斜面上滑的小球,到最高点后仍能以原加速度匀加速下滑,全过程加速度大小、方向均不变,故求解时可对全过程列式,但必须注意x、v、a等矢量的正、负
9、号1-3一辆汽车以72 km/h的速度匀速行驶,现因故紧急刹车并最终停止运动。已知汽车刹车过程中加速度的大小为5 m/s2,则从开始刹车经过5 s后,汽车通过的距离是多少?答案40 m解析设汽车由开始刹车至停止运动所用的时间为t0,选v0的方向为正方向,则v0=72 km/h=20 m/s,a=-5 m/s2由v=v0+at0得t0=v-v0a=0-20-5 s=4 s可见,该汽车刹车后经过4 s就停止运动,则5 s中的最后1 s汽车是静止的。由x=v0t+12at2知汽车开始刹车经过5 s后通过的距离x=v0t0+12at02=204 m+12(-5)42 m=40 m。1-4物体沿光滑固定
10、斜面上滑,v0=20 m/s,加速度大小为5 m/s2,求:(1)物体多长时间后回到出发点;(2)由开始运动算起,6 s末物体的速度。答案(1)8 s(2)10 m/s,方向与初速度方向相反解析由于物体做加速度不变的匀变速直线运动,故可以直接应用匀变速直线运动公式,以v0的方向为正方向。(1)设经时间t0回到出发点,此过程中位移x=0,代入公式x=v0t0+12at02,并将a=-5 m/s2代入,得t0=-2v0a=-220-5 s=8 s(2)由公式v=v0+at知6 s末物体的速度v6=v0+at6=20 m/s+(-5)6 m/s=-10 m/s负号表示此时物体的速度方向与初速度方向相
11、反。方法提示逆向思维法:对于末速度为零的匀减速直线运动,可把该阶段看成反向的初速度为零、加速度不变的匀加速直线运动三、平均速度与瞬时速度的互换在匀变速直线运动中,全程的平均速度等于中间时刻的瞬时速度,即v=vt2。利用好这一关系,可以实现平均速度与瞬时速度的互换,求解问题能起到事半功倍的效果。1-5一物体做匀加速直线运动,通过一段位移x所用的时间为t1,紧接着通过下一段位移x所用的时间为t2。则物体运动的加速度为()A.2x(t1-t2)t1t2(t1+t2) B.x(t1-t2)t1t2(t1+t2)C.2x(t1+t2)t1t2(t1-t2) D.x(t1+t2)t1t2(t1-t2)答案
12、A物体做匀加速直线运动,利用中间时刻的瞬时速度等于全过程的平均速度,得vt12=xt1,vt22=xt2,a=vt22-vt12t=xt2-xt112t1+12t2,整理得a=2x(t1-t2)t1t2(t1+t2),所以A正确,B、C、D错误。1-6有一个做匀变速直线运动的质点,它在最初两段连续相等的时间内通过的位移分别是24 m和64 m,连续相等的时间为t=4 s,求质点的初速度大小和加速度大小。答案1 m/s2.5 m/s2解析(用平均速度求解)已知x1=24 m,x2=64 m,t=4 s,则v1=x1t=244 m/s=6 m/sv2=x2t=644 m/s=16 m/s又v2=v
13、1+at,解得a=2.5 m/s2由x1=v0t+12at2可得v0=1 m/s考点二自由落体运动和竖直上抛运动一、自由落体运动1.伽利略对自由落体的研究伽利略对运动的研究,不仅确立了许多用于描述运动的基本概念,而且创造了一套对近代科学的发展极为有益的科学方法。这些方法的核心是把实验和逻辑推理(包括数学演算)和谐地结合起来,从而发展了人类的科学思维方式和科学研究方法。2-1(2018北京理综,21,18分)早在16世纪末,伽利略就猜想落体运动的速度应该是均匀变化的。当时只能靠滴水计时,为此他设计了如图所示的“斜面实验”,反复做了上百次,验证了他的猜想。请你结合匀变速直线运动的知识,分析说明如何
14、利用伽利略“斜面实验”检验小球的速度是随时间均匀变化的。答案如果小球的初速度为0,其速度vt,那么它通过的位移xt2。因此,只要测量小球通过不同位移所用的时间,就可以检验小球的速度是否随时间均匀变化。解析设v0=0,v=at,而x=12at2,故可通过位移随时间的变化情况,判断速度随时间的变化情况。2-2(2018四中期中)伽利略对自由落体运动的研究,是科学实验和逻辑思维的完美结合,如图可大致表示其实验和思维的过程。让小球由倾角为的光滑斜面滑下,然后改变倾角分别进行多次实验,最后推理出自由落体运动是一种匀加速直线运动。对这一过程的分析,下列说法中不正确的是()A.采用图甲的斜面实验,可“冲淡”
15、重力的作用,使时间更容易测量B.让不同质量的球沿相同斜面下滑,可证实小球均做加速度相同的匀变速直线运动C.伽利略通过实验直接测量了物体自由下落的位移与时间的平方的关系D.图甲是实验现象,图丁的情景是经过合理的外推得到的结论答案C伽利略的时代无法直接测定瞬时速度,所以也就无法直接得到速度的变化规律。但是伽利略通过数学运算得出结论:如果物体初速度为零,且速度随时间均匀变化,即vt,那么它通过的位移与所用时间的二次方成正比,即xt2,这样只要测出物体通过不同位移所用的时间,就可以验证这个物体的速度是否随时间均匀变化。由于伽利略时代靠滴水计时,不能测量自由落体运动所用的时间。伽利略采用了一个巧妙的方法
16、,用来“冲淡”重力的作用,他让小球沿阻力很小的斜面下滑,由于小球沿斜面下滑时加速度比它竖直下落的加速度小得多,所用时间长得多,所以容易测量,故A正确;让不同质量的球沿相同斜面下滑,可证实小球均做加速度相同的匀变速直线运动,故B正确;图甲、乙、丙均是实验现象,图丁所示的情景是经过合理的外推得到的结论,故D正确。2.自由落体运动规律自由落体运动是初速度为零、加速度为g=9.8 m/s2的匀加速直线运动,匀变速直线运动的一切规律,对自由落体运动都是适用的。v=gt,h=12gt2,v2=2gh。另外,初速度为零的匀加速直线运动的比例式对自由落体运动也是适用的。2-3在一竖直砖墙前让一个小石子自由下落
17、,小石子下落的轨迹距离砖墙很近。现用照相机对下落的石子进行拍摄,某次拍摄的照片如图所示,AB为小石子在这次曝光中留下的模糊影迹。已知每层砖(包括砖缝)的平均厚度约为6.0 cm,A点距石子开始下落点的竖直距离约1.8 m。试估算照相机这次拍摄的曝光时间。(重力加速度g取10 m/s2,结果保留1位有效数字)答案见解析解析画出石子的运动过程示意图如图所示。由图可知径迹AB的长度为h=2d=0.12 m,设A点到起落点的距离为hA,运动的时间为tA,曝光时间为t。方法一:由自由落体运动位移公式h=12gt2求解。hA=12gtA2hA+h=12g(tA+t)2解得t0.02 s方法二:由运动学公式
18、x=v0t+12gt2和v2=2gh求解。设A点的速度为vA,曝光时间为t,则vA=2ghA=6 m/sh=vAt+12gt2解得t0.02 s或t-1.2 s(舍去)方法三:由瞬时速度和平均速度关系求解。设A点的速度为vA,则vA=2ghA=6 m/s因曝光时间t极短,AB过程中的平均速度 vvA=6 m/s曝光时间为thv=0.02 s2-4(2020西城期末)如图所示,甲、乙两位同学利用直尺测量反应时间。甲用一只手在直尺末端做捏尺的准备,在他看到乙同学放开直尺时,他立刻捏住直尺,测出直尺在这段时间内下落的高度,计算出直尺下落的时间,就是甲同学的反应时间。若在某次测试中,直尺下落的高度为2
19、0 cm,则这次实验测量出甲的反应时间是(g取10 m/s2) A.0.02 s B.0.1 sC.0.14 s D.0.2 s答案D二、竖直上抛运动的处理方法1.分段法可以把竖直上抛运动分成上升阶段的匀减速直线运动和下降阶段的自由落体运动处理。2.整体法将竖直上抛运动视为初速度为v0,加速度为-g的匀减速直线运动。2-5为了测量蹦床运动员从蹦床上跃起的高度,探究小组设计了如下的方法:他们在蹦床的弹性网上安装压力传感器,利用传感器记录运动员在运动过程中对弹性网的压力,来推测运动员跃起的高度。如图为某段时间内蹦床运动员的F-t图像。运动员在空中仅在竖直方向上运动,且可视为质点,则可估算出运动员在
20、这段时间内跃起的最大高度为(g取10 m/s2)() A.1.5 mB.1.8 mC.5.0 mD.7.2 m答案C由于要估算出运动员在这段时间内跃起的最大高度,所以只能选择运动员离开蹦床在空中运动的时间段进行研究,这样有三段时间可用:01.1 s、2.33.8 s、4.96.9 s,又要求跃起的最大高度,只能选时间间隔最长的一段进行运算,故选4.9 6.9 s,运动员在空中做竖直上抛运动,利用对称性可知,运动员在空中上升(或自由下落)的最长时间为1 s,则最大高度 h=12gt2=5.0 m,选项C正确。2-6(2018密云月考)王兵同学利用数码相机连拍功能(此相机每秒连拍10张)记录下北京
21、奥运会跳水比赛中小将陈若琳和王鑫在10 m跳台跳水的全过程。所拍摄的第一张恰好为她们起跳的瞬间,第四张如图甲所示,王兵同学认为这时她们在最高点;第十九张如图乙所示,她们正好身体竖直,双手触及水面。设起跳时她们的重心离台面的距离和触水时她们的重心离水面的距离相等。由以上材料(g取10 m/s2),求:(1)陈若琳的起跳速度;(2)第四张照片是在最高点吗?如果不是,此时重心是处于上升还是下降阶段?答案(1)3.4 m/s(2)不是上升阶段解析(1)由题意得:运动员从起跳到入水所用时间为t=1.8 s,设跳台高h,起跳速度为v0,由-h=v0t-12gt2得v03.4 m/s(2)上升至最高点所用时
22、间t1=0-v0-g=0.34 s而拍第四张时她们已运动0.3 s,所以还处于上升阶段。A组基础巩固 1.一质点做速度逐渐增大的匀加速直线运动,在时间间隔t内位移为s,动能变为原来的9倍。该质点的加速度为()A.st2 B.3s2t2 C.4st2 D.8st2答案A动能变为原来的9倍,速度变为原来的3倍,a=3v0-v0t,s=3v0+v02t,解得a=st2,A正确。2.某人大雾天驾车在高速路上行驶,已知能见度(观察者与能看见的最远目标间的距离)为 30 m,该人的反应时间为0.5 s,汽车刹车时能产生的最大加速度的大小为5 m/s2。为安全行驶,汽车行驶的最大速度是()A.2.5 m/s
23、 B.15 m/sC.103 m/s D.60 m/s答案B设汽车的最大速度为v,则有vt+v22a=30 m,代入数据解得最大速度v=15 m/s。3.一个小石子从某一高度处由静止开始自由落下,某摄影爱好者恰好拍到了它下落的一段轨迹AB。该爱好者用直尺测量此段轨迹的长度如图所示,已知曝光时间为11 000 s。不计空气阻力,重力加速度g取10 m/s2,则小石子的出发点离A点约为()A.6.5 m B.7 m C.10 m D.20 m答案D由图可知AB的长度为2 cm,即0.02 m,曝光时间为 11 000 s,所以AB段的平均速度的大小 v=xt=0.0211 000 m/s=20 m
24、/s,由于时间极短,故A点对应时刻的瞬时速度近似为20 m/s,由自由落体运动的速度位移的关系式 v2=2gh可得,h=v22g=202210 m=20 m。4.(2019石景山一模)早在16世纪末,伽利略就设计了如图所示的“斜面实验”,当时只能靠滴水计时。伽利略在关于两门新科学的对话中写道:“我们将木板的一头抬高,使之略呈倾斜,再让铜球由静止滚下为了测量时间,我们把一只盛水的大容器置于高处,在容器底部焊上一根口径很细的管子,用小杯子收集每次下降时由细管流出的水,然后用极精密的天平称水的重量”若将小球由静止滚下的距离记为L,对应时间内收集的水的质量记为m,则L与m的比例关系为()A.Lm B.
25、Lm2C.L1m D.L1m2答案B小球做匀变速运动,滚下的距离为L,L=12at2,即L与t2成正比。假设每单位时间t滴下一滴水的质量为m,则时间t内滴下水的质量m=mtt,可得Lm2,B正确。5.拿一个长约1.5 m的玻璃筒,一端封闭,另一端有开关,把金属片和小羽毛放到玻璃筒里。把玻璃筒倒立过来,观察它们下落的情况。然后把玻璃筒里的空气抽出,再把玻璃筒倒立过来,再次观察它们下落的情况。下列说法正确的是()A.玻璃筒充满空气时,金属片和小羽毛下落得一样快B.玻璃筒充满空气时,金属片和小羽毛均做自由落体运动C.玻璃筒抽出空气后,金属片和小羽毛下落得一样快D.玻璃筒抽出空气后,金属片比小羽毛下落
26、得快答案C抽出空气之后,小羽毛和金属片下落时仅受重力,因此加速度一样大,都等于重力加速度g,所以下落得一样快,选项C正确。6. 汽车在平直公路上匀速行驶,前方黄灯亮起后,司机立即采取制动措施,使汽车开始做匀减速运动直到停下。开始制动后的第1 s内和第2 s内汽车的位移大小依次为x1=8 m和x2=4 m。求:(1)汽车做匀减速运动的加速度大小;(2)开始制动时汽车的速度大小v0;(3)开始制动后的3 s内汽车的位移大小s。答案(1)4 m/s2(2)10 m/s(3)12.5 m解析(1)根据匀变速直线运动推论x=at2,得:a=4-812 m/s2=-4 m/s2则加速度大小为4 m/s2(
27、2)匀变速直线运动中间时刻的瞬时速度等于该过程的平均速度第1 s末的瞬时速度:v1=x1+x22t=8+42 m/s=6 m/s又v1=v0+at得v0=10 m/s(3)设汽车做匀减速运动的时间为t0,则有0-v0=at0得t0=2.5 s3 s因此制动后的3 s内汽车实际运动时间仅为2.5 s由0-v02=2as得s=12.5 m7.(2020中关村中学开学考)雨天,李华发现从屋檐每隔相等时间滴下一滴水,当第5滴正欲滴下时,第1滴刚好落到地面,而第3滴刚好落在距离屋檐0.8 m的窗户上沿,不计空气阻力,重力加速度g取10 m/s2,请问:(1)滴水的时间间隔是多少?(2)此屋檐离地面多高?
28、答案见解析解析(1)设滴水的时间间隔为T,有:12g(2T)2=0.8 m解得:T=0.2 s;(2)水从屋檐下落到地面的时间t=4T,h=12g(4T)2=12100.64 m=3.2 mB组综合提能 1.(2020中关村中学开学考)伽利略在研究自由落体运动性质的时候,为了排除物体自由下落的速度v随着下落高度h(位移大小)是均匀变化(即v=kh,k是个常数)的可能性,设计了如下的理想实验:在初速度为零的匀变速直线运动中,因为v=v2(式中v表示平均速度),而h=vt,如果v=kh成立的话,那么,必有h=12kht,即t=2k为常数。t竟然是与h无关的常数,这显然与常识相矛盾!于是,可以排除速
29、度v是随着下落高度h均匀变化的可能性。关于伽利略这个理想实验中的逻辑及逻辑用语,你做出的评述是()A.全部正确B.式错误C.式错误D.式以后的逻辑错误答案B如果自由落体运动的速度v随着下落高度h是均匀变化的,那这个运动就不是匀变速直线运动,就不能用式分析。2.利用水滴下落可以粗略测量重力加速度g的大小。调节家中水龙头,让水一滴一滴地流出,在水龙头的正下方放一个盘子,调整盘子的高度,使一滴水刚碰到盘子时,恰好有另一滴水刚开始下落,而空中还有一滴水正在下落。测出此时出水口到盘子的高度为h,从第1滴水开始下落到第n滴水刚落至盘中所用时间为t。不计空气阻力,下列说法正确的是()A.每滴水下落时间为h2
30、gB.相邻两滴水开始下落的时间间隔为2hgC.第1滴水刚落至盘中时,第2滴水距盘子的距离为h2D.此地重力加速度的大小为h(n+1)22t2答案D水滴离开水龙头后做自由落体运动,出水口到盘子的高度为h,由h=12gt12可知,每滴水下落的时间为t1=2hg,A选项错误;由于空中还有一滴水正在下落,所以相邻两滴水开始下落的时间间隔t2=t12=h2g,B选项错误;第1滴水刚碰到盘子时,第2滴水将h分成时间相等的2份,2份的位移比为13,总高度为h,所以第1滴水刚落至盘中时,第2滴水距盘子的距离为34h,C选项错误;第n滴水下落至盘中时,第n+2滴水开始下落,所以从第1滴水开始下落到第n+2滴水开
31、始下落经历时间为t,相邻两滴水开始下落的时间间隔为tn+1,每滴水下落时间为2tn+1,即t1=2tn+1=2hg,解得g=h(n+1)22t2,D选项正确。3.如图所示,在公路的十字路口,红灯拦停了一车队,拦停的汽车排成笔直的一列,第一辆汽车的前端刚好与路口停止线相齐,汽车长均为l=4.0 m,前面汽车尾部与相邻汽车的前端相距均为d1=1.0 m。为了安全,相邻汽车的前端与前面汽车尾部相距至少为d2=5.0 m才能开动,若汽车都以a=2.0 m/s2的加速度做匀加速直线运动。绿灯亮起瞬时,第一辆汽车立即开动,求:(1)第六辆汽车前端刚到达停止线时的速度大小v;(2)从绿灯刚亮起到第六辆汽车前端与停止线相齐所需最短时间t。答案(1)10.0 m/s(2)15.0 s解析(1)第六辆汽车前端与停止线的距离s1=5(l+d1)=25.0 m由v2=2as1得v=10.0 m/s(2)设第二辆汽车刚开动时,第一辆汽车至少已行驶的时间为t1则第二辆汽车刚开动时,第一辆至少行驶的距离s2=d2-d1=4.0 m则s2=12at12从绿灯刚亮起到第六辆汽车刚开动至少所需时间t2=5t1=10.0 s第六辆汽车刚开动到前端与停止线相齐所需时间t3=va=5.0 s从绿灯刚亮起到第六辆汽车前端与停止线相齐所需最短时间t=t2+t3=15.0 s