1、第十二章 复数、算法、推理与证明第三节 合情推理与演绎推理栏目导航123课 堂 考 点 突 破课 时 跟 踪 检 测课 前 基 础 巩 固最新考纲考情分析核心素养1.了解合情推理的含义，能进行简单的归纳推理和类比推理，体会并认识合情推理在数学发展中的作用.2.了解演绎推理的含义，掌握演绎推理的“三段论”，并能运用“三段论”进行一些简单推理.3.了解合情推理和演绎推理之间的联系和差异.以理解类比推理、归纳推理和演绎推理的推理方法为主，常以演绎推理的方法根据几个人的不同说法作出推理判断进行命题注重培养学生的推理能力；在高考中以填空题的形式进行考查，属于中高档题.逻辑推理 课 前 基 础 巩 固 1
2、知识梳理1合情推理类型定义特点归纳推理根据其类事物的 1 _对象具有某些特征，推出这类事物的 2 _对象都具有这些特征的推理由 3 _到 4_、由 5 _到 6 _类比推理根据两类事物之间具有某些类似(一致)性，推测一类事物具有另一类事物类似(或相同)的性质的推理由 7 _到 8_部分全部部分整体个别一般特殊特殊2.演绎推理(1)定义：从一般性的原理出发，推出某个特殊情况下的结论，我们把这种推理称为演绎推理简言之，演绎推理是由一般到 9 _的推理(2)“三段论”是演绎推理的一般模式，包括：大前提已知的一般原理；小前提所研究的特殊情况；结论根据一般原理，对特殊情况作出的判断特殊常用结论1合情推理
3、包括归纳推理和类比推理，其结论是猜想，不一定正确，若要确定其正确性，则需要证明2在进行类比推理时，要从本质上去类比，只从一点表面现象去类比，就会犯机械类比的错误3应用三段论解决问题时，要明确什么是大前提、小前提，如果前提与推理形式是正确的，结论必定是正确的若大前提或小前提错误，尽管推理形式是正确的，但所得结论是错误的基础自测一、疑误辨析1判断下列结论的正误(正确的打“”，错误的打“”)(1)归纳推理得到的结论不一定正确，类比推理得到的结论一定正确()(2)由平面三角形的性质推测空间四面体的性质，这是一种合情推理()(3)在类比时，平面中的三角形与空间中的平行六面体作为类比对象较为合适()(4)
4、在演绎推理中，只要符合演绎推理的形式，结论就一定正确()解析：(1)类比推理的结论不一定正确(3)平面中的三角形与空间中的四面体作为类比对象较为合适(4)演绎推理是在大前提、小前提和推理形式都正确时，得到的结论一定正确 答案：(1)(2)(3)(4)二、走进教材2(选修 12P35A 组 T4 改编)对任意正整数 n，2n 与 n2 的大小关系为()A当 n2 时，2nn2B当 n3 时，2nn2C当 n4 时，2nn2D当 n5 时，2nn2解析：选 D 当 n2 时，2nn2；当 n3 时，2nn2；当 n6 时，2nn2；归纳判断，当 n5 时，2nn2.故选 D.3(选修 12P35A
5、 组 T6 改编)在等差数列an中，若 a100，则有 a1a2ana1a2a19n(n19，nN*)成立类比上述性质，在等比数列bn中，若 b91，则存在的等式为_解析：根据类比推理的特点可知，等比数列和等差数列类比，在等差数列中是和，在等比数列中是积，故有 b1b2bnb1b2b17n(n17，nN*)答案：b1b2bnb1b2b17n(naf(b)bf(a)，试证明：f(x)为 R 上的单调递增函数证明：设 x1，x2R，取 x1x1f(x2)x2f(x1)，所以 x1f(x1)f(x2)x2f(x2)f(x1)0，即f(x2)f(x1)(x2x1)0.因为 x10，f(x2)f(x1)
6、，所以 yf(x)为 R 上的单调递增函数名师点津 演绎推理的推证规则(1)演绎推理是从一般到特殊的推理，其一般形式是三段论，应用三段论解决问题时，应当首先明确什么是大前提和小前提，如果前提是显然的，则可以省略(2)在推理证明过程中，一些稍复杂一点的证明题常常要由几个三段论才能完成考点一 归纳推理 命题角度一 与数字(数列)有关的推理【例 1】观察下列等式：11212，11213141314，11213141516141516，据此规律，第 n 个等式可为_解析 等式左边的特征：第 1 个等式有 2 项，第 2 个有 4 项，第 3 个有 6 项，且正负交错，故第 n 个等式左边有 2n 项且
7、正负交错，应为 112131412n1 12n；等式右边的特征：第 1 个有 1 项，第 2 个有 2 项，第 3 个有 3 项，故第 n 个有 n 项，且由前几个的规律不难发现第 n 个等式右边应为 1n1 1n2 12n.答案 112131412n1 12n 1n1 1n2 12n命题角度二 与式子有关的推理【例 2】设函数 f(x)xx2(x0)，观察：f1(x)f(x)xx2，f2(x)ff1(x)x3x4，f3(x)ff2(x)x7x8，f4(x)ff3(x)x15x16，根据以上事实，由归纳推理可得：当 nN*且 n2 时，fn(x)ffn1(x)_ 解析 根据题意知，分子都是 x
8、，分母中的常数项依次是 2，4，8，16，分母中 x 的系数依次是 1，3，7，11，所以 fn(x)的分母中常数项为 2n，分母中 x 的系数为 2n1，故 fn(x)ffn1(x)x（2n1）x2n.答案 x（2n1）x2n命题角度三 与图形变化有关的推理【例 3】我国的刺绣有着悠久的历史，如图所示中的(1)(2)(3)(4)为刺绣最简单的四个图案，这些图案都是由小正方形构成，小正方形个数越多刺绣越漂亮现按同样的规律刺绣(小正方形的摆放规律相同)，设第 n 个图形包含 f(n)个小正方形，则 f(n)的表达式为()Af(n)2n1 Bf(n)2n2Cf(n)2n22nDf(n)2n22n1
9、解析 由题意知，f(2)f(1)4，f(3)f(2)8，f(4)f(3)12，结合图形不难得到 f(n)f(n1)4(n1)，累加得 f(n)f(1)2n(n1)2n22n，故 f(n)2n22n1.答案 D名师点津 归纳推理问题的常见类型及解题策略(1)与“数字”相关的问题：主要是观察数字特点，找出等式左右两侧的规律(2)与式子有关的推理：观察所给的几个不等式两边式子的特点，注意纵向看、找出隐含规律(3)与图形有关的推理：合理利用特殊图形归纳推理得出结论|跟踪训练|1“杨辉三角”是中国古代重要的数学成就，它比西方的“帕斯卡三角形”早了 300多年如图是杨辉三角数阵，记 an 为图中第 n 行
10、各个数之和，则 a5a11 的值为()A528 B1 020C1 038 D1 040解析：选 D a11，a22，a3422，a4823，a51624，所以 an2n1，a5a11242101 040，故选 D.2(2019 届青岛模拟)某种平面分形图如图所示，一级分形图是由一点出发的三条线段，长度相等，两两夹角为 120；二级分形图是在一级分形图的每条线段末段出发再生成两条长度为原来13的线段，且这两条线段与原线段两两夹角为 120，依此规律得到 n 级分形图n 级分形图中共有_条线段解析：由题图知，一级分形图有 3323 条线段，二级分形图有 93223 条线段，三级分形图中有 2132
11、33 条线段，按此规律知 n 级分形图中的线段条数 an32n3(nN*)答案：32n3(nN*)考点二 类比推理【例 4】(1)二维空间中，圆的一维测度(周长)l2r，二维测度(面积)Sr2，三维空间中，球的二维测度(表面积)S4r2，三维测度(体积)V43r3，应用合情推理，若四维空间中，“超球”的三维测度 V8r3，则其四维测度 W()A2r4B3r4C4r4D6r4(2)已知函数 f(x)1x 1x1 1x2，由 f(x1)1x11x 1x1是奇函数，可得函数f(x)的图象关于点(1，0)对称，类比这一结论，可得函数 g(x)x2x1x3x2x7x6的图象关于点_对称解析(1)二维空间
12、中，圆的一维测度(周长)l2r，二维测度(面积)Sr2，(r2)2r，三维空间中，球的二维测度(表面积)S4r2，三维测度(体积)V43r3，43r3 4r2，四维空间中，“超球”的三维测度 V8r3，(2r4)8r3，“超球”的四维测度 W2r4，故选 A.(2)由题意得 g(x)6x2x11x3x21x4x31x5x41x6x51x7x61 1x1 1x2 1x3 1x4 1x5 1x6，则 gx72 61x7211x7221x7231x7241x7251x726 1x52 1x32 1x12 1x12 1x32 1x52.令 gx72 6h(x)，则 h(x)1x521x321x121x
13、121x321x52h(x)，h(x)是奇函数，函数 g(x)x2x1x3x2x7x6的图象关于点72，6 对称 答案(1)A(2)72，6名师点津 1进行类比推理，应从具体问题出发，通过观察、分析、联想进行类比，提出猜想其中找到合适的类比对象是解题的关键2类比推理常见的情形有平面与空间类比；低维的与高维的类比；等差数列与等比数列类比；数的运算与向量的运算类比；圆锥曲线间的类比等|跟踪训练|3如图(1)所示，点 O 是ABC 内任意一点，连接 AO，BO，CO，并延长交对边于A1，B1，C1，则OA1AA1OB1BB1OC1CC11，类比猜想：点 O 是空间四面体 VBCD 内的任意一点，如图
14、(2)所示，连接 VO，BO，CO，DO 并延长分别交面 BCD，VCD，VBD，VBC于点 V1，B1，C1，D1，则有_解析：利用类比推理，猜想应有OV1VV1OB1BB1OC1CC1OD1DD11.用“体积法”证明如下：OV1VV1OB1BB1OC1CC1OD1DD1VOBCDVVBCDVOVCDVBVCDVOVBDVCVBDVOVBCVDVBCVVBCDVVBCD1.答案：OV1VV1OB1BB1OC1CC1OD1DD11考点 推理案例问题【例】(2019 年全国卷)在“一带一路”知识测验后，甲、乙、丙三人对成绩进行预测甲：我的成绩比乙高乙：丙的成绩比我和甲的都高丙：我的成绩比乙高成绩
15、公布后，三人成绩互不相同且只有一个人预测正确，那么三人按成绩由高到低的次序为()A甲、乙、丙B乙、甲、丙C丙、乙、甲D甲、丙、乙解析 依题意，若甲预测正确，则乙、丙均预测错误，此时三人成绩由高到低的次序为甲、乙、丙；若乙预测正确，则丙预测也正确，这与题意相矛盾；若丙预测正确，则甲预测错误，此时乙预测正确，这与题意相矛盾综上所述，三人成绩由高到低的次序为甲、乙、丙，故选 A.答案 A名师点津 推理案例的题型是高考命题的热点，由于条件较多，做题时往往感到不知从哪里找到突破点解答这类问题，一定要仔细阅读题文，逐条分析所给条件，并将其引申，找到各条件的融汇之处和矛盾之处，多次应用假设、排除、验证，清理
16、出有用“线索”，找准突破点，从而使问题得以解决|跟踪训练|1甲、乙、丙、丁四位同学一起去向老师询问成语竞赛的成绩老师说：你们四人中有 2 位优秀，2 位良好，我现在给甲看乙、丙的成绩，给乙看丙的成绩，给丁看甲的成绩看后甲对大家说：“我还是不知道我的成绩”根据以上信息，则()A乙可以知道四人的成绩B丁可以知道四人的成绩C乙、丁可以知道对方的成绩D乙、丁可以知道自己的成绩解析：选 D 由甲说不知道自己成绩且看过乙和丙的成绩，可推出乙和丙一优一良，又因为乙看过丙的成绩，所以乙可以推测出自己的成绩因为已经推出乙和丙一优一良，所以甲和丁也是一优一良，并且条件已给出丁看过甲的成绩，所以丁也可以推测出自己的
17、成绩，故选 D.2(2019 届湖北武汉武昌区调研)一名法官在审理一起珍宝盗窃案时，四名嫌疑人甲、乙、丙、丁的供词如下，甲说：“罪犯在乙、丙、丁三人之中”；乙说：“我没有作案，是丙偷的”；丙说：“甲、乙两人中有一人是小偷”；丁说：“乙说的是事实”经过调查核实，四人中有两人说的是真话，另外两人说的是假话，且这四人中只有一人是罪犯，由此可判断罪犯是()A甲B乙C丙D丁解析：选 B 由题可知，乙、丁两人的观点一致，即同真同假，假设乙、丁说的是真话，那么甲、丙两人说的是假话，由乙说的是真话，推出丙是罪犯，由甲说假话，推出乙、丙、丁三人不是罪犯，显然两个结论相互矛盾，所以乙、丁两人说的是假话，而甲、丙两人说的是真话，由甲、丙供述可得，乙是罪犯点此进入该word板块课 时 跟 踪 检 测3谢 谢 观 看 THANKS