1、中国人民大学附属中学2.4.2抛物线的几何性质我们根据抛物线的标准方程y2=2px(p0)来研究它的一些几何性质.1范围：因为p0，由方程可知，这条抛物线上任意一点M的坐标(x，y)满足不等式x0，所以这条抛物线在y轴的右侧，当x的值增大时，|y|也增大，这说明抛物线向右上方和右下方无限延伸，它的开口向右。2对称性：以y代替y，方程不变，因此这条抛物线是以x轴为对称轴的对称图形，抛物线的对称轴叫做抛物线的轴。3顶点：抛物线和它的轴的交点叫做抛物线的顶点，在方程中，当x=0时，y=0，因此这条抛物线的顶点坐标就是坐标原点(0，0).4离心率：抛物线上的点与焦点和准线的距离的比，叫做抛物线的离心率
2、，用e表示，按照抛物线的定义，e=1.例1已知抛物线以x轴为轴，顶点是坐标原点，且开口向右，又抛物线经过点M(4，2 )，求它的标准方程。3解：根据已知条件，设抛物线的方程为y2=2px(p0).因此所求的抛物线的方程是y2=3x.因为点M(4，2 )在抛物线上，所以(2 )2=2p4，即2p=3，33例2汽车前灯反射镜与轴截面的交线是抛物线的一部分，灯口所在的圆面与反射镜的轴垂直，灯泡位于抛物线的焦点处，已知灯口的直径是24cm，灯深10cm，那么灯泡与反射镜的顶点(即截得抛物线的顶点)距离是多少？解：取反射镜的轴即抛物线的轴为x轴，抛物线的顶点为坐标原点，建立直角坐标系xOy，因为灯口直径
3、|AB|=24，灯深|OP|=10，所以点A的坐标是(10，12)，设抛物线的方程是y2=2px(p0).因为点A(10，12)在抛物线上，得122=2p10，所以p=7.2，抛物线的焦点F的坐标为(3.6，0)，因此灯泡与反射镜的顶点的距离是3.6cm.在平面直角坐标系上，顶点在原点、轴与坐标轴重合的抛物线有四种位置情况，因此抛物线的方程相应的有四种形式，它们都叫做抛物线的标准方程，它们的推导过程类同。设抛物线的焦点到准线的距离为p(p0)，上述抛物线的方程的四种形式列表如下：例3求适合下列条件的抛物线的标准方程:（1）过点(3，2)；（2）焦点在直线x2y4=0上。（1）抛物线分别是y2=
4、x和x2=y；4392（2）抛物线分别是y2=16x和x2=8y.例4正三角形的一个顶点位于坐标原点，另外两个顶点在抛物线y2=2px(p0)上，求这个正三角形的边长。解：设正三角形OAB的顶点在抛物线上，且坐标分别为(x1，y1)、(x2，y2)，则y12=2px1，y22=2px2，又|OA|=|OB|，所以x12+y12=x22+y22，即(x1+x2)(x1x2)=y22y12=2p(x2x1)，所以(x1x2)(x1+x2+2p)=0，由于x1+x2+2p0，所以x1=x2，由此可知，|y1|=|y2|，即线段AB关于x轴对称所以x轴垂直于AB，AOx=30，所以113tan303y
5、x 因为 x1=212yp所以y1=2 p，3|AB|=2y1=4 p，3所以这个正三角形的边长为 4 3p课堂练习1抛物线y=x2的焦点坐标是（）（A）(0，)（B）(0，)（C）(，0)（D）(，0)41414141B2已知抛物线的焦点坐标是(0，3)，则抛物线的标准方程为（）（A）x2=12y（B）x2=12y（C）y2=12x（D）y2=12xA3已知抛物线的准线方程为x=7，则抛物线的标准方程为（）（A）x2=28y（B）y2=28x（C）y2=28x（D）x2=28yB4焦点在直线3x4y12=0上的抛物线的标准方程为（）（A）x2=16y或y2=12x（B）y2=16x或x2=12y（C）y2=16x或x2=12y（D）x2=16y或y2=12xC5抛物线y=ax2（a0)的准线相切，则p=.2例过抛物线y2=2px的焦点F任作一条直线m，交这抛物线于A,B两点，求证：以AB为直径的圆和这抛物线的准线相切xyEOFBADCH分析：运用抛物线的定义和平面几何知识来证比较简捷证明：如图xyEOFBADCH所以EH是以AB为直径的圆E的半径，且EHl，因而圆E和准线l相切设AB的中点为E，过A、E、B分别向准线l引垂线AD，EH，BC，垂足为D、H、C，则AFAD，BFBCABAFBFADBC=2EH