1、备战2021年高中数学联赛之历年真题汇编(1981-2020)专题28数列B辑历年联赛真题汇编1【2010高中数学联赛(第02试)】给定整数n2，设正实数a1,a2,an满足ak1，k=1，2，n，记Ak=a1+a2+akk(k=1,2,n)，求证：k=1nak-k=1nAkn-12.2【2008高中数学联赛(第02试)】设f(x)是周期函数，T和1是f(x)的周期且0Tanan+10(n=1,2,)，且每个an都是f(x)的周期.3【2008高中数学联赛(第02试)】设ak0，k=1，2，2008.证明：当且仅当k=12008ak1时，存在数列xn满足以下条件：(1)0=x0xnan+14,
2、nN+.(2)证明存在n0N+，使得对nn0，都有b2b1+b3b2+bnbn-1+bn+1bnn-2004.6【2000高中数学联赛(第02试)】设数列an和bn满足a0=1,b0=0，且an+1=7an+6bn-3bn+1=8an+7bn-4，n=0，1，2，证明an(n=0，1，2，)是完全平方数.7【1998高中数学联赛(第02试)】设a1,a2,an,b1,b2,bn1,2有i=1nai2=i=1nbi2，求证i=1nai3bi1710i=1nai2，并问：等号成立的充要条件.8【1998高中数学联赛(第02试)】对于正整数a，n，定义Fn(a)=q+r，其中q，r为非负整数，a=q
3、n+r，且0rM.2已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(ab0)的左焦点为F，过F的直线l交椭圆C于A、B两点，P为左准线上一点，直线PA、PF、PB的方向向量分别为(1,t)、(1,r)、(1,s).(1)求证：t、r、s成等差数列；(2)t、r、s能否成等比数列？试述理由.3已知数列an的前n项和为Sn，且满足a2=2,Sn=n1+an2nN+.(1)求数列an的通项.(2)若bn=an1n+1，求数列bn的最大值项.(3)对于(2)中数列bn，是否存在bn=bmnm？若存在，求出所有相等的两项；若不存在，说明理由.4已知数列an满足a1=1，an=n21+122+132+1n-12n=2
4、,3,.求证：(1)an+1an+1=n2n+12n=2,3,；(2)1+1a11+1a21+1an4n=2,3,.5已知数列an满足a1=14，1-anan+1=14。(1)求数列an的通项；(2)求证：a2a1+a3a2+an+1an2+4(13)2n-115设数列an的通项公式是an=n2(x表示不超过实数x的最大整数).(1)证明：2、22、23、24、25都是数列an的项；(2)26是否是数列an的项，证明你的结论；(3)证明：有无穷多个2的正整数幂是数列an的项.16已知an是一个首项为9、公差为7的等差数列.(1)证明：数列an中有无穷多项是完全平方数；(2)数列an中第100个
5、完全平方数是第几项？17设数列11,12,21,13,22,31,1k,1k-1,k1,问:(1)这个数列第2010项的值是多少？(2)在这个数列中，第2010个值为1的项的序号是多少？18设a1,a2,an(n4)是给定的正实数，a1a2an.对任意正实数r，满足aj-aiak-aj=r(1ijkn)的三元数组(i,j,k)的个数记为fn(r).证明：fn(r)n24.19已知数列an的通项为an=1+2+n(nN+)，把此数列中所有3的倍数依次取出，构成一个新的数列b1,b2,bm，求数列bm的前2m项的和S2m20设a1=3，an+1=an2+an-1(nN+). 证明：(1)对所有的n，an3(mod4)；(2)当mn时，(am,an)=1(即am、an互质).
