1、专题28 网格中的三角函数（基础）一选择题1如图所示的正方形网格中有，则tan的值为（）A12B55C255D2【分析】利用网格特点，构建RtACB，然后利用正切的定义求解【解答】解：如图，在RtACB中，tan=ABCB=12故选：A【点评】本题考查了解直角三角形：在直角三角形中，由已知元素求未知元素的过程就是解直角三角形灵活应用勾股定理和锐角三角函数2如图，在正方形网格纸中，ABC的三个顶点都在格点上，则tanBAC的值是（）A34B45C43D35【分析】利用网格特点得到ABC90，然后利用正切的定义求解【解答】解：ABC90，AB3，BC4，tanBAC=43故选：C【点评】本题考查了
2、解直角三角形：在直角三角形中，由已知元素求未知元素的过程就是解直角三角形合理使用勾股定理和锐角三角函数的定义是解决问题的关键3如图，在54的正方形网格中，每个小正方形的边长都是1，ABC的顶点都在这些小正方形的顶点上，则cosBAC的值为（）A43B34C35D45【分析】过点C作CDAB于点D，根据勾股定理可求出AC，然后根据锐角三角函数的定义即可求出答案【解答】解：过点C作CDAB于点D，AD3，CD4，由勾股定理可知：AC5，cosBAC=ADAC=35，故选：C【点评】本题考查解直角三角形，解题的关键是熟练运用勾股定理以及锐角三角函数的定义，本题属于基础题型4如图，A，B，C是31的正
3、方形网格中的三个格点，则tanB的值为（）A12B55C255D105【分析】根据锐角三角函数的定义，直接计算得结论【解答】解：如图所示，在RtABD中，tanB=ADBD=12故选：A【点评】本题考查了锐角三角函数题目比较简单，掌握正切函数的定义是解决本题的关键5如图，ABC的顶点都在正方形网格的格点上，则cosBAC的值为（）A34B25C35D45【分析】根据锐角三角函数的定义即可求出答案【解答】解：过B作BHAC交AC的延长线于H，AB=AH2+BH2=32+42=5，AH3，cosBAC=AHAB=35，故选：C【点评】本题考查锐角三角函数，解题的关键是熟练运用锐角三角函数的定义，本
4、题属于基础题型6如图，在84的正方形网格中，若ABC的三个顶点在图中相应的格点上，则tanACB的值为（）A13B1010C12D22【分析】作AHCB，交CB延长线于H点，ACB的正切值是AH与CH的比值【解答】解：如图，作AHCB，交CB延长线于H点，tanACB=AHHC=26=13故选：A【点评】本题主要考查正切值的求法，解题的关键是构造直角三角形7如图，在54的正方形网格中，每个小正方形的边长都是1，ABC的顶点都在这些小正方形的顶点上，则sinBAC的值为（）A43B34C35D45【分析】过C作CDAB于D，首先根据勾股定理求出AC，然后在RtACD中即可求出sinBAC的值【解
5、答】解：如图，过C作CDAB于D，则ADC90，AC=AD2+CD2=32+42=5sinBAC=CDAC=45故选：D【点评】本题考查了勾股定理的运用以及锐角三角函数，正确作出辅助线是解题的关键8如图所示的网格是正方形网格，点A，B，C都在格点上，则tanBAC的值为（）A2B12C255D55【分析】连接BC，先根据勾股定理求出AC2、BC2、AB2，由勾股定理的逆定理可判断ABC是直角三角形，然后根据锐角三角函数的定义即可求出答案【解答】解：如图，连接BC根据勾股定理可得AC222+228，BC212+122，AB212+3210，AC2+BC2AB2，ABC是直角三角形，ACB90，t
6、anBAC=BCAC=28=12故选：B【点评】本题考查了锐角三角函数的定义，判断ABC是直角三角形是解题的关键9ABC在正方形网格中的位置如图所示，则cos的值是（）A34B35C45D43【分析】根据锐角三角函数的定义得出cos=CDAC进而求出即可【解答】解：如图所示：AD3，CD4，AC5cos=CDAC=45故选：C【点评】此题主要考查了锐角三角函数的定义以及勾股定理，正确构造直角三角形是解题关键10如图，边长为1的小正方形构成的网格中，O半径为1，圆心O在格点上，则tanAED（）A1B22C12D33【分析】根据锐角三角函数的定义求出tanABC，根据圆周角定理得到AEDABC，
7、得到答案【解答】解：AC1，AB2，tanABC=ACAB=12，由圆周角定理得，AEDABC，tanAED=12，故选：C【点评】本题考查的是锐角三角函数的定义、圆周角定理的应用，掌握锐角A的对边a与邻边b的比叫做A的正切是解题的关键11在正方形网格中，ABC如图放置，点A，B，C都在格点上，则sinBAC的值为（）A33B12C22D32【分析】在直角ABC中，首先利用勾股定理求得AB的长，然后根据正弦的定义求解【解答】解：AB=AC2+BC2=32+33=32，则sinBAC=BCAB=332=22，故选：C【点评】本题考查锐角三角函数的定义及运用：在直角三角形中，锐角的正弦为对边比斜边
8、，余弦为邻边比斜边，正切为对边比邻边二填空题12如图所示的网格是正方形网格，则tan+tan4【分析】根据题意和图形，可以计算出tan+tan的值，本题得以解决【解答】解：由图可得，tan+tan=ACBC+ACCD=33+31=1+34，故答案为：4【点评】本题考查解直角三角形，解答本题的关键是明确题意，利用锐角三角函数解答13如图，边长为1的小正方形网格中，点A，B，C，D，E均在格点上，半径为2的A与BC交于点F，则tanDEF12【分析】根据圆周角定理得出DBCDEF，进而得出tanDEFtanDBC，求出答案即可【解答】解：由题意可得：DBCDEF，则tanDEFtanDBC=DCB
9、D=12故答案为：12【点评】此题主要考查了锐角三角函数的定义，正确得出tanDEFtanDBC是解题关键14三角形在正方形网格纸中的位置如图所示，则sin的值是35【分析】根据锐角三角函数的定义即可求出即可【解答】解：如图所示：AC3，BC4，AB5，sin=ACAB=35故答案为：35【点评】此题主要考查了锐角三角函数的定义以及勾股定理，正确构造直角三角形是解题关键15如图所示的网格是正方形网格，则AOBCOD（填“”，“”或“”）【分析】根据tanAOB与tanCOD的大小比较即可求解【解答】解：根据题意可知tanAOB2，tanCOD2，AOBCOD，故答案为：【点评】本题考查了锐角三
10、角函数的增减性，构建直角三角形求角的三角函数值进行判断，熟练掌握锐角三角函数的增减性是关键16如图，在边长为1的小正方形组成的网格中，点A、B、C、D都在这些小正方形的顶点上，AB，CD都交于O，则sinAOD255【分析】直接利用网格结合锐角三角函数关系得出sinAODsinABE，即可得出答案【解答】解：由网格可得：AEB是Rt，AE22，AB=10，DCBE，且AODABE，故sinAODsinABE=AEAB=2210=255故答案为：255【点评】此题主要考查了解直角三角形，得出sinAODsinABE是解题关键17如图，在正方形网格中，cosACB55【分析】过点B作BDAC，垂足
11、为点D，在RtBCD中，利用勾股定理可求出BC的长，结合余弦的定义可求出cosACB的值，此题得解【解答】解：过点B作BDAC，垂足为点D，如图所示在RtBCD中，CD1，BD2，BC=BD2+CD2=5，cosACB=CDBC=55故答案为：55【点评】本题考查了解直角三角形，牢记余弦的定义是解题的关键18如图，点A，B，C均在正方形网格点上，则tanC12【分析】连接AD，如图，利用网格特点得到ADC90，CD2AD，然后根据正切的定义求解【解答】解：连接AD，如图，易得ADC90，而CD2AD，所以tanC=ADCD=12故答案为12【点评】本题考查了解直角三角形：在直角三角形中，由已知
12、元素求未知元素的过程就是解直角三角形解决此题的关键是灵活运用勾股定理和锐角三角函数的定义19如图，在33的正方形网格中有一个四边形ABCD，若小正方形的边长为1，则sinADB+cosDBC55+22【分析】根据锐角三角函数的定义进行解答【解答】解：如图，AD=AE2+DE2=12+22=5，BC=BF2+CF2=22+22=22sinADB=AEAD=15=55，cosDBC=BFBC=222=22，sinADB+cosDBC=55+22，故答案是：55+22【点评】本题考查了解直角三角形，勾股定理熟练掌握锐角三角形函数定义即可解答，属于基础题型20已知，为锐角，tan=17，tan2，利用
13、如图所示的网格计算tan（+）的值为3【分析】根据正切函数是对边比邻边，可得答案【解答】解：如图，tan=17，tan2，tan（+）3故答案为：3【点评】本题考查了解直角三角形，在直角三角形中，正切函数是对边比邻边，画图准确是解题关键三解答题21如图，在正方形网格中每个小正方形的边长均为1，ABC的各个顶点都在正方形的顶点上，计算sinA，cosA，tanA与sinB，cosB，tanB的值【分析】根据正方形网格中每个小正方形的边长均为1，可以求得边AB、AC、BC的长，然后即可得到得到CD的长，从而可以求得sinA，cosA，tanA与sinB，cosB，tanB的值【解答】解：在正方形网
14、格中每个小正方形的边长均为1，AC=12+22=5，BC=12+32=10，AB=32+42=25=5，ABCD2=43-412-312-432，解得，CD1，AD=(5)2-12=2，BD=(10)2-12=3，sinA=CDAC=15=55，cosA=25=255，tanA=12，sinB=110=1010，cosB=310=31010，tanB=13，即sinA=55，cosA=255，tanA=12，sinB=1010，cosB=31010，tanB=13【点评】本题考查解直角三角形，解题的关键是根据题意求出各边的长，然后求出各角的余弦值22网格中的每个小正方形的边长都是1，ABC每个
15、顶点都在网格的交点处，（1）则ABC的面积为6；（2）试求sinA的值【分析】（1）根据三角形的面积正方形的面积三个角上三角形的面积即可得出结论（2）作出AB边的高CE，根据面积相等求出CE，根据正弦是角的对边比斜边，可得答案【解答】解：（1）SABC44-1242-1222-1224164246故答案为6（2）CEAB于E，由勾股定理得ABAC25，12ABCE6，CE=2625=655，sinA=CEAC=65525=35【点评】本题考查勾股定理、锐角三角函数的定义及运用：在直角三角形中，锐角的正弦为对边比斜边，余弦为邻边比斜边，正切为对边比邻边23如图，ABC的顶点是边长为1的正方形网格
16、的格点，（1）直接写出cosB和tan（ACB90）的值；（2）求sinA的值【分析】利用网格构造直角三角形，根据锐角三角函数的定义解答【解答】解：（1）如图，过点A作AFBC于F，AECE于E在直角ABF中，cosB=BFAB=332=22；在直角ACE中，tan（ACB90）tanACE=AECE=13；（2）如图，过点C作CDAB于D，SABC=12CDAB=12BCAF，CDABBCAF，CD32=23，CD=2，在RtADC中，sinA=CDAC=210=55【点评】本题考查了锐角三角函数的定义和勾股定理，作出辅助线并利用网格构造直角三角形是解题的关键24【问题背景】如图1，在边长为
17、1的正方形网格中，连接格点A、B和C、D，AB和CD相交于点P，求tanCPB的值小马同学是这样解决的：连接格点B、E可得BECD，则ABECPB，连接AE，那么CPB就变换到RtABE中则tanCPB的值为3【探索延伸】如图2，在边长为1的正方形网格中，AB和CD相交于点P，求sinAPD的值【分析】（1）在RtABE中，利用正切函数的定义求出tanABE即可（2）如图2，连接CE，DE，作DMCE于M先证明四边形ABCE是平行四边形，得出CEAB，那么APDECD利用割补法求出ECD的面积=112，由勾股定理求出CE=17，那么根据三角形的面积公式得出DM=111717，然后利用正弦函数定
18、义求出sinECD即可【解答】解：（1）如图1，BECD，ABECPB，tanABEtanCPB，AEB90，tanCPBtanABE=AEBE=322=3，故答案为3（2）如图2，连接CE，DE，作DMCE于MBCAE，BCAE，四边形ABCE是平行四边形，CEAB，APDECDECD的面积34-1214-1223-1213=112，12CEDM=112，CE=17，DM=111717，sinAPDsinECD=DMCD=11171710=11170170【点评】本题考查了解直角三角形，平行四边形的判定与性质，平行线的性质，勾股定理，三角形的面积等知识，解题的关键是学会利用数形结合的思想解决
19、问题，学会用转化的思想思考问题，有一定难度25如图，边长为5km的正方形网格表示海平面示意图，其中阴影部分表示轮船无法通过的海域，甲轮船从A码头出发沿北偏东45方向以10km/h的速度行驶202km到C地休息半小时后，再以同样速度沿正东方向行驶15km，然后沿西北方向行驶102km到达B岛（1）在图中画出甲轮船行驶的示意图；（2）乙轮船比甲轮船从A码头晚出发2h，并以15km/h的速度行驶，途中不休息，问：乙轮船能否先于甲轮船到达B岛？若能，画出乙轮船航线示意图并说明理由；若不能，请说出为什么【分析】（1）根据方向角的定义可画出甲轮船行驶的路径；（2）先画出乙轮船航线示意图，再分别计算出甲、乙轮船所用的时间，然后把乙轮船所用的时间加上2小时后与甲轮船所用的时间进行比较即可判断乙轮船能否先于甲轮船到达B岛【解答】解：（1）如图，（2）能乙轮船从A码头出发沿北偏东45方向行驶202km到C地，再以同样速度沿正东方向行驶5km到D地，然后沿正北方向行驶行驶10km到达B岛，如图，所以乙轮船所用的时间（202+5+10）152.89（h），而甲轮船所用的时间（202+15+102）10+0.56.24（h），因为2+2.894.896.24，所以乙轮船能先于甲轮船到达B岛【点评】此题是一道方向角问题，结合航海中的实际问题，将解直角三角形的相关知识有机结合，体现了数学应用于实际生活的思想
