1、第十一章 统计、统计案例第二节 用样本估计总体栏目导航123课 堂 考 点 突 破课 时 跟 踪 检 测课 前 基 础 巩 固最新考纲1.了解分布的意义和作用，能根据频率分布表画频率分布直方图、频率折线图、茎叶图，理解它们各自的特点.2.理解样本数据标准差的意义和作用，会计算数据标准差.3.能从样本数据中提取基本的数字特征(如平均数、标准差)，并做出合理的解释.4.会用样本的频率分布估计总体分布，会用样本的基本数字特征估计总体的基本数字特征，理解用样本估计总体的思想.5.会用随机抽样的基本方法和样本估计总体的思想解决一些简单的实际问题.考情分析核心素养 主要考查平均数、方差的计算以及茎叶图与频
2、率分布直方图的简单应用；题型以选择题和填空题为主，出现解答题时经常与概率相结合，难度为中低档.1.数据分析2.直观想象 3.数学运算 课 前 基 础 巩 固 1知识梳理1频率分布直方图(1)频率分布表的画法：第一步：求 1 _，决定组数和组距，组距 2 _；第二步：3 _，通常对组内数值所在区间取左闭右开区间，最后一组取闭区间；第三步：登记频数，计算频率，列出频率分布表极差极差组数分组(2)频率分布直方图：反映样本频率分布的直方图(如图)横轴表示样本数据，纵轴表示 4 _，每个小矩形的面积表示样本落在该组内的 5 _频率组距频率2茎叶图统计中一种被用来表示数据的图叫做茎叶图，茎是指中间的一列数
3、，叶是从茎的旁边生长出来的数3样本的数字特征(1)众数：一组数据中 6 _的那个数据，叫做这组数据的众数(2)中位数：把 n 个数据按大小顺序排列，处于 7 _位置的一个数据(或最中间两个数据的平均数)叫做这组数据的中位数(3)平均数：把 8 _称为 a1，a2，an 这 n 个数的平均数出现次数最多最中间a1a2ann(4)标准差与方差：设一组数据 x1，x2，x3，xn 的平均数为 x，则这组数据的标准差和方差分别是s1n（x1 x）2（x2 x）2（xn x）2，s21n(x1 x)2(x2 x)2(xn x)2常用结论1频率分布直方图的特点(1)频率分布直方图中相邻两横坐标之差表示组距
4、，纵坐标表示频率组距，频率组距频率组距.(2)在频率分布直方图中，各小长方形的面积总和等于 1，因为在频率分布直方图中组距是一个固定值，所以各小长方形高的比也就是频率比(3)频率分布表和频率分布直方图是一组数据频率分布的两种形式，前者准确，后者直观2平均数、方差的公式推广(1)若数据 x1，x2，xn 的平均数为 x，那么 mx1a，mx2a，mx3a，mxna 的平均数是 m x a.(2)数据 x1，x2，xn 的方差为 s2.数据 x1a，x2a，xna 的方差也为 s2；数据 ax1，ax2，axn 的方差为 a2s2.基础自测一、疑误辨析1判断下列结论的正误(正确的打“”，错误的打“
5、”)(1)平均数、众数与中位数从不同的角度描述了一组数据的集中趋势()(2)一组数据的方差越大，说明这组数据越集中()(3)在频率分布直方图中，小矩形的面积越大，表示样本数据落在该区间的频率越大()(4)茎叶图一般左侧的叶按从大到小的顺序写，右侧的叶按从小到大的顺序写，相同的数据可以只记一次()解析：(1)正确平均数、众数与中位数都在一定程度上反映了数据的集中趋势(2)错误方差越大，这组数据越离散(3)正确小矩形的面积组距频率组距频率(4)错误茎相同的数据，叶可不用按从小到大的顺序写，相同的数据叶要重复记录答案：(1)(2)(3)(4)二、走进教材2(必修 3P100A 组 T2(1)改编)一
6、个容量为 32 的样本，已知某组样本的频率为 0.25，则该组样本的频数为_解析：设频数为 n，则 n320.25，n32148.答案：83(必修 3P81A 组 T1 改编)若某校高一年级 8 个班参加合唱比赛的得分如茎叶图所示，则这组数据的中位数和平均数分别是_，_解析：把这组数据从小到大排列为 87，89，90，91，92，93，94，96，中位数是9192291.5，平均数 x 8789909192939496891.5.答案：91.5 91.54(必修 3P71T1 改编)如图是 100 位居民月均用水量的频率分布直方图，则月均用水量为2，2.5)范围内的居民有_人 解析：由题意知，
7、月均用水量为2，2.5)范围内的居民有 0.50.510025(人)答案：25三、易错自纠5若数据 x1，x2，x3，xn 的平均数 x 5，方差 s22，则数据 3x11，3x21，3x31，3xn1 的平均数和方差分别为_，_解析：x1，x2，x3，xn 的平均数为 5，x1x2x3xnn5，3x13x23x33xnn135116.x1，x2，x3，xn 的方差为 2，3x11，3x21，3x31，3xn1 的方差是 32218.答案：16 186为了普及环保知识，增强环保意识，某大学随机抽取 30 名学生参加环保知识测试，得分(十分制)如图所示，假设得分的中位数为 m，众数为 n，平均数
8、为 x，则 m，n，x 的大小关系为_(用“”连接)解析：由图可知，30 名学生得分的中位数为第 15 个数和第 16 个数(分别为 5，6)的平均数，即 m5.5；又 5 出现次数最多，故 n5；x 233410566372829210305.97.故 nm x.答案：nm x7甲、乙两台机床同时生产一种零件，10 天中，两台机床每天出的次品数分别是：甲 0 1 0 2 2 0 3 1 2 4乙 2 3 1 1 0 2 1 1 0 1则机床性能较好的为_解析：因为 x 甲1.5，x 乙1.2，s2甲1.65，s2乙0.76，所以 x 乙 x 甲且 s2乙s2甲，所以乙机床性能较好 答案：乙课
9、 堂 考 点 突 破2考点 茎叶图的应用|题组突破|1如图所示的茎叶图记录了甲、乙两组各 5 名工人某日的产量数据(单位：件)若这两组数据的中位数相等，平均值也相等，则 x 和 y 的值分别为()A3，5 B5，5C3，7 D5，7解析：选 A 根据两组数据的中位数相等可得 6560y，解得 y5，又它们的平均值相等，所以56626574（70 x）5 596167（60y）785，解得 x3.故选 A.2(2019 届贵州遵义航天高中模拟)某学生在一门功课的 22 次考试中，所得分数茎叶图如图所示，则此学生该门功课考试分数的极差与中位数之和为()A117 B118C118.5 D119.5解
10、析：选 B 在 22 次考试中，所得分数最高的为 98，最低分数为 56，所以极差为985642，将分数从小到大排列，中间两数为 76，76，所以中位数为 76，所以此学生该门功课考试分数的极差与中位数之和为 4276118.3某省为了抽选运动员参加“国际马拉松比赛”，将 35 名运动员的一次马拉松比赛成绩(单位：分钟)制成茎叶图，如图所示若将运动员按成绩由好到差编号，再用系统抽样的方法从中抽取 7 人，则其中成绩在区间139，151上的运动员人数为()A6 B5C4 D3解析：选 C 对 35 名运动员进行编号：00，01，02，34，分成七组：0004，0509，1014，1519，202
11、4，2529，3034，用系统抽样的方法抽 7 人，则第三组到第六组中占 4 人，即抽取的成绩在区间139，151上的运动员的人数为 4，故选C.4.空气质量指数(Air Quality Index，简称 AQI)是定量描述空气质量状况的指数，空气质量按照 AQI 大小分为六级：050 为优；51100为良；101150 为轻度污染；151200 为中度污染；201300 为重度污染；大于 300 为严重污染一环保人士从当地某年的 AQI 记录数据中，随机抽取 10 个，用茎叶图记录如图根据该统计数据，估计此地该年AQI 大于 100 的天数约为_(该年有 365 天)解析：该样本中 AQI
12、大于 100 的频数是 4，频率为25，由此估计该地全年 AQI 大于 100 的频率为25，所以估计此地该年 AQI 大于 100 的天数约为 36525146.答案：146名师点津 茎叶图中的三个关注点(1)“叶”的位置只有一个数字，而“茎”的位置的数字位数一般不需要统一(2)重复出现的数据要重复记录，不能遗漏(3)给定两组数据的茎叶图，估计数字特征，茎上的数字由小到大排列，一般“重心”下移者平均数较大，数据集中者方差较小考点一 用样本的数字特征估计总体的数字特征命题角度一 样本数字特征的计算【例 1】某学校 A，B 两个班的兴趣小组在一次对抗赛中的成绩如茎叶图所示，通过茎叶图比较两个班兴
13、趣小组成绩的平均值及标准差A 班兴趣小组的平均成绩高于 B 班兴趣小组的平均成绩；B 班兴趣小组的平均成绩高于 A 班兴趣小组的平均成绩；A 班兴趣小组成绩的标准差大于 B 班兴趣小组成绩的标准差；B 班兴趣小组成绩的标准差大于 A 班兴趣小组成绩的标准差其中正确结论的编号为()ABCD解析 A 班兴趣小组的平均成绩为 53626492951578，其方差为 115(5378)2(6278)2(9578)2121.6，则其标准差为 121.611.03；B 班兴趣小组的平均成绩为454851911566，其方差为 115(4566)2(4866)2(9166)2175.2，则其标准差为 175
14、.213.24.故选 A.答案 A命题角度二 样本数字特征的应用【例 2】甲、乙两人在相同条件下各射击 10 次，每次中靶环数情况如图所示：(1)请填写下表(写出计算过程)：平均数方差命中 9 环及 9 环以上的次数甲乙(2)从下列三个不同的角度对这次测试结果进行分析：从平均数和方差相结合看(分析谁的成绩更稳定)；从平均数和命中 9 环及 9 环以上的次数相结合看(分析谁的成绩好些)；从折线图上两人射击命中环数的走势看(分析谁更有潜力)解 由题图知甲射击 10 次中靶环数分别为 9，5，7，8，7，6，8，6，7，7，将它们由小到大排列为 5，6，6，7，7，7，7，8，8，9.乙射击 10
15、次中靶环数分别为 2，4，6，8，7，7，8，9，9，10，将它们由小到大排列为 2，4，6，7，7，8，8，9，9，10.(1)x 甲 110(56274829)7，x 乙 110(24672829210)7，s2甲 110(57)2(67)22(77)24(87)22(97)2 110(42024)1.2，s2乙 110(27)2(47)2(67)2(77)22(87)22(97)22(107)2 110(25910289)5.4.填表如下：平均数方差命中 9 环及 9 环以上的次数甲71.21乙75.43(2)平均数相同，s2甲s2乙，甲成绩比乙成绩稳定平均数相同，命中 9 环及 9 环
16、以上的次数甲比乙少，乙成绩比甲成绩好些甲成绩在平均数上下波动；而乙处于上升势头，从第三次以后就没有比甲少的情况发生，所以乙更有潜力名师点津 1平均数反映了数据取值的平均水平，而方差、标准差描述了一组数据围绕平均数波动的大小，标准差、方差越大，数据离散程度越大，越不稳定；标准差、方差越小，数据的离散程度越小，越稳定2用样本估计总体就是利用样本的数字特征来描述总体的数字特征|跟踪训练|1甲、乙两人在一次射击比赛中各射靶 5 次，两人成绩的条形统计图如图所示，则()A甲的成绩的平均数小于乙的成绩的平均数B甲的成绩的中位数等于乙的成绩的中位数C甲的成绩的方差小于乙的成绩的方差D甲的成绩的极差小于乙的成
17、绩的极差解析：选 C x 甲15(45678)6，x 乙15(5369)6，甲的成绩的方差为15(222122)2，乙的成绩的方差为15(123321)2.4.故选 C.2气象意义上从春季进入夏季的标志为“连续 5 天的日平均温度均不低于 22”现有甲、乙、丙三地连续 5 天的日平均温度的记录数据(数据都是正整数，单位：)：甲地：5 个数据的中位数为 24，众数为 22；乙地：5 个数据的中位数为 27，均值为 24；丙地：5 个数据中有一个是 32，均值为 26，方差为 10.8.则满足进入夏季标志的地区有()A0 个B1 个C2 个D3 个解析：选 C 甲地：5 个数据的中位数为 24，众
18、数为 22，根据数据特征得，甲地连续 5 天的日平均温度的记录数据可能为 22，22，24，25，26，其连续 5 天的日平均温度均不低于 22；乙地：5 个数据的中位数为 27，均值为 24，当 5 个数据为 19，20，27，27，27 时，其连续 5 天的日平均温度有低于 22 的，故不确定；丙地：5个数据中有一个是 32，均值为 26，若有低于 22，则取 21，(3226)2(2126)26110.85，此时方差就超出了 10.8，可知其连续 5 天的日平均温度均不低于 22.故满足进入夏季标志的地区有甲、丙两地故选 C.3(2019 届盐城模拟)已知一组数据 x1，x2，x3，x4
19、，x5 的方差是 2，则数据 2x1，2x2，2x3，2x4，2x5 的标准差为_解析：由 s21ni1n1(xi x)22，得数据 2x1，2x2，2x3，2x4，2x5 的方差是 8，标准差为 2 2.答案：2 2考点二 频率分布直方图 命题角度一 求样本的频率、频数【例 3】某大学艺术专业 400 名学生参加某次测评，根据男女学生人数比例，使用分层抽样的方法从中随机抽取了 100 名学生，记录他们的分数，将数据分成 7 组：20，30)，30，40)，80，90，并整理得到如下频率分布直方图：(1)从总体的 400 名学生中随机抽取一人，估计其分数小于 70 的概率；(2)已知样本中分数
20、小于 40 的学生有 5 人，试估计总体中分数在区间40，50)内的人数解(1)根据频率分布直方图可知，样本中分数不小于 70 的频率为(0.020.04)100.6，所以样本中分数小于 70 的频率为 10.60.4.所以从总体的 400 名学生中随机抽取一人，其分数小于 70 的概率估计为 0.4.(2)根据题意知，样本中分数不小于 50 的频率为(0.010.020.040.02)100.9，分数在区间40，50)内的人数为 1001000.955，所以总体中分数在区间40，50)内的人数估计为 400 510020.命题角度二 求样本的数字特征【例 4】(2019 年全国卷)某行业主管
21、部门为了解本行业中小企业的生产情况，随机调查了 100 个企业，得到这些企业第一季度相对于前一年第一季度产值增长率 y 的频数分布表.y 的分组0.20，0)0，0.20)0.20，0.40)0.40，0.60)0.60，0.80)企业数22453147(1)分别估计这类企业中产值增长率不低于 40%的企业比例、产值负增长的企业比例；(2)求这类企业产值增长率的平均数与标准差的估计值(同一组中的数据用该组区间的中点值代表)(精确到 0.01)附：748.602.解(1)根据产值增长率频数分布表得，所调查的 100 个企业中产值增长率不低于40%的企业频率为147100 0.21，产值负增长的企
22、业频率为 21000.02.所以用样本频率分布估计总体分布得这类企业中产值增长率不低于 40%的企业比例为 21%，产值负增长的企业比例为 2%.(2)y 1100(0.1020.10240.30530.50140.707)0.30，s2 1100i15ni(yi y)2 1100(0.40)22(0.20)22402530.202140.40270.029 6，s 0.029 60.02 740.17.所以，这类企业产值增长率的平均数与标准差的估计值分别为 30%，17%.名师点津 1频率、频数、样本容量的计算方法(1)频率组距组距频率；(2)频数样本容量频率，频数频率样本容量，样本容量频率
23、频数2频率分布直方图中数字特征的计算(1)最高的小长方形底边中点的横坐标即是众数；(2)中位数左边和右边的小长方形的面积和是相等的；(3)平均数是频率分布直方图的“重心”，等于频率分布直方图中每个小长方形的面积乘以小长方形底边中点的横坐标之和|跟踪训练|4在样本频率分布直方图中，共有 9 个小长方形，若中间一个小长方形的面积等于其他 8 个长方形的面积和的25，样本容量为 140，则中间一组的频数为()A28 B40C56 D60解析：选 B 设中间一组的频数为 x，因为中间一个小长方形的面积等于其他 8 个长方形的面积和的25，所以其他 8 组的频数和为52x，由 x52x140，得 x40
24、.5某城市 100 户居民的月平均用电量(单位：度)以160，180)，180，200)，200，220)，220，240)，240，260)，260，280)，280，300分组的频率分布直方图如图(1)求频率分布直方图中 x 的值；(2)求月平均用电量的众数和中位数解：(1)由(0.0020.009 50.0110.012 5x0.0050.002 5)201，得 x0.007 5，所以频率分布直方图中 x 的值为 0.007 5.(2)月平均用电量的众数是2202402230.因为(0.0020.009 50.011)200.450.5，所以月平均用电量的中位数在220，240)内，设中
25、位数为 a，则(0.0020.009 50.011)200.012 5(a220)0.5，解得 a224，即中位数为 224.考点 概率与统计图表的综合问题【例】学校将高二年级某班级 50 位同学期中考试的数学成绩(均为整数)分为 7 组进行统计，得到如图所示的频率分布直方图观察图中信息，回答下列问题(1)试估计该班级同学数学成绩的平均分；(2)现准备从该班级数学成绩不低于 130 分的同学中随机选出两人参加某活动，求选出的两人在同一组的概率解(1)由频率分布直方图可知，所求数学成绩的平均分为 850.06950.11050.241150.281250.21350.081450.04113.6
26、(分)，故该班级同学数学成绩的平均分约为 113.6 分(2)由频率分布直方图可知，数学成绩不低于 130 分的人数为 500.08500.04426，其中，分数在130，140)的有 4 人，分别记作 a，b，c，d，分数在140，150的有 2 人，分别记作 m，n.从该班级数学成绩不低于 130 分的同学中选出 2 人共有 15 个基本事件，列举如下：(a，b)，(a，c)，(a，d)，(a，m)，(a，n)，(b，c)，(b，d)，(b，m)，(b，n)，(c，d)，(c，m)，(c，n)，(d，m)，(d，n)，(m，n)其中，选出的两人在同一组的有 7 个基本事件，分别是：(a，b
27、)，(a，c)，(a，d)，(b，c)，(b，d)，(c，d)，(m，n)故选出的两人在同一组的概率 P 715.名师点津 破解概率与统计图表综合问题的 3 步骤|跟踪训练|如图所示的茎叶图记录了甲、乙两组各四名同学的植树棵数，其中有一个数据模糊，无法确认，在图中以 X 表示(1)如果 X8，求乙组同学植树棵数的平均数和方差；(2)如果 X9，分别从甲、乙两组中随机选取一名同学，求这两名同学的植树总棵数为 19 的概率解：(1)当 X8 时，由茎叶图可知，乙组四名同学的植树棵数分别是 8，8，9，10，故 x 889104354，s21483542293542103542 1116.(2)当
28、X9 时，记甲组四名同学分别为 A1，A2，A3，A4，他们植树的棵数依次为 9，9，11，11；乙组四名同学分别为 B1，B2，B3，B4，他们植树的棵数依次为 9，8，9，10.分别从甲、乙两组中随机选取一名同学，其包含的基本事件为(A1，B1)，(A1，B2)，(A1，B3)，(A1，B4)，(A2，B1)，(A2，B2)，(A2，B3)，(A2，B4)，(A3，B1)，(A3，B2)，(A3，B3)，(A3，B4)，(A4，B1)，(A4，B2)，(A4，B3)，(A4，B4)，共 16 个设“选出的两名同学的植树总棵数为 19”为事件 C，则事件 C 中包含的基本事件为(A1，B4)，(A2，B4)，(A3，B2)，(A4，B2)，共 4 个故 P(C)41614.点此进入该word板块课 时 跟 踪 检 测3谢 谢 观 看 THANKS