1、 专题27.1 图形的相似（知识解读）【直击考点】 【学习目标】1、能通过生活中的实例认识图形的相似，能通过观察直观地判断两个图形是否相似；2、了解比例线段的概念及有关性质，探索相似图形的性质，知道两相似多边形的主要特征：对应角相等，对应边的比相等.明确相似比的含义；3、知道两个相似的平面图形之间的关系，会根据相似多边形的特征识别两个多边形是否相似，并会运用性质进行相关的计算，提高推理能力.【知识点梳理】考点1 比例线段1线段的比： 如果选用同一长度单位量得两条线段a、b长度分别是m、n，那么就说这两条线段的比是a:b=m:n ，或写成2成比例线段：对于四条线段a、b、c、d，如果其中两条线段
2、的比与另两条线段的比相等，如a:b=c:d，我们就说这四条线段是成比例线段，简称比例线段3比例的基本性质：（1）若a:b=c:d ，则ad=bc；（2）若a:b=b:c ，则 =ac（b称为a、c的比例中项）考点2 黄金分割比1.黄金分割的定义： 点C把线段AB分割成AC和CB两段,如果,那么线段AB被点C黄金分割，点C叫做线段AB的黄金分割点，AC与AB的比叫做黄金比.注意：0.618AB(叫做黄金分割值).2.作一条线段的黄金分割点： 如图，已知线段AB，按照如下方法作图：（1）经过点B作BDAB，使BD=AB.（2）连接AD，在DA上截取DE=DB.（3）在AB上截取AC=AE.则点C为
3、线段AB的黄金分割点.注意：一条线段的黄金分割点有两个. 考点2 相似图形在数学上，我们把形状相同的图形称为相似图形(similar figures).注意： (1) 相似图形就是指形状相同，但大小不一定相同的图形； (2) “全等”是“相似”的一种特殊情况，即当“形状相同”且“大小相同”时，两 个图形是全等；考点3 相似多边形相似多边形的概念：如果两个多边形的对应角相等，对应边的比相等，我们就说它们是相似多边形注意：（1）相似多边形的定义既是判定方法，又是它的性质（2）相似多边形对应边的比称为相似比【典例分析】【考点1 比例性质】【典例1】已知，则的值为（）AB2.5CD【变式1-1】已知，
4、则下列结论一定成立的是（）Ax6，y7BCyx1D【变式1-2】若，则的值等于（）ABCD5【变式1-3】已知：x：4y：5z：6，则（x+y）：（y+z）（）A2：3B4：5C9：11D5：11【变式1-4】（2021秋湖州期末）已知a：b3：2，求：（1）；（2）的值【典例2】（2021秋普陀区期末）已知：x：1.5，求x的值【变式2-1】（2021秋奉贤区期末）已知：x：0.5：4，求x的值【变式2-2】（2020秋虹口区期末）已知，求x的值【变式2-3】（2020秋松江区期末）在一张地图上量得上海与南京两地的距离为3.2厘米，又已知上海与南京、北京两地的实际距离分别约为300千米和10
5、80千米，那么在这张地图上，上海与北京两地的距离为多少厘米？【考点2 比例线段】【典例3】已知a、b、c、d是成比例线段，其中a3，b0.6，c2，则线段d的长为（）A0.4B0.6C0.8D4【变式3-1】下列各组中的四条线段成比例的是（）A2cm，3cm，4cm，6cmB2cm，3cm，4cm，5cmC1cm，2cm，3cm，4cmD3cm，4cm，6cm，9cm【变式3-2】若线段a2cm，线段b8cm，则a，b的比例中项c为（）A4cmB5cmC6cmD32cm【变式3-3】如果，且b是a和c的比例中项，那么等于（）ABCD【考点3 黄金分割比】【典例4】作出线段的黄金分割点（不写作法
6、，保留作图痕迹）【变式4】如图，设线段AC1.（1）过点C画CDAC，使CDAC；连接AD，以点D为圆心，DC的长为半径画弧，交AD于点E；以点A为圆心，AE的长为半径画弧，交AC于点B（2）在所画图中，点B是线段AC的黄金分割点吗？为什么？【典例5】在设计人体雕像时，使雕像上部（腰部以上）与下部（腰部以下）的高度比，等于下部与全部的高度比，可以增加视觉美感如图，按此比例设计一座高度为2m的雷锋雕像，那么该雕像的下部设计高度约是（结果精确到0.01m参考数据：1.414，1.732，2.236）（）A0.73mB1.24mC1.37mD1.42m【变式5-1】已知线段AB2，点P是线段AB的黄
7、金分割点（APBP），则线段AP的长为（）ABC3D1【变式5-2】P是线段AB上一点（APBP），且满足，则称点P是线段AB的黄金分割点大自然是美的设计师，即使是一片小小的树叶，也蕴含着“黄金分割点”如图，一片树叶的叶脉AB长度为10cm，P为AB的黄金分割点（APBP），求叶柄BP的长度设BPxcm，则符合题意的方程是（）A（10x）210xBx210（10x）Cx（10x）102D10（1x）210x【变式5-3】（2021秋拱墅区校级期中）（1）已知a4.5，b2，c是a，b的比例中项，求c（2）如图，C是AB的黄金分割点，且ACBC，AB4，求AC的长【变式5-4】（2021秋汉阳区
8、月考）小知识：古希腊的毕达哥拉斯，在2500年前曾经大胆断言，一条线段（AB）的某一部分（AC）与另一部分（BC）之比，如果正好等于另一部分（BC）同整个线段（AB）的比（即BC2ACAB），那么这样的比例会给人一种美感，后来我们将分割这条线段（AB）的点C称为线段AB的“黄金分割点”，在主持节目时，主持人站在舞台的黄金分割点处最自然得体，那么在长20米的舞台AB上，主持人从A点到B点走多少米，他的站台最得体？（取1.4，1.7，2.2）【考点4 相似图形】【典例6】下列图形中，不是相似图形的一组是（）ABCD【变式6-1】下列各组中两个图形不一定相似的是（）A有一个角是120的两个等腰三角形
9、B两个等腰直角三角形C有一个角是35的两个等腰三角形D两个等边三角形【变式6-2】如图，在正方形网格上有两个相似三角形ABC和EDF，则ABC+ACB的度数为（）A135B90C60D45【变式6-3】如图2中的矩形边长分别是将图1中的矩形边长4拉长2x，边长5拉长x得到的，若两个矩形相似（不全等），则x的值是（）A3B4C5D6【考点5 相似多边形的性质】【典例7】若两个相似三边形的周长之比为1：2，则它们的面积之比为（）A1：4B1：2C2：1D4：1【变式7-1】如图，四边形ABCD四边形EFGH，A80，C90，F70，则H等于（）A70B80C110D120【变式7-2】若两个相似多
10、边形的面积比为4：9，则它们的对应边的比是（）A3：2B2：3C9：4D4：94【变式7-3】两个相似多边形的周长比是3：4，其中小多边形的面积为18cm2，则较大多边形的面积为（）A16cm2B54cm2C32cm2D48cm2 专题27.1 图形的相似（知识解读）【直击考点】 【学习目标】1、能通过生活中的实例认识图形的相似，能通过观察直观地判断两个图形是否相似；2、了解比例线段的概念及有关性质，探索相似图形的性质，知道两相似多边形的主要特征：对应角相等，对应边的比相等.明确相似比的含义；3、知道两个相似的平面图形之间的关系，会根据相似多边形的特征识别两个多边形是否相似，并会运用性质进行相
11、关的计算，提高推理能力.【知识点梳理】考点1 比例线段1线段的比： 如果选用同一长度单位量得两条线段a、b长度分别是m、n，那么就说这两条线段的比是a:b=m:n ，或写成2成比例线段：对于四条线段a、b、c、d，如果其中两条线段的比与另两条线段的比相等，如a:b=c:d，我们就说这四条线段是成比例线段，简称比例线段3比例的基本性质：（1）若a:b=c:d ，则ad=bc；（2）若a:b=b:c ，则 =ac（b称为a、c的比例中项）考点2 黄金分割比1.黄金分割的定义： 点C把线段AB分割成AC和CB两段,如果,那么线段AB被点C黄金分割，点C叫做线段AB的黄金分割点，AC与AB的比叫做黄金
12、比.注意：0.618AB(叫做黄金分割值).2.作一条线段的黄金分割点： 如图，已知线段AB，按照如下方法作图：（1）经过点B作BDAB，使BD=AB.（2）连接AD，在DA上截取DE=DB.（3）在AB上截取AC=AE.则点C为线段AB的黄金分割点.注意：一条线段的黄金分割点有两个. 考点2 相似图形在数学上，我们把形状相同的图形称为相似图形(similar figures).注意： (1) 相似图形就是指形状相同，但大小不一定相同的图形； (2) “全等”是“相似”的一种特殊情况，即当“形状相同”且“大小相同”时，两 个图形是全等；考点3 相似多边形相似多边形的概念：如果两个多边形的对应角
13、相等，对应边的比相等，我们就说它们是相似多边形注意：（1）相似多边形的定义既是判定方法，又是它的性质（2）相似多边形对应边的比称为相似比【典例分析】【考点1 比例性质】【典例1】已知，则的值为（）AB2.5CD【答案】A【解答】解：，1+1+，故选：A【变式1-1】已知，则下列结论一定成立的是（）Ax6，y7BCyx1D【答案】B【解答】解：，设x6k，y7k，A、x6，y7，故A不符合题意；B、，故B符合题意；C、yx7k6kk，故C不符合题意；D、，故D不符合题意；故选：B【变式1-2】若，则的值等于（）ABCD5【答案】A【解答】解：，+1+1；故选A【变式1-3】已知：x：4y：5z：
14、6，则（x+y）：（y+z）（）A2：3B4：5C9：11D5：11【答案】C【解答】解：设x：4y：5z：6k，则x4k，y5k，z6k，则（x+y）：（y+z）（4k+5k）：（5k+6k）9：11；故选：C【变式1-4】（2021秋湖州期末）已知a：b3：2，求：（1）；（2）的值【解答】解：a：b3：2，设a3k，b2k，（1）；（2）1【典例2】（2021秋普陀区期末）已知：x：1.5，求x的值【解答】解：x：1.5，x1.5，x1，x，x的值为：【变式2-1】（2021秋奉贤区期末）已知：x：0.5：4，求x的值【解答】解：x：0.5，x，x，答：x的值为【变式2-2】（2020秋
15、虹口区期末）已知，求x的值【解答】解：，2x1.5613x8x【变式2-3】（2020秋松江区期末）在一张地图上量得上海与南京两地的距离为3.2厘米，又已知上海与南京、北京两地的实际距离分别约为300千米和1080千米，那么在这张地图上，上海与北京两地的距离为多少厘米？【解答】解：设在这张地图上，上海与北京两地的距离为x厘米根据题意得到：解得x11.52，答：在这张地图上，上海与北京两地的距离为11.52厘米【考点2 比例线段】【典例3】已知a、b、c、d是成比例线段，其中a3，b0.6，c2，则线段d的长为（）A0.4B0.6C0.8D4【答案】A【解答】解：a、b、c、d四条线段是成比例的
16、线段，a3，b0.6，c2，解得：d0.4故选：A【变式3-1】下列各组中的四条线段成比例的是（）A2cm，3cm，4cm，6cmB2cm，3cm，4cm，5cmC1cm，2cm，3cm，4cmD3cm，4cm，6cm，9cm【答案】A【解答】解：A、2634，四条线段成比例，故符合题意；B、2543，四条线段不成比例，故不符合题意；C、1423，四条线段不成比例，故不符合题意；D、3946，四条线段不成比例，故不符合题意故选：A【变式3-2】若线段a2cm，线段b8cm，则a，b的比例中项c为（）A4cmB5cmC6cmD32cm【答案】A【解答】解：由比例中项的概念结合比例的基本性质，得：
17、比例中项的平方等于两条线段的乘积则c2ab，即c228，解得c4，（线段是正数，负值舍去）故选：A【变式3-3】如果，且b是a和c的比例中项，那么等于（）ABCD【答案】D【解答】解：，b是a和c的比例中项，即a：bb：c，故选：D【考点3 黄金分割比】【典例4】作出线段的黄金分割点（不写作法，保留作图痕迹）【解答】 解：如图，点即为所求【点拨】本题主要是考查了黄金分割点的概念，熟记黄金分割分成的两条线段和原线段之间的关系，能够熟练求解和作图【变式4】如图，设线段AC1.（1）过点C画CDAC，使CDAC；连接AD，以点D为圆心，DC的长为半径画弧，交AD于点E；以点A为圆心，AE的长为半径画
18、弧，交AC于点B（2）在所画图中，点B是线段AC的黄金分割点吗？为什么？【解答】 解：（1）如图，点B为所作；（2）点B是线段AC的黄金分割点理由如下：设AC1，则CD，DEDC，AD=，AEADDE，AB， BC，即，点B是线段AC的黄金分割点【典例5】在设计人体雕像时，使雕像上部（腰部以上）与下部（腰部以下）的高度比，等于下部与全部的高度比，可以增加视觉美感如图，按此比例设计一座高度为2m的雷锋雕像，那么该雕像的下部设计高度约是（结果精确到0.01m参考数据：1.414，1.732，2.236）（）A0.73mB1.24mC1.37mD1.42m【答案】B【解答】解：设下部的高度为xm，则
19、上部高度是（2x）m，雕像上部（腰部以上）与下部（腰部以下）的高度比，等于下部与全部的高度比，解得x1或x1（舍去），经检验，x1是原方程的解，x11.24，故选：B【变式5-1】已知线段AB2，点P是线段AB的黄金分割点（APBP），则线段AP的长为（）ABC3D1【答案】D【解答】解：点P是线段AB的黄金分割点，APBP，APAB21，故选：D【变式5-2】P是线段AB上一点（APBP），且满足，则称点P是线段AB的黄金分割点大自然是美的设计师，即使是一片小小的树叶，也蕴含着“黄金分割点”如图，一片树叶的叶脉AB长度为10cm，P为AB的黄金分割点（APBP），求叶柄BP的长度设BPxcm
20、，则符合题意的方程是（）A（10x）210xBx210（10x）Cx（10x）102D10（1x）210x【答案】A【解答】解：AB10cm，BPxcm，AP（10x）cm，P为AB的黄金分割点（APPB），AP2BPAB，即（10x）210x，故选：A【变式5-3】（2021秋拱墅区校级期中）（1）已知a4.5，b2，c是a，b的比例中项，求c（2）如图，C是AB的黄金分割点，且ACBC，AB4，求AC的长【解答】解：（1）c是 a，b的比例中项，c2ab4.529，c13，c23，c为3或3；（2）C是AB的黄金分割点，且ACBC，AB4，ACAB422【变式5-4】（2021秋汉阳区月考
21、）小知识：古希腊的毕达哥拉斯，在2500年前曾经大胆断言，一条线段（AB）的某一部分（AC）与另一部分（BC）之比，如果正好等于另一部分（BC）同整个线段（AB）的比（即BC2ACAB），那么这样的比例会给人一种美感，后来我们将分割这条线段（AB）的点C称为线段AB的“黄金分割点”，在主持节目时，主持人站在舞台的黄金分割点处最自然得体，那么在长20米的舞台AB上，主持人从A点到B点走多少米，他的站台最得体？（取1.4，1.7，2.2）【解答】解：设ACx米，AB20，BC（20x）米，（20x）2x20，解得：x1101012，x230108，AC8米或12米，答：主持人从A点到B点走8米他的
22、站台最得体【考点4 相似图形】【典例6】下列图形中，不是相似图形的一组是（）ABCD【答案】D【解答】解：A、形状相同，但大小不同，符合相似形的定义，故不符合题意；B、形状相同，但大小不同，符合相似形的定义，故不符合题意；C、形状相同，但大小不同，符合相似形的定义，故不符合题意；D、形状不相同，不符合相似形的定义，故符合题意；故选：D【变式6-1】下列各组中两个图形不一定相似的是（）A有一个角是120的两个等腰三角形B两个等腰直角三角形C有一个角是35的两个等腰三角形D两个等边三角形【答案】C【解答】解：A、有一个角是120的两个等腰的三组角分别对应相等，所以这两个三角形相似，不符合题意；B、
23、两个等腰直角的三组角分别对应相等，所以两个等腰直角三角形相似，不符合题意；C、各有一个角是35的两个等腰三角形，若一个等腰三角形的底角是35，而另一个等腰三角形的顶角是35，则两个三角形一定不相似，符合题意；D、两个等边三角形的各内角都为60，所以两等边三角形相似，不符合题意；故选：C【变式6-2】如图，在正方形网格上有两个相似三角形ABC和EDF，则ABC+ACB的度数为（）A135B90C60D45【答案】D【解答】解：AB、AC，BC5，DE、EF2，DF，ABCDEF，BACDEF18045135，ABC+ACB180BAC45故选：D【变式6-3】如图2中的矩形边长分别是将图1中的矩
24、形边长4拉长2x，边长5拉长x得到的，若两个矩形相似（不全等），则x的值是（）A3B4C5D6【答案】A【解答】解：由题意，两个矩形相似，或，解得x3或0（0不符合题意舍去），故选：A【考点5 相似多边形的性质】【典例7】若两个相似三边形的周长之比为1：2，则它们的面积之比为（）A1：4B1：2C2：1D4：1【答案】A【解答】解：相似多边形的周长的比是1：2，周长的比等于相似比，因而相似比是1：2，面积的比是相似比的平方，因而它们的面积比为1：4；故选：A【变式7-1】如图，四边形ABCD四边形EFGH，A80，C90，F70，则H等于（）A70B80C110D120【答案】D【解答】解：四
25、边形ABCD四边形EFGH，A80，C90，F70，EA80，GC90，H360EFG360807090120，故选：D【变式7-2】若两个相似多边形的面积比为4：9，则它们的对应边的比是（）A3：2B2：3C9：4D4：94【答案】B【解答】解：两个相似多边形的面积比为4：9，它们的对应边的比2：3，故选：B【变式7-3】两个相似多边形的周长比是3：4，其中小多边形的面积为18cm2，则较大多边形的面积为（）A16cm2B54cm2C32cm2D48cm2【答案】C【解答】解：两个相似多边形的周长比是3：4，两个相似多边形的相似比是3：4，两个相似多边形的面积比是9：16，较小多边形的面积为18cm2，较大多边形的面积为32cm2，故选：C
