1、第十一章 统计、统计案例第一节 随机抽样栏目导航123课 堂 考 点 突 破课 时 跟 踪 检 测课 前 基 础 巩 固最新考纲考情分析核心素养1.理解随机抽样的必要性和重要性.2.会用简单随机抽样方法从总体中抽取样本；了解分层抽样和系统抽样的方法.在抽样方法的考查中，系统抽样，分层抽样是考查的重点，题型以选择题和填空题为主，属于中低档题.1.数学运算2.数据分析 课 前 基 础 巩 固 1知识梳理1简单随机抽样(1)定义：设一个总体含有 N 个个体，从中逐个 1 _抽取 n 个个体作为样本(nN)，如果每次抽取时总体内的各个个体被抽到的机会都 2 _，就把这种抽样方法叫做简单随机抽样(2)最
2、常用的简单随机抽样的方法：抽签法和 3 _法不放回地相等随机数2系统抽样(1)定义：当总体中的个体数目较多时，可将总体分成均衡的几个部分，然后按照事先定出的规则，从每一部分抽取一个个体得到所需要的样本，这种抽样方法叫做系统抽样(2)系统抽样的操作步骤假设要从容量为 N 的总体中抽取容量为 n 的样本先将总体的 N 个个体编号；确定 4 _，对编号进行分段，当Nn(n 是样本容量)是整数时，取 kNn；在第 1 段用 5 _确定第一个个体编号 l(lk)；按照一定的规则抽取样本，通常是将 l 加上间隔 k 得到第 2 个个体编号 6 _，再加 k 得到第 3 个个体编号 7 _，依次进行下去，直
3、到获取整个样本分段间隔k简单随机抽样(lk)(l2k)3分层抽样(1)定义：在抽样时，将总体分成 8 _的层，然后按照一定的比例，从各层独立地抽取一定数量的个体，将各层取出的个体合在一起作为样本，这种抽样方法叫做分层抽样(2)应用范围：当总体是由 9 _的几个部分组成时，往往选用分层抽样互不交叉差异明显常用结论1三种抽样方法的共同点都是等概率抽样，即抽样过程中每个个体被抽到的概率相等，体现了这三种抽样方法的客观性和公平性若样本容量为 n，总体容量为 N，则每个个体被抽到的概率是nN.2系统抽样抽取的个体编号从小到大成等差数列基础自测一、疑误辨析1判断下列结论的正误(正确的打“”，错误的打“”)
4、(1)简单随机抽样每个个体被抽到的机会不一样，与先后有关()(2)系统抽样在起始部分抽样时采用简单随机抽样()(3)分层抽样中，每个个体被抽到的可能性与层数及分层有关()(4)要从 1 002 个学生中用系统抽样的方法选取一个容量为 20 的样本，需要剔除 2个学生，这样对被剔除者不公平()答案：(1)(2)(3)(4)二、走进教材2(必修 3P100A 组 T1 改编)在“世界读书日”前夕，为了了解某地 5 000 名居民某天的阅读时间，从中抽取了 200 名居民的阅读时间进行统计分析在这个问题中，5 000名居民的阅读时间的全体是()A总体B个体C样本的容量D从总体中抽取的一个样本解析：选
5、 A 由题目条件知，5 000 名居民的阅读时间的全体是总体；其中 1 名居民的阅读时间是个体；从 5 000 名居民某天的阅读时间中抽取的 200 名居民的阅读时间是从总体中抽取的一个样本，样本容量是 200.3(必修 3P100A 组 T2 改编)某公司有员工 500 人，其中不到 35 岁的有 125 人，3549 岁的有 280 人，50 岁以上的有 95 人，为了调查员工的身体健康状况，从中抽取 100名员工，则应在这三个年龄段分别抽取的人数为()A33，34，33 B25，56，19C20，40，30 D30，50，20解析：选 B 因为 12528095255619，所以抽取人数
6、分别为 25，56，19.4(必修 3P59T2 改编)某班共有 52 人，现根据学生的学号，用系统抽样的方法，抽取一个容量为 4 的样本，已知 3 号，29 号，42 号学生在样本中，那么样本中还有一个学生的学号是()A10 B11C12 D16解析：选 D 从被抽中的 3 名学生的学号中可以看出学号间距为 13，所以样本中还有一个学生的学号是 31316，故选 D.三、易错自纠5在一次游戏中，获奖者可以得到 5 件不同的奖品，这些奖品要从编号为 150的 50 种不同奖品中随机抽取确定，用系统抽样的方法为某位获奖者确定 5 件奖品的编号可以为()A5，15，25，35，45 B1，3，5，
7、7，9C11，22，33，44，50 D12，15，19，23，28解析：选 A 采用系统抽样的等距抽样法，抽样间距为505 10，随机抽取第 1 个奖品号，设为 a(0a10)，则其他奖品号分别为 10a，20a，30a，40a，所以可知 A 正确6一段高速公路有 300 个太阳能标志灯，其中进口的有 30 个，联合研制的有 75个，国产的有 195 个，为了掌握每个标志灯的使用情况，要从中抽取一个容量为 20 的样本，若采用分层抽样的方法，抽取的进口的标志灯的数量为_解析：由题意，设抽取的进口的标志灯的数量为 x，则 30300 x20，所以 x2.答案：27甲、乙两套设备生产的同类型产品
8、共 4 800 件，采用分层抽样的方法从中抽取一个容量为 80 的样本进行质量检测若样本中有 50 件产品由甲设备生产，则乙设备生产的产品总数为_件解析：若样本中甲设备生产的产品有 50 件，则乙设备生产的产品有 30 件分层抽样中各层的抽样比相同在 4 800 件产品中，甲、乙设备生产的产品总数比为 53，所以乙设备生产的产品总数为 4 800381 800(件)答案：1 800课 堂 考 点 突 破2考点 简单随机抽样|题组突破|1下列抽取样本的方式属于简单随机抽样的个数为()从无限多个个体中抽取 100 个个体作为样本；盒子里共有 80 个零件，从中选出 5 个零件进行质量检验在抽样操作
9、时，从中任意拿出一个零件进行质量检验后再把它放回盒子里；从 20 件玩具中一次性抽取 3 件进行质量检查；某班有 56 名同学，指定个子最高的 5 名同学参加学校组织的篮球赛A0 B1C2 D3解析：选 A 不是简单随机抽样因为被抽取样本的总体的个体数是无限的，而不是有限的；不是简单随机抽样因为它是有放回的抽样；不是简单随机抽样因为这是“一次性”抽取，而不是“逐个”抽取；不是简单随机抽样因为指定个子最高的 5 名同学是 56 名中特指的，不具有随机性，不是等可能的抽样故选 A.2下列抽样试验中，适合用抽签法的是()A从某厂生产的 5 000 件产品中抽取 600 件进行质量检验B从某厂生产的两
10、箱(每箱 18 件)产品中抽取 6 件进行质量检验C从甲、乙两厂生产的两箱(每箱 18 件)产品中抽取 6 件进行质量检验D从某厂生产的 5 000 件产品中抽取 10 件进行质量检验解析：选 B 因为 A、D 中总体的个体数较大，所以不适合用抽签法；C 中甲、乙两厂生产的产品质量可能差别较大，因此未达到搅拌均匀的条件，也不适合用抽签法；B 中总体容量和样本容量都较小，同厂生产的产品可视为搅拌均匀了，所以适合用抽签法3假设要考察某公司生产的 500 克袋装牛奶的质量是否达标，现从 800 袋牛奶中抽取 60 袋进行检验，利用随机数表抽取样本时，先将 800 袋牛奶按 000，001，799 进
11、行编号，如果从随机数表第 8 行第 7 列的数开始向右读，请你依次写出最先检测的 5 袋牛奶的编号为_(下面摘取了随机数表第 7 行至第 9 行)84 42 17 53 31 57 24 55 06 88 77 04 74 47 67 21 76 33 50 25 83 92 12 06 7663 01 63 78 59 16 95 55 67 19 98 10 50 71 75 12 86 73 58 07 44 39 52 38 7933 21 12 34 29 78 64 56 07 82 52 42 07 44 38 15 51 00 13 42 99 66 02 79 54解析：找到
12、第 8 行第 7 列的数开始向右读，第一个数是 785，符合题意；第二个数是 916799，舍去；第三个数是 955799，舍去；第四个数是 567，符合题意，这样再依次读出的结果为 199，507，175.答案：785，567，199，507，1754利用简单随机抽样，从 n 个个体中抽取一个容量为 10 的样本若第二次抽取时，余下的每个个体被抽到的概率为13，则在整个抽样过程中，每个个体被抽到的概率为_解析：由题意知 9n113，得 n28，所以整个抽样过程中每个个体被抽到的概率为1028 514.答案：514名师点津 抽签法与随机数表法的适用情况1抽签法适用于总体中个体数较少的情况，随机
13、数表法适用于总体中个体数较多的情况2一个抽样试验能否用抽签法，关键看两点：一是抽签是否方便；二是号签是否易搅匀一般地，当总体容量和样本容量都较小时可用抽签法考点一 系统抽样及应用【例 1】采用系统抽样方法从 960 人中抽取 32 人做问卷调查，为此将他们随机编号为 1，2，960，分组后在第一组采用简单随机抽样的方法抽到的号码为 9，抽到的32 人中，编号落入区间1，450的人做问卷 A，编号落入区间451，750的人做问卷 B，其余的人做问卷 C，则抽到的人中，做问卷 B 的人数为()A7 B9C10 D15解析 从 960 人中用系统抽样方法抽取 32 人，则将整体分成 32 组，每组
14、30 人因为第一组抽到的号码为 9，所以第二组抽到的号码为 39，第 n 组抽到的号码为 an930(n1)30n21，由 45130n21750，得23615 n25710，所以 n16，17，25，所以共有 2516110(人)答案 C|母题探究|(变条件)若本例中条件变为“若第 5 组抽到的号码为 129”，求第 1 组抽到的号码解：从 960 人中用系统抽样方法抽取 32 人，则将整体分成 32 组，每组 30 人设第1 组抽到的号码为 x，则第 5 组抽到的号码为 x(51)30，由 x(51)30129，得 x9，因此第 1 组抽到的号码为 9.名师点津 系统抽样的特点(1)适用于
15、元素个数很多且均衡的总体(2)各个个体被抽到的机会均等(3)总体分组后，在起始部分抽样时采用的是简单随机抽样(4)如果总体容量 N 能被样本容量 n 整除，则抽样间隔为 kNn.提醒 如果总体容量 N 不能被样本容量 n 整除，可随机地从总体中剔除余数，然后再按系统抽样的方法抽样|跟踪训练|1(2019 年全国卷)某学校为了解 1 000 名新生的身体素质，将这些学生编号为 1，2，1 000，从这些新生中用系统抽样方法等距抽取 100 名学生进行体质测验若 46号学生被抽到，则下面 4 名学生中被抽到的是()A8 号学生B200 号学生C616 号学生D815 号学生解析：选 C 由系统抽样
16、可知第一组学生的编号为 110，第二组学生的编号为 1120，最后一组学生的编号为 9911 000.设第一组取到的学生编号为 x，则第二组取到的学生编号为 x10，以此类推，所取的学生编号为 10 的倍数加 x.因为 46 号学生被抽到，所以 x6，所以 616 号学生被抽到，故选 C.2(2019 届银川模拟)某校为了解 1 000 名高一新生的身体生长状况，用系统抽样法(按等距的规则)抽取 40 名同学进行检查，将学生从 11 000 进行编号，现已知第 18 组抽取的号码为 443，则第一组用简单随机抽样抽取的号码为()A16 B17C18 D19解析：选 C 因为从 1 000 名学
17、生中抽取一个容量为 40 的样本，所以系统抽样的分段间隔为1 00040 25，设第一组随机抽取的号码为 x，则第 18 组抽取的编号为 x1725443，所以 x18.3某校高三年级共有 30 个班，学校心理咨询室为了了解同学们的心理状况，将每个班编号，依次为 1 到 30，现用系统抽样的方法抽取 5 个班进行调查，若抽到的编号之和为 75，则抽到的最小编号为_解析：由题意知系统抽样的抽取间隔为305 6.设抽到的最小编号为 x，则 x(6x)(12x)(18x)(24x)75，所以 x3.答案：3考点二 分层抽样及应用【例 2】(1)(一题多解)某电视台在因特网上就观众对其某一节目的喜爱程
18、度进行调查，参加调查的一共有 20 000 人，其中各种态度对应的人数如下表所示：最喜爱喜爱一般不喜欢4 8007 2006 4001 600电视台为了了解观众的具体想法和意见，打算从中抽选出 100 人进行更为详细的调查，为此要进行分层抽样，那么在分层抽样时，每类人中应抽选出的人数分别为()A25，25，25，25 B48，72，64，16C20，40，30，10 D24，36，32，8(2)一支田径队有男运动员 56 人，女运动员 m 人，用分层抽样抽出一个容量为 n 的样本，在这个样本中随机取一个当队长的概率为 128，样本中的男队员比女队员多 4 人，则 m_解析(1)解法一：因为抽样
19、比为 10020 000 1200，所以每类人中应抽选出的人数分别为 4 800 120024，7 200 120036，6 400 120032，1 600 12008.故选 D.解法二：因为最喜爱、喜爱、一般、不喜欢的人数比为 4 8007 2006 4001 6006982，所以每类人中应抽选出的人数分别为6698210024，9698210036，8698210032，269821008，故选 D.(2)由题意知 n28，设其中有男队员 x 人，女队员 y 人，则xy28，xy4，56mxy，解得 x16，y12，m42.答案(1)D(2)42名师点津 分层抽样问题类型及解题思路(1)
20、求某层应抽个体数量：按该层所占总体的比例计算(2)已知某层个体数量，求总体容量或反之：根据分层抽样就是按比例抽样，列比例式进行计算(3)分层抽样的计算应根据抽样比构造方程求解，其中“抽样比样本容量总体容量各层样本数量各层个体数量”提醒 分层抽样时，每层抽取的个体可以不一样多，但必须满足抽取 ninNiN(i1，2，k)个个体(其中 i 是层数，n 是抽取的样本容量，Ni 是第 i 层中个体的个数，N 是总体容量)|跟踪训练|4(2019 届石家庄模拟)我国古代数学名著九章算术中有如下问题“今有北乡算八千七百五十八，西乡算七千二百三十六，南乡算八千三百五十六，凡三乡，发傜三百七十八人，欲以算数多
21、少衰出之，问各几何？”意思是：北乡有 8 758 人，西乡有 7 236人，南乡有 8 356 人，现要按人数多少从三乡共征集 378 人，问从各乡征集多少人？在上述问题中，需从西乡征集的人数约是()A102 B112C130 D136解析：选 B 由题意得，三乡总人数为 8 7587 2368 35624 350.共征集 378 人，需从西乡征集的人数是 7 23624 350378112，故选 B.5(2019 届广州市高中综合测试一)已知某区中小学学生人数如图所示为了解该区学生参加某项社会实践活动的意向，拟采用分层抽样的方法来进行调查若高中需抽取 20 名学生，则小学与初中共需抽取的学生
22、人数为_ 解析：设小学与初中共需抽取的学生人数为 x，依题意可得1 2002 7002 4001 20020 x20，解得 x85.答案：856某企业三月中旬生产 A，B，C 三种产品共 3 000 件，根据分层抽样的结果，企业统计员制作了如下的统计表格：产品类别ABC产品数量(件)1 300样本容量(件)130由于不小心，表格中 A，C 产品的有关数据已被污染看不清楚，统计员记得 A 产品的样本容量比 C 产品的样本容量多 10，根据以上信息，可得 C 的产品数量是_解析：设样本容量为 x，则x3 0001 300130，所以 x300.所以 A 产品和 C 产品在样本中共有 3001301
23、70(件)设 C 产品的样本容量为 y，则 yy10170，所以 y80.所以 C 产品的数量为3 000300 80800.答案：800考点 分层抽样与概率的综合【例】某公司有一批专业技术人员，对他们进行年龄状况和接受教育程度(学历)的调查，其结果(人数分布)如下表：学历35 岁以下3550 岁50 岁以上本科803020研究生x20y(1)用分层抽样的方法在 3550 岁年龄段的专业技术人员中抽取一个容量为 5 的样本，将该样本看成一个总体，从中任取 2 人，求至少有 1 人学历为研究生的概率；(2)在这个公司的专业技术人员中按年龄状况用分层抽样的方法抽取 N 个人，其中35 岁以下 48
24、 人，50 岁以上 10 人，再从这 N 个人中随机抽取出 1 人，此人的年龄为 50岁以上的概率为 539，求 x，y 的值解(1)用分层抽样的方法在 3550 岁中抽取一个容量为 5 的样本，设抽取学历为本科的人数为 m，研究生的人数为 n，则 m53030203，n52030202.所以，抽取的样本中有研究生 2 人，本科生 3 人，分别记作 S1，S2；B1，B2，B3.从中任取 2 人的所有等可能基本事件共有 10 个：(S1，B1)，(S1，B2)，(S1，B3)，(S2，B1)，(S2，B2)，(S2，B3)，(S1，S2)，(B1，B2)，(B1，B3)，(B2，B3)，其中至
25、少有 1 人的学历为研究生的基本事件有 7 个：(S1，B1)，(S1，B2)，(S1，B3)，(S2，B1)，(S2，B2)，(S2，B3)，(S1，S2)，所以从中任取 2 人，至少有 1 人学历为研究生的概率为 710.(2)由题意，得10N 539，解得 N78，所以 3550 岁中被抽取的人数为 78481020，所以 4880 x2050 1020y，解得 x40，y5，即 x，y 的值分别为 40，5.名师点津 分层抽样与概率结合的题目多与实际问题紧密联系，计算量和阅读量都比较大，会有图表，求解时容易造成失误，平时需注意多训练此类型的题目|跟踪训练|海关对同时从 A，B，C 三个
26、不同地区进口的某种商品进行抽样检测，从各地区进口此种商品的数量(单位：件)如下表所示工作人员用分层抽样的方法从这些商品中共抽取6 件样品进行检测.地区ABC数量50150100(1)求这 6 件样品中来自 A，B，C 各地区商品的数量；(2)若在这 6 件样品中随机抽取 2 件送往甲机构进行进一步检测，求这 2 件商品来自相同地区的概率解：(1)因为样本容量与总体中的个体数的比是650150100 150，所以样本中包含三个地区的个体数量分别是50 1501，150 1503，100 1502，所以 A，B，C 三个地区的商品被选取的件数分别为 1，3，2.(2)设 6 件来自 A，B，C 三
27、个地区的样品分别为：A；B1，B2，B3；C1，C2，则抽取的这 2 件商品构成的所有基本事件为(A，B1)，(A，B2)，(A，B3)，(A，C1)，(A，C2)，(B1，B2)，(B1，B3)，(B1，C1)，(B1，C2)，(B2，B3)，(B2，C1)，(B2，C2)，(B3，C1)，(B3，C2)，(C1，C2)，共 15 个记事件 D：“抽取的这 2 件商品来自相同地区”，则事件 D 包含的基本事件有(B1，B2)，(B1，B3)，(B2，B3)，(C1，C2)，共 4 个所以 P(D)415，即这 2 件商品来自相同地区的概率为 415.点此进入该word板块课 时 跟 踪 检 测3谢 谢 观 看 THANKS