1、专题26 最值模型之费马点模型费马点问题是由全等三角形中的手拉手模型衍生而来，主要考查转化与化归等的数学思想，在各类考试中都以中高档题为主。本专题就最值模型中的费马点问题进行梳理及对应试题分析，方便掌握。 【模型背景】皮耶德费马，17世纪法国数学家，有“业余数学家之王”的美誉，之所以叫业余并非段位不够，而是因为其主职是律师，兼职搞搞数学费马在解析几何、微积分等领域都有卓越的贡献，除此之外，费马广为人知的是以其名字命名的“费马小定理”、“费马大定理”等费马点：三角形内的点到三个顶点距离之和最小的点。【模型解读】结论1：如图，点M为ABC内任意一点，连接AM、BM、CM，当M与三个顶点连线的夹角为
2、120时，MA+MB+MC的值最小。注意：上述结论成立的条件是ABC的最大的角要小于120，若最大的角大于或等于120，此时费马点就是最大角的顶点A。（这种情况一般不考，通常三角形的最大顶角都小于120）【模型证明】以AB为一边向外作等边三角形ABE，将BM绕点B逆时针旋转60得到BN，连接ENABE为等边三角形，ABBE，ABE60而MBN60，ABMEBN在AMB与ENB中，AMBENB（SAS）连接MN由AMBENB知，AMENMBN60，BMBN，BMN为等边三角形BMMNAM+BM+CMEN+MN+CM当E、N、M、C四点共线时，AM+BM+CM的值最小此时，BMC180NMB120
3、；AMBENB180BNM120；AMC360BMCAMB120费马点的作法：如图3，分别以ABC的AB、AC为一边向外作等边ABE和等边ACF，连接CE、BF，设交点为M，则点M即为ABC的费马点。【最值原理】两点之间，线段最短。结论2：点P为锐角ABC内任意一点，连接AP、BP、CP，求xAP+yBP+zCP最小值。（加权费马点）【模型证明】第一步，选定固定不变线段；第二步，对剩余线段进行缩小或者放大。如：保持BP不变，xAP+yBP+zCP=，如图，B、P、P2、A2四点共线时，取得最小值。模型特征：PA+PB+PC（P为动点）一动点，三定点；以三角形的三边向外作等边三角形的，再分别将所
4、作等边三角形最外的顶点与已知三角形且与所作等边三角形相对的顶点相连，连线的交点即为费马点；同时线段前可以有不为1的系数出现，即：加权费马点。例1（2023湖北随州统考中考真题）1643年，法国数学家费马曾提出一个著名的几何问题：给定不在同一条直线上的三个点A，B，C，求平面上到这三个点的距离之和最小的点的位置，意大利数学家和物理学家托里拆利给出了分析和证明，该点也被称为“费马点”或“托里拆利点”，该问题也被称为“将军巡营”问题(1)下面是该问题的一种常见的解决方法，请补充以下推理过程：（其中处从“直角”和“等边”中选择填空，处从“两点之间线段最短”和“三角形两边之和大于第三边”中选择填空，处填
5、写角度数，处填写该三角形的某个顶点）当的三个内角均小于时，如图1，将绕，点C顺时针旋转得到，连接，由，可知为 三角形，故，又，故，由 可知，当B，P，A在同一条直线上时，取最小值，如图2，最小值为，此时的P点为该三角形的“费马点”，且有 ；已知当有一个内角大于或等于时，“费马点”为该三角形的某个顶点如图3，若，则该三角形的“费马点”为 点(2)如图4，在中，三个内角均小于，且，已知点P为的“费马点”，求的值；(3)如图5，设村庄A，B，C的连线构成一个三角形，且已知现欲建一中转站P沿直线向A，B，C三个村庄铺设电缆，已知由中转站P到村庄A，B，C的铺设成本分别为a元/，a元/，元/，选取合适的
6、P的位置，可以使总的铺设成本最低为_元（结果用含a的式子表示）例2（2023广东深圳二模）如图，是等边三角形，M是正方形ABCD对角线BD（不含B点）上任意一点，（点N在AB的左侧），当AM+BM+CM的最小值为时，正方形的边长为_例3（2023春江苏八年级专题练习）如图，四边形 是菱形，B=6，且ABC=60 ，M是菱形内任一点，连接AM，BM，CM，则AM+BM+CM 的最小值为_例4（2023春湖北武汉九年级校考阶段练习）如图，点M是矩形内一点，且，N为边上一点，连接、，则的最小值为_例5（2023广东广州校考二模）平行四边形中，点E在边上，连，点F在线段上，连，连(1)如图1，已知，点
7、E为中点，若，求的长度；(2)如图2，已知，将射线沿翻折交于H，过点C作交于点G若，求证：；(3)如图3，已知，若，直接写出的最小值例6（2023.河南四模）阅读材料：平面几何中的费马问题是十七世纪法国数学家、被誉为业余数学家之王的皮埃尔德费马提出的一个著名的几何问题1643年，在一封写给意大利数学家和物理学家托里拆利的私人信件中，费马提出了下面这个极富挑战性和趣味性的几何难题，请求托里拆利帮忙解答：给定不在一条直线上的三个点A，B，C，求平面上到这三个点的距离之和最短的点P的位置托里拆利成功地解决了费马的问题后来人们就把平面上到一个三角形的三个顶点A，B，C距离之和最小的点称为ABC的费马-
8、托里拆利点，也简称为费马点或托里拆利点问题解决：（1）费马问题有多种不同的解法，最简单快捷的还是几何解法如图1，我们可以将BPC绕点B顺时针旋转60得到BDE，连接PD，可得BPD为等边三角形，故PD=PB，由旋转可得DE=PC，因PA+PB+PC=PA+PD+DE，由 可知，PA+PB+PC的最小值与线段 的长度相等；（2）如图2，在直角三角形ABC内部有一动点P，BAC=90，ACB=30，连接PA，PB，PC，若AB=2，求PA+PB+PC的最小值；（3）如图3，菱形ABCD的边长为4，ABC=60，平面内有一动点E，在点E运动过程中，始终有BEC=90，连接AE、DE，在ADE内部是否
9、存在一点P，使得PA+PD+PE最小，若存在，请直接写出PA+PD+PE的最小值；若不存在，请说明理由例7（2023江苏校考三模）如图，四个村庄坐落在矩形ABCD的四个顶点上，公里，公里，现在要设立两个车站E，F，则的最小值为_公里例8（2023下陕西西安九年级校考阶段练习）问题探究将几何图形按照某种法则或规则变换成另一种几何图形的过程叫做几何变换旋转变换是几何变换的一种基本模型经过旋转，往往能使图形的几何性质明白显现题设和结论中的元素由分散变为集中，相互之间的关系清楚明了，从而将求解问题灵活转化问题提出：如图1，是边长为1的等边三角形，P为内部一点，连接、，求的最小值方法分析：通过转化，把由
10、三角形内一点发出的三条线段（星型线）转化为两定点之间的折线（化星为折），再利用“两点之间线段最短”求最小值（化折为直）问题解决：如图2，将绕点逆时针旋转至，连接，记与交于点，易知由，可知为正三角形，有故因此，当共线时，有最小值是学以致用：(1)如图3，在中，为内部一点，连接，则的最小值是_(2)如图4，在中，为内部一点，连接，求的最小值课后专项训练1.（2022宜宾中考真题）如图，和都是等腰直角三角形，点D是BC边上的动点（不与点B、C重合），DE与AC交于点F，连结CE下列结论：；若，则；在内存在唯一一点P，使得的值最小，若点D在AP的延长线上，且AP的长为2，则其中含所有正确结论的选项是（
11、）ABCD2（2023成都实外九年级阶段练习）如图，在中，P是内一点，求的最小值为_3（2023广东广州一模）如图，在RtABC中，BAC=90，AB=AC，点P是AB边上一动点，作PDBC于点D，线段AD上存在一点Q，当QA+QB+QC的值取得最小值，且AQ=2时，则PD=_4（2019湖北武汉中考真题）问题背景：如图，将绕点逆时针旋转60得到，与交于点，可推出结论：问题解决：如图，在中，点是内一点，则点到三个顶点的距离和的最小值是_ 5（2023重庆九年级专题练习）如图，ABC中，BAC30且ABAC，P是底边上的高AH上一点若AP+BP+CP的最小值为2，则BC_6（2023江苏九年级专
12、题练习）如图，四边形 是菱形，B=6，且ABC=60 ，M是菱形内任一点，连接AM，BM，CM，则AM+BM+CM 的最小值为_7（2023陕西二模）已知，如图在中，在内部有一点D，连接DA、DB、DC则的最小值是_8（2023山东九年级专题练习）已知：到三角形3个顶点距离之和最小的点称为该三角形的费马点如果是锐角（或直角）三角形，则其费马点P是三角形内一点，且满足（例如：等边三角形的费马点是其三条高的交点）若，P为的费马点，则_；若，P为的费马点，则_9（2021山东滨州中考真题）如图，在中，若点P是内一点，则的最小值为_10（2021辽宁丹东中考真题）已知：到三角形3个顶点距离之和最小的点
13、称为该三角形的费马点如果是锐角（或直角）三角形，则其费马点P是三角形内一点，且满足（例如：等边三角形的费马点是其三条高的交点）若，P为的费马点，则_；若，P为的费马点，则_11（2023江苏九年级阶段练习）探究题(1)知识储备：如图1，已知点P为等边ABC外接圆的弧BC上任意一点求证：PB+PC=PA定义：在ABC所在平面上存在一点P，使它到三角形三顶点的距离之和最小，则称点P为ABC的费马点，此时PA+PB+PC的值为ABC的费马距离(2)知识迁移：我们有如下探寻ABC(其中A，B，C均小于120)的费马点和费马距离的方法：如图2，在ABC的外部以BC为边长作等边BCD及其外接圆，根据(1)
14、的结论，易知线段_的长度即为ABC的费马距离(3)知识应用：如图3所示的ABC（其中均小于），现取一点P，使点P到三点的距离之和最小，求最小值；如图4，若三个村庄构成RtABC，其中现选取一点P打水井，使P点到三个村庄铺设的输水管总长度最小，画出点P所对应的位置，输水管总长度的最小值为_（直接写结果）12（2020重庆中考真题）如图，在中，点D是BC边上一动点，连接AD，把AD绕点A逆时针旋转90，得到AE，连接CE，DE点F是DE的中点，连接CF（1）求证：；（2）如图2所示，在点D运动的过程中，当时，分别延长CF，BA，相交于点G，猜想AG与BC存在的数量关系，并证明你猜想的结论；（3）在
15、点D运动的过程中，在线段AD上存在一点P，使的值最小当的值取得最小值时，AP的长为m，请直接用含m的式子表示CE的长13（2023河北九年级专题练习）如图，在平面直角坐标系xoy中，点B的坐标为(0，2)，点在轴的正半轴上，OE为BOD的中线，过B、两点的抛物线与轴相交于、两点（在的左侧）.（1）求抛物线的解析式；（2）等边的顶点M、N在线段AE上，求AE及的长；（3）点为内的一个动点，设，请直接写出的最小值,以及取得最小值时，线段的长.14（2023浙江九年级专题练习）如图，ABC中，BAC45，AB6，AC4，P为平面内一点，求最小值15（2023福建三明八年级期中）【问题背景】17世纪有
16、着“业余数学家之王”美誉的法国律师皮耶德费马，提出一个问题：求作三角形内的一个点，使它到三角形三个顶点的距离之和最小后来这点被称之为“费马点”如图，点是内的一点，将绕点逆时针旋转60到，则可以构造出等边，得，所以的值转化为的值，当，四点共线时，线段的长为所求的最小值，即点为的“费马点”(1)【拓展应用】如图1，点是等边内的一点，连接，将绕点逆时针旋转60得到若，则点与点之间的距离是_；当，时，求的大小；(2)如图2，点是内的一点，且，求的最小值16（2023江苏苏州八年级期中）背景资料：在已知所在平面上求一点P，使它到三角形的三个顶点的距离之和最小.这个问题是法国数学家费马1640年前后向意大
17、利物理学家托里拆利提出的，所求的点被人们称为“费马点”如图1，当三个内角均小于120时，费马点P在内部，当时，则取得最小值(1)如图2，等边内有一点P，若点P到顶点A、B、C的距离分别为3，4，5，求的度数，为了解决本题，我们可以将绕顶点A旋转到处，此时这样就可以利用旋转变换，将三条线段、转化到一个三角形中，从而求出_；知识生成：怎样找三个内角均小于120的三角形的费马点呢？为此我们只要以三角形一边在外侧作等边三角形并连接等边三角形的顶点与的另一顶点，则连线通过三角形内部的费马点请同学们探索以下问题(2)如图3，三个内角均小于120，在外侧作等边三角形，连接，求证：过的费马点(3)如图4，在中，点P为的费马点，连接、，求的值(4)如图5，在正方形中，点E为内部任意一点，连接、，且边长；求的最小值
