1、中国人民大学附属中学2.3.2双曲线的几何性质我们利用双曲线C的标准方程来研究双曲线的一些几何性质.22221 (0,0)xyabab1范围：由方程可得，双曲线C上任意一点的坐标(x，y)都适合不等式221xa 即xa，或xa.因此双曲线C位于两直线x=a和x=a所夹平面区域的外侧。2对称性：类似于对椭圆对称性的讨论，可知双曲线C分别以x轴，y轴为对称轴的轴对称图形，又是以坐标原点为对称中心的中心对称图形，双曲线的对称中心又叫做双曲线的中心。3顶点：在方程中，令y=0，得x=a，可知双曲线C与x轴有两个交点，分别是A1(a，0)，A2(a，0)，如果令x=0，得y2=b2，这个方程没有实数根，
2、说明双曲线C与y轴没有公共点，双曲线与它的对称轴的两个交点叫双曲线的顶点。如图，双曲线C的顶点是A1(a，0)，A2(a，0)，这两个顶点是双曲线两支中相距最近的点。线段A1A2叫做双曲线的实轴，它的长等于2a，同时在y轴上作点B1(0，b)，B2(0，b)，线段B1B2叫做双曲线的虚轴，它的长等于2b.相应的a，b分别是双曲线的实半轴长和虚半轴长。4渐近线观察图中方程所表示的双曲线C，在直线x=a的右侧，当x逐渐增大时，双曲线的右支向右上和右下逐渐延伸；在直线x=a的左侧，当x逐渐减小时，双曲线的左支向左上和左下逐渐延伸。我们再进一步分析双曲线的这一变化趋势，不妨先考虑它在第一象限内的那一部
3、分，这一部分的曲线的方程可以表达为22 ()byxaxaa由于xa0，可知22xax又因为b0，所以byxa这说明在第一象限内，双曲线C上的任意一点M(x，y)总是位于直线的下方.byxa过点M作平行于y轴的直线，设它与直线相交于点P，则byxa222222|()bbbPMxxaxxaaaaabxxa因为当xa时，22xxa随着x的增大而增大，所以221xxa随着x的增大而减小，可知当x越来越大时，|PM|越来越接近于0.这说明当点M以双曲线C的顶点A2开始在第一象限沿此双曲线移动并越来越远离点A2时，点M和直线就越来越接近。byxa由此可见，此双曲线右支向右上方无限延伸时，它总在直线的下方，
4、且与直线越来越接近，但不会相交。byxa根据双曲线的对称性可知，双曲线C向外无限延伸时，总是局限在由直线和直线相交而分平面所成的、含双曲线焦点的两个区域内，并与这两条直线无限接近，但永远不会与这两条直线相交。byxabyxa 直线和直线叫做双曲线的渐近线。byxabyxa 5离心率双曲线的焦距与实轴长的比叫做双曲线的离心率。cea因为ca0，所以e1，e越趋近于1，由等式c2a2=b2，可得2222211bcaceaaa 因此e越大，也越大，即渐近线的斜率的绝对值越大，这时双曲线的形状就从扁狭逐渐变得开阔，babyxa 双曲线的离心率越大，它的开口就越开阔。例1已知双曲线的焦点在x轴上，中心在
5、原点，如果焦距为8，实轴长为6，求此双曲线的标准方程及其渐近线的方程。解：由已知，得2c=8，2a=6，因此c=4，a=3，b2=c2a2=7.又因为双曲线的焦点在x轴上，因此双曲线的标准方程是22197xy双曲线渐近线方程是73yx 例2求双曲线16x29y2=144的实轴长和虚轴长、顶点坐标、焦点坐标及渐近线方程。解：把双曲线方程化为标准方程221916xy由此可知，实半轴长a=3，虚半轴长b=4，半焦距c=5，因此实轴长 2a=6；虚轴长 2b=8；顶点坐标是(3，0)，(3，0)；焦点坐标是(5，0)，(5，0)；43yx 渐近线方程是例3一双曲线型冷却塔的外形，是双曲线的一部分绕其虚
6、轴旋转所成的曲面，它的最小直径为24m，上口直径为26m，下口直径50m，高为55m，在所给的直角坐标系中，求此双曲线的近似方程(虚半轴长精确的0.1m)。OBCCBAA解：在给定的直角坐标系中，设双曲线的标准方程为22221 (0,0)xyabab由已知冷却塔的最小直径AA=24m，上口直径CC=26m，下口直径BB=50m，可知a=12，点B、C的横坐标分别为25，13.设B、C的纵坐标分别为y1，y2，其中y10，因为B(25，y1)，C(13，y2)在双曲线上，所以22122222222511213112ybyb解得22148125121212byb 222513121212byb因为
7、塔高为55m，所以y2y1=55，即5481551212bb因此双曲线的近似方程是解得b24.5，222211224.5xy例4已知双曲线的渐近线方程为y=,并且焦点都在圆x2+y2=100上，求双曲线的方程。43 x解：当焦点在x轴上时，设双曲线的方程是12222 byax因为焦点都在圆x2+y2=100上，所以c=10，又双曲线的渐近线方程为y=43 x所以43ba 由2210043abba解得223664ab所以双曲线的方程是2213664xy当焦点在y轴上时，设双曲线的方程是22221yxab因为焦点都在圆x2+y2=100上，所以c=10，又双曲线的渐近线方程为y=43 x所以43a
8、b 解得226436ab所以双曲线的方程是2216436yx2210043abab由例5双曲线(a1，b0)的焦距为2，直线l过点(a，0)和(0，b)，且点(1，0)到直线l的距离与点(1，0)到直线l的距离之和s c，求双曲线的离心率e的取值范围。12222 byax54解：直线l的方程为1xyab即bx+ayab=0，由点到直线的距离公式，且a1，得到点(1，0)到直线l的距离 d1=22(1)b aab同理点(1，0)到直线l的距离d2=22(1)b aabs=d1+d2=2222ababcab由s c，得54245abcc 即22252a cac解不等式得e25，45由e1，所以e的取值范围是552e
